Giải Toán 9 sách VNEN bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Đọc sgk toán 9 trang 26

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Đọc hiểu nội dung

• Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn các biểu thức chứa căn để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn (căn đồng dạng).

Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ ;             

b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) ;

c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ ;                         

d) $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$.

Trả lời:

a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\sqrt{\frac{9}{12}}$ + $\sqrt{\frac{4}{12}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\frac{3}{\sqrt{12}}$ + $\frac{2}{\sqrt{12}}$ + $\frac{1}{\sqrt{12}}$  = $\frac{6}{\sqrt{12}}$ = $\frac{6\sqrt{12}}{12}$.

b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) = $\frac{10}{9}$($\sqrt{\frac{4}{5}}$ + $\sqrt{\frac{5}{4}}$) = $\frac{10}{9}$($\sqrt{\frac{16}{20}}$ + $\sqrt{\frac{25}{20}}$) = $\frac{10}{9}$($\frac{4}{\sqrt{20}}$+ $\frac{5}{\sqrt{20}}$) = $\frac{10}{9}$.$\frac{9}{\sqrt{20}}$ = $\frac{10}{\sqrt{20}}$ = $\sqrt{5}$

c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ =  4$\sqrt{\frac{4}{18}}$ + $\sqrt{\frac{36}{18}}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ = $\frac{8}{\sqrt{18}}$ + $\frac{6}{\sqrt{18}}$ + $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $\frac{15}{\sqrt{18}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

d) $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$ - $\frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$ = $\frac{2}{5 - 1}$ = $\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ - a$\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ với a > 0 ;

b) 11$\sqrt{5a}$ - $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ - 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ ;

c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ - $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt{9ab}$ - 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ với b $\geq $ 0, a $\geq $ 0 ;

d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{b}{a}$ với a > 0, b > 0.

Trả lời:

a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ - a$\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\frac{\sqrt{a}}{2}$  - a$\sqrt{\frac{9a}{a^{2}}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{\sqrt{a}}{3}$  - 3$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$ = $\frac{10}{3}$$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$

b) 11$\sqrt{5a}$ - $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ - 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ = 11$\sqrt{5a}$ - 5$\sqrt{5a}$ + 2$\sqrt{5a}$ - 12$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ = - 4$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ =  (9 - 4$\sqrt{5}$)$\sqrt{a}$.

c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ - $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt{9ab}$ - 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ = 25ab$\sqrt{ab}$ - 6ab$\sqrt{ab}$ + 27ab$\sqrt{ab}$ - 45ab$\sqrt{ab}$ = ab$\sqrt{ab}$.

d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{b}{a}$ = $\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{ab}{a^{2}}$ = $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ = $\sqrt{ab}$.

Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} +  \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}  \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ = - 2

b)  $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$ = $\left | a \right |$ với a + b > 0 và b $\neq $ 0 ;

c) $\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ = a - b với a > 0, b > 0, a $\neq $ b ;

d) $\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}  \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x - y}$ với x > 0, y > 0, x $\neq $ y.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái ta có:

$\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} +  \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}  \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

= $\left \lfloor \frac{\sqrt{7}(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}} +  - \frac{\sqrt{5}(1  - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} \right \rfloor$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

= - ($\sqrt{7}$ + $\sqrt{5}$)($\sqrt{7}$ - $\sqrt{5}$) = - (7 - 5) = - 2.

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

$\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$ 

= $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{(a + b)^{2}}}$ = $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\frac{\left | a \right |.b^{2}}{a + b}$ = $\left | a \right |$

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái ta có:

$\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ 

= $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$.($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$)

= ($\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$).($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$) = a - b

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) Biến đổi vế trái ta có:

$\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}  \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x - y}$ 

= $\left \lfloor \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \right \rfloor$ . $\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$

= $\frac{ x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$.$\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$

= $\frac{4\sqrt{xy}}{x - y}$.$\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$ = 4

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{4}$$\sqrt{180}$ + $\sqrt{20}$ - $\sqrt{45}$ + 5 ;                   b) 3$\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\frac{1}{4}$$\sqrt{48}$ - 2$\sqrt{3}$ ;

c) $\sqrt{2a}$ - $\sqrt{18a^{3}}$ + 4$\sqrt{\frac{a}{2}}$ ;                  d) $\sqrt{\frac{a}{1 + 2b + b^{2}}}$.$\sqrt{\frac{4a + 8ab + 4ab^{2}}{225}}$.

Trả lời:

a) $\frac{1}{4}$$\sqrt{180}$ + $\sqrt{20}$ - $\sqrt{45}$ + 5 = $\frac{1}{4}$.6$\sqrt{5}$ + 2$\sqrt{5}$ - 3$\sqrt{5}$ + 5 = $\frac{\sqrt{5}}{2}$ + 5

b) 3$\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\frac{1}{4}$$\sqrt{48}$ - 2$\sqrt{3}$ = 3$\frac{\sqrt{3}}{3}$ + $\frac{1}{4}$.4$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{3}$ = 0

c) $\sqrt{2a}$ - $\sqrt{18a^{3}}$ + 4$\sqrt{\frac{a}{2}}$ = $\sqrt{2a}$ - 3a$\sqrt{2a}$ + 4.$\frac{\sqrt{2a}}{2}$ = 3$\sqrt{2a}$ - 3a$\sqrt{2a}$ = 3$\sqrt{2a}$(1 - a)

d) $\sqrt{\frac{a}{1 + 2b + b^{2}}}$.$\sqrt{\frac{4a + 8ab + 4ab^{2}}{225}}$ = $\sqrt{\frac{a}{(1 + 2b + b^{2}}}$.$\sqrt{\frac{4a(1 + 2ab + b^{2})}{225}}$ = $\frac{2a}{15}$.

Câu 2: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\sqrt{\frac{2} - \sqrt{3}}{\frac{2} + \sqrt{3}}$ + $\sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2}-  \sqrt{3}}$ = 4 ;

b) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ - $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{a - b}$ = 1 với a $\geq $ 0, b $\geq $ 0, a $\neq $ b

c) $\left ( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right )$$\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right )$ = 1 - a với a > 0, a $\neq $ 1.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái ta có:

$\sqrt{\frac{2} - \sqrt{3}}{\frac{2} + \sqrt{3}}$ + $\sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2} -  \sqrt{3}}$ 

= $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ + $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$

= $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$ + $\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$

= $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{1}$ + $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{1}$ = 4 

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái ta có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ - $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ - $\frac{2b}{a - b}$

= $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$ - $\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$ - $\frac{2b}{a - b}$ 

= $\frac{a + \sqrt{ab}}{a - b}$ - $\frac{\sqrt{ab} - b}{a - b}$ - $\frac{2b}{a - b}$ 

= $\frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b - 2b}{a - b}$

= $\frac{a - b}{a - b}$ = 1

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c)  Biến đổi vế trái ta có:

$\left ( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right )$$\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right )$

= $\frac{\sqrt{a} + 1 + a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}$$\frac{\sqrt{a} - 1 - a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}$

= $\frac{a + 2\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1}$$\frac{- a + 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1}$

= $\frac{(\sqrt{a} + 1)^{2}}{\sqrt{a} + 1}$$\left ( - (\frac{\sqrt{a} - 1)^{2}}{\sqrt{a} - 1} \right )$

= - ($\sqrt{a}$ + 1).($\sqrt{a}$ - 1)

= - a + 1 = 1 - a

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 3: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào a:

M = $\left ( \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$ với a > 0; a $\neq $ 1.

Trả lời:

Ta có:

M = $\left ( \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

    = $\left ( \frac{1}{2(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{2(1 - \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

    = $\left ( \frac{1- \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} + \frac{1 + \sqrt{a}}{2(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

    = $\left ( \frac{1 - \sqrt{a} + 1 + \sqrt{a}}{2(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

    = $\left (\frac{2}{2(1 - a)} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a)(1 + a)} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

    = $\left (\frac{1 + a}{(1 - a)(1 + a)} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a)(1 + a)} \right )$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

  = $\frac{1 + a - a^{2} - 1}{(1 - a)(1 + a)}$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

  = $\frac{a(1 - a)}{(1 - a)(1 + a)}$$\left ( 1 + \frac{1}{a} \right )$

  = $\frac{a}{1 + a}$$\frac{a + 1}{a}$

  = 1 

Vậy giá trị của M là 1 và không phụ thuộc vào a.

Câu 4: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Tìm x, biết:

a) $\sqrt{3x}$ = 4 ;            b) $\sqrt{3x}$ - $\frac{1}{2}$$\sqrt{3x}$ + $\frac{3}{4}$$\sqrt{3x}$ + 5 = 5$\sqrt{3x}$  ;                  c) $\sqrt{(1 - 2x)^{2}}$ = 2.

Trả lời:

a) Ta có: $\sqrt{3x}$ = 4  $\Leftrightarrow $ 3x = 16 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{16}{3}$

Vậy x =  $\frac{16}{3}$

b) Ta có: $\sqrt{3x}$ - $\frac{1}{2}$$\sqrt{3x}$ + $\frac{3}{4}$$\sqrt{3x}$ + 5 = 5$\sqrt{3x}$  

$\Leftrightarrow $ 5 = 5$\sqrt{3x}$ - $\sqrt{3x}$ + $\frac{1}{2}$$\sqrt{3x}$ - $\frac{3}{4}$$\sqrt{3x}$

$\Leftrightarrow $ 5 = $\frac{15}{4}$$\sqrt{3x}$

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{3x}$ = $\frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow $ 3x = $\frac{16}{9}$

$\Leftrightarrow $ x = $\frac{16}{27}$

Vậy x = $\frac{16}{27}$

c) Ta có: $\sqrt{(1 - 2x)^{2}}$ = 2

* TH1: x $\geq $ $\frac{1}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow $ - (1 - 2x) = 2 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{3}{2}$ (thỏa mãn)

* TH1: x < $\frac{1}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow $ 1 - 2x = 2 $\Leftrightarrow $ x = - $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy S = {$\frac{3}{2}$; - $\frac{1}{2}$}.

Câu 5: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Cho biểu thức:

A = $\left ( \frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a} \right )$ : $\left ( \frac{3}{\sqrt{1 - a^{2}} + 1} \right )$ với - 1 < a < 1.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của A với a = $\frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$.

c) Với giá trị nào của a thì $\sqrt{A}$ > A?

Trả lời:

a)

A = $\left ( \frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a} \right )$ : $\left ( \frac{3}{\sqrt{1 - a^{2}} + 1} \right )$

   = $\frac{3 + \sqrt{1 + a}.\sqrt{1 - a}}{\sqrt{1 + a}}$ : $\frac{3 + \sqrt{1 - a^{2}}}{\sqrt{1 - a^{2}}}$

   = $\frac{3 + \sqrt{1 - a^{2}}}{\sqrt{1 + a}}$ . $\frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{3 + \sqrt{1 - a^{2}}}$

   = $\frac{\sqrt{1 - a^{2}}}{\sqrt{1 + a}}$

   = $\frac{\sqrt{(1 - a)(1 + a)}}{\sqrt{1 + a}}$

   = $\sqrt{1 - a}$.

b) Với a = $\frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ thì A = $\sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}$ = $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ = $\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^{2}}$ = $\sqrt{3}$ - 1.

c) Ta có: $\sqrt{A}$ > A $\Leftrightarrow $ $\sqrt{\sqrt{1 - a}}$ > $\sqrt{1 - a}$

                                     $\Leftrightarrow $  $\sqrt{1 - a}$ > 1 - a 

                                     $\Leftrightarrow $  1 - a > $(1 - a)^{2}$

                                     $\Leftrightarrow $  1 - a > $a^{2}$ - 2a + 1

                                     $\Leftrightarrow $  $a^{2}$ - a < 0

                                     $\Leftrightarrow $  a(a - 1) < 0

                                     $\Leftrightarrow $  0 < a < 1

Vậy 0 < a < 1.

Câu 6: Trang 28 sách VNEN 9 tập 1

Cho M = $\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}}$ - $\frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ với x > 0, x $\neq $ 1.

a) Rút gọn biểu thức M.                                           

b) Tìm x để M = $\frac{9}{2}$.

c) So sánh M và 4.

Trả lời:

a) Ta có:

M = $\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}}$ - $\frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

    = $\frac{(\sqrt{x})^{3} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}$ - $\frac{(\sqrt{x})^{3} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

    = $\frac{(\sqrt{x} - 1)((\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}$ - $\frac{(\sqrt{x} + 1)((\sqrt{x})^{2} - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

    = $\frac{(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ - $\frac{(\sqrt{x})^{2} - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

    = $\frac{(\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} + 1 - (\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

    = $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

    = 2 + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$

b) M =  $\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow $ 2 + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{9}{2}$ 

$\Leftrightarrow $ $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ = $\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow $ x + 1 = $\frac{5}{2}$$\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{x}$ = 2 hoặc $\sqrt{x}$ = $\frac{1}{2}$ 

$\Leftrightarrow $ x = 4 hoặc x = $\frac{1}{4}$

Vậy S = {4 ; $\frac{1}{4}$}.

c) M = 2 + $\frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ = 2 + $\sqrt{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Áp dụng bất đẳng thức cô -si ta có: $\sqrt{x}$ + $\frac{1}{\sqrt{x}}$ $\geq $ 2.$\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}$ = 2

Suy ra: M $\geq $ 2 + 2 = 4.

Vậy M $\geq $ 4.

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

Phân tích ra thừa số:

a) x - 9 với x > 0 ;                                                                   b) x - 5$\sqrt{x}$ + 4 ;

c) 6$\sqrt{xy}$ - 4x$\sqrt{x}$ - 9y$\sqrt{y}$ + 6xy ;                              d) x - 2$\sqrt{x - 1}$ - $a^{2}$.

Trả lời:

a) x - 9 = ($\sqrt{x}$ - 3)($\sqrt{x}$ + 3)

b) x - 5$\sqrt{x}$ + 4 = x - $\sqrt{x}$ - 4$\sqrt{x}$ + 4 = $\sqrt{x}$($\sqrt{x}$ - 1) - 4($\sqrt{x}$ - 1) = ($\sqrt{x}$ - 1)($\sqrt{x}$ - 4).

c) 6$\sqrt{xy}$ - 4x$\sqrt{x}$ - 9y$\sqrt{y}$ + 6xy = 2$\sqrt{x}$(3$\sqrt{y}$ - 2x) - 3y(3$\sqrt{y}$ - 2x) = (3$\sqrt{y}$ - 2x)(2$\sqrt{x}$ - 3y) 

d) x - 2$\sqrt{x - 1}$ - $a^{2}$ = (x - 1 - 2$\sqrt{x - 1}$ + 1) - $a^{2}$

= $(\sqrt{x - 1} - 1)^{2}$ - $a^{2}$ = ($\sqrt{x - 1}$ - 1 - a)($\sqrt{x - 1}$ - 1 + a).

Câu 2: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Cho a > 0 chứng minh rằng a + $\frac{1}{a}$ $\geq $ 2.

b) $\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\geq $ 2 với mọi a.

c) $\sqrt{a + 1}$ - $\sqrt{a}$ <  $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ với a $\geq $ 1.

Trả lời:

a) Với a > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a + $\frac{1}{a}$ $\geq $ 2.$\sqrt{a.\frac{1}{a}}$ = 2  

Dấu = xảy ra khi a = $\frac{1}{a}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ = 1 $\Leftrightarrow $ a = 1 (vì a > 0)

b) Ta có:

$\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ = $\frac{a^{2} + a + 1 + 1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ = $\sqrt{a^{2} + a + 1}$ +  $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ 

Ta có: $a^{2}$ + a + 1 = (a + $\frac{}{}$ $(a + \frac{1}{4})^{2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi a

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\sqrt{a^{2} + a + 1}$ +  $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\geq $ 2.$\sqrt{\sqrt{a^{2} + a + 1}.\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}}$ = 2

Dấu = xảy ra khi $\sqrt{a^{2} + a + 1}$ =  $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + a + 1 = 1 $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + a = 0 $\Leftrightarrow $ a = 0 hoặc a = - 1 

Vậy $\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\geq $ 2 với mọi a.

c) Chứng minh $\sqrt{a + 1}$ - $\sqrt{a}$ <  $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ tức là ta chứng minh $\sqrt{a + 1}$ < $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ + $\sqrt{a}$

Với a $\geq $ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{1}{2\sqrt{a}}$ + $\sqrt{a}$ $\geq $.

Câu 3: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

a) Cho a $\geq $ 0, b $\geq $ 0. Chứng minh rằng:

* $\sqrt{a + b}$ $\leq $ $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ ;                              * $\sqrt{a - b}$ $\geq $ $\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$

Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = $\sqrt{x - 5}$ + $\sqrt{7 - x}$ và giá trị lớn nhất của C = $\sqrt{2x - 7}$ - $\sqrt{2x - 11}$.

Trả lời:

* Chứng minh: $\sqrt{a + b}$ $\leq $ $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$