Giải Toán 9 sách VNEN bài 9: Căn bậc ba

A.B. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG VÀ HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Đọc kĩ nội dung sau

• Căn bậc ba của một số là số x sao cho x$^{3}$ = a.

Chú ý: Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có $(\sqrt[3]{a})^{3}=\sqrt[3]{a^{3}}=a$

b) Tìm căn bậc ba của mỗi số sau: 

8 ; 0 ; $\frac{1}{216}$ ; - 27

Trả lời:

$\sqrt[3]{8}$ = $\sqrt[3]{2^{3}}$ = 2

$\sqrt[3]{0}$ = $\sqrt[3]{0^{3}}$ = 0

$\sqrt[3]{\frac{1}{216}}$ = $\sqrt[3]{(\frac{1}{6})^{3}}$ = $\frac{1}{6}$

$\sqrt[3]{- 27}$ = $\sqrt[3]{(-3)^{3}}$ = - 3.

c) Đọc kĩ nội dung sau:

• Căn bậc ba của số dương là số dương. Căn bậc ba của số 0 là chính số 0

2. a) Đọc hiểu nội dung

• a < b $\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$
• $\sqrt[3]{a.b}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$
• Với b $\neq $ 0 ta có $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$

b) So sánh:

1 và $\sqrt[3]{}$ ;      2 và $\sqrt[3]{5}$ ;         6 và $\sqrt[3]{42}$ ;        3$\sqrt[3]{6}$ và 6$\sqrt[3]{3}$ ;         0,7 và $\sqrt[3]{0,5}$.

Trả lời:

1 < 2 nên $\sqrt[3]{1}$ < $\sqrt[3]{2}$. Vậy 1 < $\sqrt[3]{2}$

8 > 5 nên $\sqrt[3]{8}$ > $\sqrt[3]{5}$. Vậy 2 > $\sqrt[3]{5}$

216 > 42 nên $\sqrt[3]{216}$ > $\sqrt[3]{42}$. Vậy 6 > $\sqrt[3]{42}$

162 < 648 nên $\sqrt[3]{162}$ < $\sqrt[3]{648}$ $\Leftrightarrow $ $\sqrt[3]{3^{3}.6}$ < $\sqrt[3]{6^{3}.3}$. Vậy 3$\sqrt[3]{6}$ < 6$\sqrt[3]{3}$

0,343 < 0,5 nên $\sqrt[3]{0,343}$ < $\sqrt[3]{0,5}$. Vậy 0,7 < $\sqrt[3]{0,5}$.

c) Rút gọn:

$\sqrt[3]{27a^{3}}$ - 2a ;                                       

 $\sqrt[3]{27a^{3}}$ - $\sqrt[3]{- 8a^{3}}$ - $\sqrt[3]{125a^{3}}$ ;

$\sqrt[3]{16x^{3}}$ - $\sqrt[3]{- 54x^{3}}$ - $\sqrt[3]{128x^{3}}$ ;                         

$\sqrt[3]{\frac{1}{8}y^{6}}$ +  $\sqrt[3]{\frac{1}{27}y^{3}}$ -  $\sqrt[3]{- \frac{1}{216}y^{6}}$

Trả lời:

* $\sqrt[3]{27a^{3}}$ - 2a = 3a - 2a = a

* $\sqrt[3]{27a^{3}}$ - $\sqrt[3]{- 8a^{3}}$ - $\sqrt[3]{125a^{3}}$ = 3a - (- 2a) - 5a = 0

* $\sqrt[3]{16x^{3}}$ - $\sqrt[3]{- 54x^{3}}$ - $\sqrt[3]{128x^{3}}$ = $\sqrt[3]{2.8x^{3}}$ - $\sqrt[3]{- 2.27^{3}}$ - $\sqrt[3]{2.64x^{3}}$ = 2x$\sqrt[3]{2}$ + 3x$\sqrt[3]{2}$ - 4x$\sqrt[3]{2}$ = $\sqrt[3]{2}$

* $\sqrt[3]{\frac{1}{8}y^{6}}$ +  $\sqrt[3]{\frac{1}{27}y^{3}}$ -  $\sqrt[3]{- \frac{1}{216}y^{6}}$ = $\frac{1}{2}$$y^{2}$ + $\frac{1}{3}$y +  $\frac{1}{6}$y = $\frac{1}{2}$$y^{2}$ + $\frac{1}{2}$y.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

Câu trả lời nào là đúng?

Nếu $x^{3}$ = - 2 thì x bằng;

A. - 8  ;                     B. $\sqrt{2}$ ;                      C. - $\sqrt[3]{2}$ ;                      D. $\sqrt[3]{2}$.

Trả lời:

Ta có: 

$x^{3}$ = - 2  $\Leftrightarrow $ x = $\sqrt[3]{- 2}$ = - $\sqrt[3]{2}$

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 2: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

Đúng điền Đ, sai điền S:

a) Nếu a > b thì $\sqrt{a}$ > $\sqrt{b}$ ;                                     b) Nếu a > b thì $\sqrt[3]{a}$ > $\sqrt[3]{b}$.

Trả lời:

a) Nếu a > b thì $\sqrt{a}$ > $\sqrt{b}$  Đúng

b) Nếu a > b thì $\sqrt[3]{a}$ > $\sqrt[3]{b}$  Đúng.

Câu 3: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

Kết quả nào sau đây là sai?

A. $\sqrt[3]{27}$ + $\sqrt[3]{3}$ = $\sqrt[3]{30}$ ;                      B. $\sqrt[3]{27}$.$\sqrt[3]{3}$ = 3$\sqrt[3]{3}$ ; 

C. $\sqrt[3]{a}$.$\sqrt[3]{b}$ = $\sqrt[3]{ab}$ ;                            D. $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ = $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$, b $\neq $ 0.

Trả lời:

A. Ta có: $\sqrt[3]{27}$ + $\sqrt[3]{3}$ = 3 + $\sqrt[3]{3}$ $\neq $ $\sqrt[3]{30}$ 

$\Rightarrow $ A sai

B. Ta có: $\sqrt[3]{27}$.$\sqrt[3]{3}$ = 3.$\sqrt[3]{3}$ = 3$\sqrt[3]{3}$ 

$\Rightarrow $ B đúng

C. Ta có: $\sqrt[3]{a}$.$\sqrt[3]{b}$ = $\sqrt[3]{a.b}$  = $\sqrt[3]{ab}$ 

$\Rightarrow $ C đúng

D. Ta có: $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ = $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$

D đúng

Vậy A sai.

Câu 4: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

Tính:

a) $\sqrt[3]{-216x^{3}y^{3}}$ ;                                        b) $\sqrt[3]{- 12,8x^{6}}$.$\sqrt[3]{0,04y^{3}}$.

Trả lời:

a) $\sqrt[3]{-216x^{3}y^{3}}$

 = $\sqrt[3]{- 216}$.$\sqrt[3]{x^{3}}$.a) $\sqrt[3]{y^{3}}$

= - 6xy

b) $\sqrt[3]{- 12,8x^{6}}$.$\sqrt[3]{0,04y^{3}}$

= $\sqrt[3]{- 12,8x^{6}.0,04y^{3}}$

= $\sqrt[3]{- 0,512x^{6}.y^{3}}$

= - 0,8$x^{2}$y.

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

a) Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{54 + 30\sqrt{3}}$ = 3 + $\sqrt{3}$

b) Tính B = $\sqrt[3]{54 + 30\sqrt{3}}$ +  $\sqrt[3]{54 - 30\sqrt{3}}$.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái:

$\sqrt[3]{54 + 30\sqrt{3}}$ = $\sqrt[3]{3^{3} + 3.3^{2}.\sqrt{3} + 3.3.(\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{3})^{3}}$ =  $\sqrt[3]{(3 + \sqrt{3})^{3}}$ = 3 + $\sqrt{3}$

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) 

B = $\sqrt[3]{54 + 30\sqrt{3}}$ +  $\sqrt[3]{54 - 30\sqrt{3}}$

    = $\sqrt[3]{3^{3} + 3.3^{2}.\sqrt{3} + 3.3.(\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{3})^{3}}$ + $\sqrt[3]{3^{3} - 3.3^{2}.\sqrt{3} + 3.3.(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{3})^{3}}$

    =  $\sqrt[3]{(3 + \sqrt{3})^{3}}$ +  $\sqrt[3]{(3 - \sqrt{3})^{3}}$

    = 3 + $\sqrt{3}$ + 3 - $\sqrt{3}$

    = 6

Vậy B = 6.

Câu 2: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau đây:

a) $\frac{1}{1 - \sqrt[3]{5}}$ ;             b) $\frac{1}{ \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}$ ;                c)  $\frac{1}{ 1 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}}$              

Trả lời:

a) $\frac{1}{1 - \sqrt[3]{5}}$ = $\frac{1 + \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^{2}}{(1 - \sqrt[3]{5})(1 + \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^{2})}$ = $\frac{1 + \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^{2}}{(1 - (\sqrt[3]{5})^{3}}$ = $\frac{1 + \sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^{2}}{- 4}$.

b) $\frac{1}{ \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}}$ = $\frac{(\sqrt[3]{2})^{2} - \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^{2}}{(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3})((\sqrt[3]{2})^{2} - \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^{2})}$ = $\frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{2})^{3} + (\sqrt[3]{3})^{3})}$ =  $\frac{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{5}$.

c) $\frac{1}{ 1 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}}$ = $\frac{1}{ 1 + \sqrt[3]{2} + 2(\sqrt[3]{2})^{2}}$ 

Câu 3: Trang 31 sách VNEN 9 tập 1

Em có biết:

a) Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm:

Với ba số a,b,c không âm thì $\frac{a + b + c}{3}$ $\geq $ $\sqrt[3]{abc}$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi a= b = c

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm, chứng minh:

a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước nhỏ nhất.

Trả lời:

a) Gọi độ dài ba cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c (a > 0, b > 0, c > 0) và tổng ba kích thước không đổi của hình hộp chữ nhật là k.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a,b, c ta có $\frac{a + b + c}{3}$ $\geq $ $\sqrt[3]{abc}$ hay $(\frac{k}{3})^{3}$ $\geq $ abc

Thể tích hình hộp chữ nhật lớn nhất bằng $(\frac{k}{3})^{3}$, đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể tích lớn nhất.

b) Gọi độ dài ba cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c (a > 0, b > 0, c>0) và thể tích không đổi của hình hộp chữ nhật là m.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a,b,c ta có $\frac{a + b + c}{3}$ $\geq $ $\sqrt[3]{abc}$ hay a + b + c  $\geq $ 3$\sqrt[3]{m}$

Tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật nhỏ nhất bằng 3$\sqrt[3]{m}$ , đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Vậy trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước nhỏ nhất.