Giải Toán 9 sách VNEN bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

A.B. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG và HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1.b) Đọc kĩ nội dung sau

• Với hai biểu thức A, B mà B $\geq $ 0, ta có tức là: $\sqrt{A^{2}.B}=|A|\sqrt{B}$
• Nếu A $\geq $ 0 và B $\geq $ 0 thì $\sqrt{A^{2}.B}=A\sqrt{B}$;
• Nếu A < 0 và B $\geq $ 0 thì $\sqrt{A^{2}.B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{27x^{2}y^{4}}$ với x $\geq $ 0 ;                        b) $\sqrt{125x^{4}y^{2}}$ với y < 0 ;

c) $\sqrt{13xy^{2}}$ với x $\geq $ 0, y < 0 ;                    d) $\frac{1}{2yz}$$\sqrt{4y^{3}z^{2}}$ với y,z > 0.

Trả lời:

a) Ta có:

$\sqrt{27x^{2}y^{4}}$ = $\sqrt{3^{2}.3.x^{2}y^{4}}$ = 3$\sqrt{3}$x$y^{2}$

b) Ta có:

$\sqrt{125x^{4}y^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}.5.x^{4}y^{2}}$ = 5$\sqrt{5}$$x^{2}$y.

c) Ta có:

$\sqrt{13xy^{2}}$ = y$\sqrt{13x}$

d) Ta có:

$\frac{1}{2yz}$$\sqrt{4y^{3}z^{2}}$ = $\frac{1}{2yz}$.2yz$\sqrt{y}$ = $\sqrt{y}$.

2. a) Đọc kĩ nội dung sau

• Với A $\geq $ 0 và B $\geq $ 0 ta có $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}.B}$;
• Với A < 0 và B $\geq $ 0 ta có $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}.B}$.

b) So sánh:

2$\sqrt{10}$ và $\sqrt{41}$ ;                    2$\sqrt{3}$ và $\sqrt{18}$ ;

3$\sqrt{11}$ và 2$\sqrt{23}$ ;                  $\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$ và $\frac{2}{3}$$\sqrt{7}$

Trả lời:

* Ta có: 2$\sqrt{10}$ = $\sqrt{2^{2}}$.$\sqrt{10}$ = $\sqrt{2^{2}.10}$ = $\sqrt{40}$

        Vì: $\sqrt{40}$ < $\sqrt{41}$ nên 2$\sqrt{10}$ < $\sqrt{41}$.

* Ta có: 2$\sqrt{3}$ = $\sqrt{2^{2}}$.$\sqrt{3}$ = $\sqrt{2^{2}.3}$ = $\sqrt{12}$

        Vì: $\sqrt{12}$ < $\sqrt{18}$ nên 2$\sqrt{3}$ < $\sqrt{18}$.

* Ta có: 3$\sqrt{11}$ = $\sqrt{3^{2}}$.$\sqrt{11}$ = $\sqrt{3^{2}.11}$ = $\sqrt{99}$

             2$\sqrt{23}$ = $\sqrt{2^{2}}$.$\sqrt{23}$ = $\sqrt{2^{2}.23}$ = $\sqrt{92}$

        Vì: $\sqrt{99}$ > $\sqrt{92}$ nên 3$\sqrt{11}$ < 2$\sqrt{23}$.

* Ta có:  $\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$ = $\sqrt{(\frac{5}{4})^{2}}$.$\sqrt{2}$ = $\sqrt{(\frac{5}{4})^{2}.2}$ = $\sqrt{\frac{25}{8}}$

              $\frac{2}{3}$$\sqrt{7}$ = $\sqrt{(\frac{2}{3})^{2}}$.$\sqrt{7}$ = $\sqrt{(\frac{2}{3})^{2}.7}$ = $\sqrt{\frac{28}{9}}$

        Vì: $\sqrt{\frac{25}{8}}$ > $\sqrt{\frac{28}{9}}$ nên $\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$ > $\frac{2}{3}$$\sqrt{7}$.

3. a) Đọc kĩ nội dung sau

• Khi biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, người ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn.

4. a) Đọc kĩ nội dung sau

• Với các biểu thức A, B mà A.B $\geq $ 0 và B $\neq $ 0 ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A.B}}{|B|}$
• Với các biểu thức A, B mà B > 0 ta có: $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A.\sqrt{B}}{B}$
• Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có: $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C.(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}$
• Với các biểu  thức A, B, C mà A $\geq $ 0, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B ta có: $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C.(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$

b) Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{13}{540}}$ ;             

b) $\sqrt{\frac{2x}{y}}$ với x $\geq $ 0, y > 0 ;                         

c) $\sqrt{\frac{15x}{31y}}$ với x > 0, y > 0.

Trả lời:

a) Ta có:

$\sqrt{\frac{13}{540}}$ = $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{540}}$ = $\frac{\sqrt{13}.\sqrt{540}}{\sqrt{540}.\sqrt{540}}$ =  $\frac{6\sqrt{540}}{540}$.

b) Ta có:

$\sqrt{\frac{2x}{y}}$ = $\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{y}}$ = $\frac{\sqrt{2x}.\sqrt{y}}{\sqrt{y}.\sqrt{y}}$ = $\frac{\sqrt{2xy}}{y}$.

c) Ta có:

$\sqrt{\frac{15x}{31y}}$ = $\frac{\sqrt{15x}}{\sqrt{31y}}$ = $\frac{\sqrt{15x}.\sqrt{31y}}{\sqrt{31y}.\sqrt{31y}}$ = $\frac{\sqrt{465xy}}{31y}$.

c) Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{13}{\sqrt{2b}}$ với b $\geq $ 0 ;                               

b) $\frac{3b}{\sqrt{b - 1}}$ với b $\geq $ 0 và b $\neq $ 1.

Trả lời:

a) $\frac{13}{\sqrt{2b}}$ = $\frac{13.\sqrt{2b}}{\sqrt{2b}.\sqrt{2b}}$ = $\frac{13\sqrt{2b}}{2b}$.

b) $\frac{3b}{\sqrt{b - 1}}$ = $\frac{3b.\sqrt{b - 1}}{\sqrt{b - 1}.\sqrt{b - 1}}$ = $\frac{3b\sqrt{b - 1}}{b -1}$.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 22 sách VNEN 9 tập 1

Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) 3$\sqrt{5}$ = $\sqrt{30}$ ;                  b) -3$\sqrt{5}$ = -$\sqrt{30}$ ;      c) -3$\sqrt{5}$ = -$\sqrt{45}$ ;       d) -3$\sqrt{5}$ = $\sqrt{45}$

Trả lời:

Ta có:

3$\sqrt{5}$ = $\sqrt{3^{2}.5}$ = $\sqrt{45}$

- 3$\sqrt{5}$ = - $\sqrt{3^{2}.5}$ = - $\sqrt{45}$

Suy ra khẳng định c đúng

Câu 2: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

Khẳng định nào sau đây là sai:

a) $\sqrt{(-3)^{2}.5}$ = -3$\sqrt{5}$ ;                                       b) $\sqrt{3^{2}.5}$ = 3$\sqrt{5}$ ;

c) $\sqrt{9x^{2}}$ = -3x với x $\leq $ 0;                                   d) $\sqrt{(x - 3)^{2}}$ = 3 - x với x $\leq $ 3.

Trả lời:

Ta có:

$\sqrt{(-3)^{2}.5}$ = $\left |(-3)  \right |$$\sqrt{5}$  = 3$\sqrt{5}$  suy ra a sai. b đúng

Ta có: với x $\leq $

$\sqrt{9x^{2}}$ = - 3x vì - 3x > 0 và $(- 3x)^{2}$ = $9x^{2}$ suy ra c đúng

Ta có: x $\leq $ 3

$\sqrt{(x - 3)^{2}}$ = 3 - x > 0 và $(3 - x)^{2}$ = $(x - 3)^{2}$ suy ra d đúng

Vậy a và b sai.

Câu 3: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng:

Giá trị của biểu thức $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ bằng

A. 0                         B. 4                      C.2$\sqrt{2}$                           D. - 2$\sqrt{2}$

Trả lời:

Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ - $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}).(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$ - $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}).(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$ =  $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}).(\sqrt{3} - \sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2}}{1}$ = - 2$\sqrt{2}$

Suy ra đáp án là D.

Câu 4: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng:

Trục căn thức ở mẫu của $\frac{\sqrt{7}}{4 + \sqrt{17}}$ ta được:

A. 4                          B. $\frac{1}{4}$                  C. $\sqrt{17}$(4- $\sqrt{17}$)                    D. $\sqrt{17}$($\sqrt{17}$ - 4)

Trả lời:

Ta có:

$\frac{\sqrt{7}}{4 + \sqrt{17}}$ = $\frac{\sqrt{7}(4 - \sqrt{17})}{4 + \sqrt{17}(4 - \sqrt{17})}$ = $\frac{\sqrt{7}(4 - \sqrt{17})}{16 - 17}$ = $\sqrt{7}$($\sqrt{17}$ - 4)

Suy ra đáp án là D.

Câu 5: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a) $\sqrt{\frac{x}{y^{3}} + \frac{2x}{y^{4}}}$ ;                                   b) $\frac{x - \sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ ; 

c) (a - b)$\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{(a - b)^{2}}}$ ;                                d) $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}$.

Trả lời:

a) Ta có:

$\sqrt{\frac{x}{y^{3}} + \frac{2x}{y^{4}}}$ = $\sqrt{\frac{xy + 2x}{y^{4}}}$ = $\frac{\sqrt{xy + 2x}}{y^{2}}$.

b) Ta có:

$\frac{x - \sqrt{xy}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = $\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$= \sqrt{x}.

c) Ta có:

(a - b)$\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}}{(a - b)^{2}}}$ = (a - b)$\sqrt{(\frac{ab}{(a - b))^{2}}}$ = (a - b).$\frac{ab}{a - b}$ = ab.

d) Ta có:

$\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}}$ = $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a})^{3} + (\sqrt{3})^{3}}$ = $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a}+ \sqrt{3})((\sqrt{a})^{2} - \sqrt{3a} + (\sqrt{3})^{2})}$ = $\frac{a - \sqrt{3a} + 3}{(\sqrt{a}+ \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3)}$ = $\frac{1}{\sqrt{a}+ \sqrt{3}}$.

Câu 6: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính cầm tay):

a) $\frac{1}{7}$$\sqrt{51}$ với $\frac{1}{9}$$\sqrt{150}$ ;                       

b) $\sqrt{2017}$ - $\sqrt{2016}$ với $\sqrt{2016}$ - $\sqrt{2015}$.

Trả lời:

a) $\frac{1}{7}$$\sqrt{51}$ < $\frac{1}{7}$$\sqrt{64}$ = $\frac{8}{7}$

$\frac{1}{9}$$\sqrt{150}$ > $\frac{1}{9}$$\sqrt{144}$ = $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{6}$ > $\frac{8}{7}$

=> $\frac{1}{7}$$\sqrt{51}$ < $\frac{1}{9}$$\sqrt{150}$ 

b) $\sqrt{2017}$ - $\sqrt{2016}$ = $\frac{(\sqrt{2017}-\sqrt{2016})(\sqrt{2017}+\sqrt{2016})}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}=\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$

$\sqrt{2016}$ - $\sqrt{2015}$ = $\frac{(\sqrt{2016}-\sqrt{2015})(\sqrt{2016}+\sqrt{2015})}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}=\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$

Vì $\sqrt{2017}+\sqrt{2016}$ > $\sqrt{2016}+\sqrt{2015}$ => $\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$ < $\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}$

=> $\sqrt{2017}$ - $\sqrt{2016}$ < $\sqrt{2016}$ - $\sqrt{2015}$

Câu 7: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ ;                                      b) $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2}$ - $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ + $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ ;

c) $\sqrt{x}$ - 2 + $\frac{10 - x}{\sqrt{x} + 2}$ với x $\geq $ 0 ;                        d) $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ với x $\geq $ 0, y $\geq $ 0 và x $\neq $ y.

Trả lời:

Giải câu a)

$\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$  -  $\frac{1}{\sqrt{3} + 1}$=$\frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$  -  $\frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$ = $\frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}$ = $\frac{2}{3 - 1}$ = 1.

Giải câu b)

$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 2}$ - $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ + $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}$ - $\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$ + $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}$ - $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}$ + $\frac{(\sqrt{2} + 1)(1 + \sqrt{2})}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} + 2 + 1 + 2\sqrt{2} }{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}$ = $\frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}$ = $\sqrt{2}$.

Giải câu c)

$\sqrt{x}$ - 2 + $\frac{10 - x}{\sqrt{x} + 2}$ = $\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2}$ + $\frac{10 - x}{\sqrt{x} + 2}$ = $\frac{x - 4 + 10 - x}{\sqrt{x} + 2}$ = $\frac{6}{\sqrt{x} + 2}$

Giải câu d)

$\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = $\frac{(\sqrt{x})^{3} - (\sqrt{y})^{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^{2} + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^{2})}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = $(\sqrt{x})^{2}$ + $\sqrt{x}$$\sqrt{y}$ + $(\sqrt{y})^{2}$.

Câu 8: Trang 23 sách VNEN 9 tập 1

Tìm x, biết:

a) $\sqrt{2x + 3}$ = 3 - $\sqrt{5}$ ;                                 b) $\sqrt{5 + \sqrt{7x}}$ = 2 + $\sqrt{7}$ ;

c) ($\sqrt{x}$ - 2)(5 - $\sqrt{x}$) = 4 - x ;                           d) $\frac{1}{2}$$\sqrt{x - 1}$ - $\frac{3}{2}$$\sqrt{9x - 9}$ + 24$\sqrt{\frac{x - 1}{64}}$ = -17

Trả lời:

Giải câu a)

Ta có: $\sqrt{2x + 3}$ = 3 - $\sqrt{5}$ 

$\Leftrightarrow $ 2x + 3 = $(3 - \sqrt{5})^{2}$

$\Leftrightarrow $ 2x + 3 = 9 + 5 - 6$\sqrt{5}$ 

$\Leftrightarrow $ x = $\frac{11}{2}$ - 3$\sqrt{5}$ 

Vậy x = $\frac{11}{2}$ - 3$\sqrt{5}$.

Giải câu b)

Ta có: $\sqrt{5 + \sqrt{7x}}$ = 2 + $\sqrt{7}$ 

$\Leftrightarrow $ 5 + $\sqrt{7x}$ =  $(2 + \sqrt{7})^{2}$

$\Leftrightarrow $ 5 + $\sqrt{7x}$ =  4 + 7 + 4$\sqrt{7}$ 

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{7x}$ =  6 + 4$\sqrt{7}$ 

$\Leftrightarrow $ 7x =  $(6+ 4\sqrt{7})^{2}$

$\Leftrightarrow $ 7x = 36 +  112 + 48$\sqrt{7}$ 

$\Leftrightarrow $ x = $\frac{148}{7}$ + $\frac{48}{7}$$\sqrt{7}$

Vậy x = $\frac{148}{7}$ + $\frac{48}{7}$$\sqrt{7}$

Giải câu c)

Ta có: ($\sqrt{x}$ - 2)(5 - $\sqrt{x}$) = 4 - x

$\Leftrightarrow $ 5$\sqrt{x}$ - x - 10 + 2$\sqrt{x}$ = 4 - x

$\Leftrightarrow $ 7$\sqrt{x}$ = 14 

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{x}$ = 2

$\Leftrightarrow $ x = 4

Vậy x = 4

Giải câu d)

Ta có: $\frac{1}{2}$$\sqrt{x - 1}$ - $\frac{3}{2}$$\sqrt{9x - 9}$ + 24$\sqrt{\frac{x - 1}{64}}$ = -17

$\Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}$$\sqrt{x - 1}$ - $\frac{9}{2}$$\sqrt{x - 1}$ + 3$\sqrt{x - 1}$ = -17

$\Leftrightarrow $ - $\sqrt{x - 1}$ = -17

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{x - 1}$ = 17

$\Leftrightarrow $ x - 1 = 289

$\Leftrightarrow $ x = 290

Vậy x = 290.

Câu 9: Trang 24 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh đẳng thức:

a) $\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$ + 2$\sqrt{\frac{2}{3}}$ - 4$\sqrt{\frac{3}{2}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ;

b) $\frac{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$ : $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = x - y với x > 0, y > 0, x $\neq $ y ;

c) $\frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}}$ + $\frac{\sqrt{x}}{y - \sqrt{xy}}$ = $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$ với x > 0, y > 0, x $\neq $ y.

Trả lời:

Giải câu a)

Ta có: $\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$ + 2$\sqrt{\frac{2}{3}}$ - 4$\sqrt{\frac{3}{2}}$ = $\frac{3}{2}$.$\frac{6}{\sqrt{6}}$ + 2$\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{3}.\sqrt{2}}$- 4$\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}$ = $\frac{9}{\sqrt{6}}$ + $\frac{4}{\sqrt{6}}$ - $\frac{12}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{\sqrt{6}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{6}$ (đpcm)

Vậy $\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$ + 2$\sqrt{\frac{2}{3}}$ - 4$\sqrt{\frac{3}{2}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Giải câu b)

Ta có: $\frac{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$ : $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = ($\frac{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$).($\sqrt{x}$ - $\sqrt{y}$) = $\frac{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}}$.($\sqrt{x}$ - $\sqrt{y}$) = ($\sqrt{x}$ + $\sqrt{y}$)($\sqrt{x}$ - $\sqrt{y}$) = x - y (đpcm)

Vậy $\frac{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}$ : $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ = x - y.

Giải câu c)

Ta có: $\frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}}$ + $\frac{\sqrt{x}}{y - \sqrt{xy}}$ = $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$ + $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}(\sqrt{y} - \sqrt{x})}$ = $\frac{y}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$ - $\frac{x}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$ = - $\frac{x - y}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$ = - $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} - \sqrt{y})}$ =  - $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$ (đpcm)

Vậy $\frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}}$ + $\frac{\sqrt{x}}{y - \sqrt{xy}}$ = $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{xy}}$.

Câu 10: Trang 24 sách VNEN 9 tập 1

Cho biểu thức:

P = $\left (\frac{\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{1}{ \sqrt{x} - 2}  \right )$.$\frac{\sqrt{x} - 2}{2}$ với x $\geq $ 0, x $\neq $ 4.

a)  Tìm giá trị của P khi x = 64

b) Rút gọn biểu thức P ;

c) Tìm các giá trị của x để biểu thức 2P nhận giá trị nguyên.

Trả lời:

a) Với x = 64 thì 

P = $\frac{9}{10}$

b) P = $\left (\frac{\sqrt{x}}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}  \right )$.$\frac{\sqrt{x} - 2}{2}$ 

        = $\left (\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}  \right )$.$\frac{\sqrt{x} - 2}{2}$

        = $\left (\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} + \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}  \right )$.$\frac{\sqrt{x} - 2}{2}$

        = $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$.$\frac{\sqrt{x} - 2}{2}$

        = $\frac{2\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$.$\frac{\sqrt{x} - 2}{2}$

        = $\frac{2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$.$\frac{1}{2}$

        = $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$

c) 2P = $\frac{2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$ = 2 - $\frac{2}{\sqrt{x} + 2}$

Để 2P nguyên thì $\frac{2}{\sqrt{x} + 2}$ phải nguyên hay $\sqrt{x}$ + 2 là ước của 2

Vì $\sqrt{x}$ $\geq $ 0 nên $\sqrt{x}$ + 2 $\geq $ 2

Suy ra $\sqrt{x}$ + 2 = 2 $\Leftrightarrow $ x = 0

Vậy x = 0.

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 24 sách VNEN 9 tập 1

Giải phương trình:

x - 7$\sqrt{x - 3}$ + 9 = 0

Trả lời:

x - 7$\sqrt{x - 3}$ + 9 = 0 

$\Leftrightarrow $ x - 3 - 7$\sqrt{x - 3}$ + 12 = 0

Đặt $\sqrt{x - 3}$ = t (t$\geq $ 0)

Phương trình $\Leftrightarrow $ $t^{2}$ - 7t + 12 = 0 $\Leftrightarrow $ t = 4 hoặc t = 3

* t = 3 $\Leftrightarrow $ $\sqrt{x - 3}$ = 3  $\Leftrightarrow $ x = 12

* t = 4 $\Leftrightarrow $ $\sqrt{x - 3}$ = 4  $\Leftrightarrow $ x = 19

Vậy tập nghiệm của x là S = {12; 19}.

Câu 2: Trang 24 sách VNEN 9 tập 1

Chỉ ra chỗ sai trong các biến đổi sau:

a) x$\sqrt{\frac{2}{5}}$ = $\sqrt{\frac{2^{2}}{5}}$ ;                          b) ab$\sqrt{\frac{a}{b}}$ = a$\sqrt{\frac{ab^{2}}{b}}$ = a$\sqrt{ab}$.

Trả lời:

a) x$\sqrt{\frac{2}{5}}$ = $\sqrt{\frac{2^{2}}{5}}$ 

Biến đổi trên sai trong trường hợp x < 0

Với x < 0  thì x$\sqrt{\frac{2}{5}}$ = - $\sqrt{\frac{2^{2}}{5}}$ 

b) Biến đổi trên sai trong trường hợp b < 0

Với b < 0  thì ab$\sqrt{\frac{a}{b}}$ = - a$\sqrt{\frac{ab^{2}}{b}}$ = - a$\sqrt{ab}$.

Câu 3: Trang 24 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh giá trị các biểu thức sau là nguyên:

A = $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ - $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ ;                                      B = 2$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ - $\sqrt{21 - 4\sqrt{5}}$

Trả lời:

A = $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ - $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ 

   = $\sqrt{2 - 2\sqrt{2} + 1}$ - $\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}$ 

   = $\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^{2}}$ - $\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^{2}}$ 

   = $\sqrt{2}$ - 1 - $\sqrt{2}$ - 1

   = - 2

Vậy A là số nguyên.

B = 2$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ - $\sqrt{21 - 4\sqrt{5}}$ 

   = 2$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ - $\sqrt{21 - 2\sqrt{20}}$ 

   = 2$\sqrt{4 - 4\sqrt{5} + 5}$ - $\sqrt{20 - 2\sqrt{20} + 1}$

   = 2$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}}$ - $\sqrt{(\sqrt{20} - 1)^{2}}$

   = 2($\sqrt{5}$ - 2) - ($\sqrt{20}$ - 1)

   = 2$\sqrt{5}$ - 4 - 2$\sqrt{5}$ + 1

   = - 3

Vậy B là số nguyên.

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 24 sách VNEN 9 tập 1

Em có biết?

Biết diện tích Trái Đất khoảng 510 triệu $km^{2}$, em hãy tính ước lượng bán kính Trái Đất và độ dài đường tròn xích đạo.

Trả lời:

Gọi bán kính của Trái Đất là R (km) (R > 0).

Diện tích Trái Đất là 510 triệu $km^{2}$ tức là $\Pi $$R^{2}$ = 510 $\Leftrightarrow $ R = 12,7 km

Độ dài đường tròn xích đạo chính là chu vi của Trái Đất C = 2$\Pi $R = 80.1 km

Vậy bán kính Trái Đất là 12,7km, độ dài đường tròn xích đạo là 80,1km.