Giải Toán 9 sách VNEN bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

A. Hoạt động khởi động

1. Đọc và tìm hiểu cách giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x - 2y = 1\\ 5x + 2y = 17\end{matrix}\right.$ (sgk trang 11)

2. Đọc cách giải hệ phương trình sau và giải thích cách làm để xuất hiện phương trình mới một ẩn.

Cách giải hệ phương trình (sgk trang 11)

Trả lời:

Cách làm để xuất hiện phương trình mới một ẩn: Cộng vế với vế của hai phương trình ở hệ trước nó.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 12)

2. Giải các hệ phương trình sau

a) $\left\{\begin{matrix}5x - 4y = 9\\ 2x + 3y = -1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}3x + 2y = -7\\ 4x - 5y = 6\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}5x - 4y = 9\\ 2x + 3y = -1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}15x - 12y = 27\\ 8x + 12y = -4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}23x = 23\\ 2x + 3y = -1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ 2x + 3y = -1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = -1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}3x + 2y = -7\\ 4x - 5y = 4x - 5y = 6 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}15x + 10y = -35\\ 8x - 10y = 12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}23x = -23\\ 4x - 5y = 6 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -1\\ y = -2 \end{matrix}\right.$

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 12 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a) $\left\{\begin{matrix}2x - y = 5\\ 3x + y = 10\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x + 5y = 7\\ 3x - 2y = 4\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}2x + 5y = -2\\ 3x -2y = 4\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}3x + 4y = 5\\ 2x - 5y = -12\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}2x - y = 5\\ 3x + y = 10\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5x = 15\\ 3x + y = 10\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 3\\ y = 1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x + 5y = 7\\ 3x - 2y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x + 10y = 14\\ 15x - 10y = 20\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}17x = 34\\ x + 5y = 7\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\\ y = 1\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}2x + 5y = -2\\ 3x - 2y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x + 10y = -4\\ 15x - 10y = 20\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}19x = 16\\ 3x - 2y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{16}{19}\\ y = \frac{-14}{19}\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}3x + 4y = 5\\ 2x - 5y = -12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}6x + 8y = 10\\ 6x - 15y = -36\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}23y = 46\\ 3x + 4y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 2\\ x = -1\end{matrix}\right.$

Câu 2: Trang 12 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

a) $\left\{\begin{matrix}x - 2y = -8\\ 7x + 2y = -8\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}2x - 5y = -1,1\\ 5x - 2y = 0,1\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = -\frac{1}{12}\\ -3x + 2y = -12\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}x + 2y = 5\sqrt{5}\\ \sqrt{5}x + y = 5 + 2\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}x - 2y = -8\\ 7x + 2y = -8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}8x= -16\\ x - 2y = -8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x= -2\\ x - 2y = -8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x= -2\\ y = 3\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}2x - 5y = -1,1\\ 5x - 2y = 0,1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}20x - 50y = -11\\ 50x - 20y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}100x - 250y = -55\\ 100x - 40y = 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}210y = 57\\ 50x - 20y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \frac{19}{70}\\ x = \frac{9}{70}\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = -\frac{1}{12}\\ -3x + 2y = -12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x  + 3y = -1\\ -3x + 2y = -12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12x  + 9y = -3\\ -12x + 8y = -48\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}17y = -51\\ -3x + 2y = -12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = -3\\ -3x + 2y = -12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2\\ y = -3\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}x + 2y = 5\sqrt{5}\\ \sqrt{5}x + y = 5 + 2\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + 2y = 5\sqrt{5}\\ 2\sqrt{5}x + 2y = 10 + 4\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + 2y = 5\sqrt{5}\\ (2\sqrt{5} - 1)x = -\sqrt{5} + 10\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{-\sqrt{5} + 10}{2\sqrt{5} - 1}\\ x + 2y = 5\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{(-\sqrt{5} + 10)(2\sqrt{5} + 1)}{19}\\ x + 2y = 5\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{19\sqrt{5}}{19}\\ x + 2y = 5\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \sqrt{5}\\ y = 2\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

Câu 3: Trang 13 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Xác định các hệ số a, b, biết hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}ax + by = 5\\ ax - by = -3\end{matrix}\right.$ có nghiệm (1; -2).

Trả lời:

Ta có: $\left\{\begin{matrix}ax + by = 5\\ ax - by = -3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2ax = 2\\ ax - by = -3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = \frac{1}{x}\\ b = \frac{4}{y}\end{matrix}\right.$

Do hệ phương trình có nghiệm (x; y)  = (1; -2) nên: $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 1\\ b = -2\end{matrix}\right.$

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 13 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Bằng cách đặt ẩn phụ, đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải.

a) $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{5}{8}\\ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{3}{8}\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} = 3\\ 3\sqrt{x} - 4\sqrt{y - 1} = -5\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5\end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{x} = u;\;\frac{1}{y} = v \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u - v = \frac{1}{2}\\ 3u + 4v = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4u - 4v = 2\\ 3u + 4v = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7u = 7\\ 3u + 4v = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = 1\\ v = \frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = 2\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{5}{8}\\ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{3}{8}\end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{x + y} = u;\;\frac{1}{x - y} = v \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u + v = \frac{5}{8}\\ u - v = \frac{3}{8}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2u = 1\\ u - v = \frac{3}{8}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = \frac{1}{2}\\ v = \frac{1}{8}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x + y = 2\\ x - y = 8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x = 10\\ x - y = 8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 5\\ y = -3\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} = 3\\ 3\sqrt{x} - 4\sqrt{y - 1} = -5\end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt{x} = u;\;\sqrt{y - 1} = v \Rightarrow  \left\{\begin{matrix}u + v = 3\\ 3u - 4v = -5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4u + 4v = 12\\ 3u - 4v = -5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7u = 7\\ 3u - 4v = -5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = 1\\ 3u - 4v = -5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = 1\\ v = 2\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow  \left\{\begin{matrix}\sqrt{x} = 1\\ \sqrt{y - 1} = 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y -1 = 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = 3\end{matrix}\right. $

Câu 2: Trang 12 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Xác định m để ba phương trình sau có cùng một nghiệm:

$2x - 1 = -1;\;x + y = -2; y = -2x - m$

Trả lời:

Xét hai phương trình: $\left\{\begin{matrix}2x - 1 = -1\\ x + y = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x = 0\\ x + y = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 0\\ y = -2\end{matrix}\right.$

Nghiệm của phương trình thứ nhất và phương trình thứ 2 là $(x; y) = (0, -2)$.

Vậy, để ba phương trình đã cho có cùng một nghiệm thì $(x; y) = (0, -2)$ phải là nghiệm chung của ba phương trình. Thay vào phương trình thứ 3, ta được:

$-2 = -2\times 0 - m \Leftrightarrow  m = 2$.

Vậy, với m= 2 thì ba phương trình đã cho có cùng nghiệm $(x; y) = (0, -2)$