Giải Toán 9 sách VNEN bài 11: Ôn tập chương IV

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 65 toán VNEN 9 tập 2

Thực hiện các hoạt động sau

Hãy vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2$; $y = -x^2$.

Dựa vào đồ thị, viết tiếp vào chỗ chấm (...) để hoàn thiện các khẳng định sau:

Hàm số $y = ax^2$

$a>0$	$a<0$
Hàm số nghịch biến khi $...............$; đồng biến khi $................$ y = 0 là giá trị $.........$ của hàm số, đạt được khi $...............$ Đồ thị nằm phía $......$ trục hoành; O là điểm $.........$ của đồ thị.	Hàm số đồng biến khi $...............$; nghịch biến khi $................$ y = 0 là giá trị $.........$ của hàm số, đạt được khi $...............$ Đồ thị nằm phía $......$ trục hoành; O là điểm $.........$ của đồ thị.

Trả lời:

Đồ thị hàm số: $y = x^2$ và $y = -x^2$ trên cùng một hệ trục tọa độ

$a>0$	$a<0$
Hàm số nghịch biến khi x < 0; đồng biến khi x > 0. y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x = 0; y = 0. Đồ thị nằm phía trên trục hoành; O là điểm thấp nhất của đồ thị.	Hàm số đồng biến khi x < 0; nghịch biến khi x > 0 y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x = 0; y = 0. Đồ thị nằm phía dưới trục hoành; O là điểm cao nhất của đồ thị.

Câu 2: Trang 66 toán VNEN 9 tập 2

Xét phương trình bậc hai $ax^2 + bx+c=0 \;(a\neq 0)$, viết tiếp vào chỗ chấm (...) để hoàn thiện các nội dung sau:

• Khi a và c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt vì $......................$

Trả lời:

• Khi a và c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt vì $\Delta > 0 \;\forall x$

Câu 3: Trang 66 toán VNEN 9 tập 2

Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để hoàn thiện các nội dung về hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$

a) Nếu $x_1;\;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ thì:

$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = ...\\ x_1\times x_2 = ...\end{matrix}\right.$

b) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có $..................$

c) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có $..............$

d) Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S và uv = P, ta giải phương trình $..............$

(Điều kiện để có hai số đó là $.................$)

Trả lời:

a) Nếu $x_1;\;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ thì:

$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1\times x_2 = \frac{c}{a}\end{matrix}\right.$

b) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có một nghiệm là $x_1 = 1$; nghiệm còn lại là $x_2 = \frac{c}{a}$

c) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có một nghiệm là $x_1 = -1$; nghiệm còn lại là $x_2 = -\frac{c}{a}$

d) Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S và uv = P, ta giải phương trình $x^2-Sx+P=0$

(Điều kiện để có hai số đó là $S^2 - 4P > 0$)

Câu 4: Trang 66 toán VNEN 9 tập 2

Nêu cách giải phương trình trùng phương $ax^4+bx^2+c=0\;(a\neq 0)$

Trả lời:

Để giải phương trình trùng phương có dạng: $ax^4+bx^2+c=0\;(a\neq 0)$ ta cso thể đưa phương trình trùng phương về phương trình bậc hai bằng các đặt ẩn phụ như sau:

Đặt $x^2 = t$ (t > 0), phương trình trở thành: $at^2+bt+c=0\;(a\neq 0)$

6. Giải các bài tập sau

Câu 6.1: Trang 68 toán VNEN 9 tập 2:

Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3}x^2$ và $y = -\frac{1}{3}x^2$ trên cùng một hệ trục tọa độ

a) Qua điểm A(0; 1) kẻ đường thằng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{3}x^2$ tại hai điểm E và E'. Tìm hoành độ của E và E'

b) Tìm trên đồ thị hàm số $y = -\frac{1}{3}x^2$ điểm F có cùng hoành độ với điểm E, điểm F' có cùng hoành độ với điểm E'. Đường thằng FF' có song song với Ox không? Vì sao?

Tìm tung độ của F và F' bằng hai cách:

• Ước lượng trên hình vẽ;
• Tính toán theo công thức.

Trả lời:

a) Hoành độ của E và E' là: $1 = \frac{1}{3}x^2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

b) Từ đồ thị, tung độ của F và F' là -1;

Tính toán: $y = -\frac{1}{3}x^2 = -\frac{1}{3}(\pm \sqrt{3})^2 = -1$

Câu 6.2: Trang 68 toán VNEN 9 tập 2

Cho phương trình: $2x^2 -x-3=0$

a) Giải phương trình trên.

b) Vẽ hai đồ thị $y = 2x^2$ và $y=x+3$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Trả lời:

a) $2x^2 -x-3=0$

$\Delta = (-1)^2-4\times 2\times (-3) = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = -1$ và $x_2 = \frac{3}{2}$

b) 

c) Giao điểm của hai đồ thị là:

Phương trình hoành độ giao điểm: $2x^2 = x + 3 \Leftrightarrow 2x^2 - x-3=0$

Đây chính là phương trình ở phần a) do đó, nghiệm tìm được ở câu a là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Câu 6.3 Trang 68 toán VNEN 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $2x^4 -7x^2+5=0$

b) $2x^4+5x^2+2=0$

c) $x^4+3x^2-10=0$

Trả lời:

a) $2x^4 -7x^2+5=0$

Đặt $x^2 = t$ (t > 0) $\Rightarrow $ Phương trình đã cho trở thành: $2t^2-7t+5=0$

Phương trình này có a + b + c = 0 nên có hai nghiệm là: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}t_1=1\;(tm)\\ t_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}\;(tm)\end{matrix}\right.$

• $t_1 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$
• $t_2 = \frac{5}{2} \Rightarrow x^2 = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

b) $2x^4+5x^2+2=0$

Đặt $x^2 = t$ (t > 0) $\Rightarrow $ Phương trình đã cho trở thành: $2t^2+5t+2=0$

$\Delta = 5^2-4\times 2\times 2 = 9 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 3$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}t_1=-\frac{1}{2}\;(ktm)\\ t_2 = -2\;(ktm)\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $x^4+3x^2-10=0$

Đặt $x^2 = t$ (t > 0) $\Rightarrow $ Phương trình đã cho trở thành: $t^2+3t-10=0$

$\Delta = 3^2-4\times 1\times (-10) = 49 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 7$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}t_1=2\;(tm)\\ t_2 = -5\;(ktm)\end{matrix}\right.$

• $t_1 = 2 \Rightarrow x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Câu 6.4: Trang 68 toán VNEN 9 tập 2

Giải các phương trình sau

a) $x^2+5x-2 = 2x-4$

b) $2x^2-5x-3=(x+1)(x-1) +3$

c) $\frac{2x-5}{x-1} = \frac{3x}{x-2}$

d) $\frac{x-1}{4x^2-9}=\frac{2}{2x+3}-\frac{x+1}{3-2x}$

e) $2\sqrt{5}x^2+x-1=\sqrt{5}(x+1)$

g) $x^2-\sqrt{3}x=\sqrt{2}(\sqrt{3}-x)$

Trả lời:

a) $x^2+5x-2 = 2x-4$

$\Leftrightarrow x^2+3x+2=0$

Phương trình có: 1 - 3 + 2 = 0 nên có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-1\\ x_2 = -2\end{matrix}\right.$

b) $2x^2-5x-3=(x+1)(x-1) +3$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x-3=x^2 +2$

$\Leftrightarrow x^2-5x-5=0$

$\Delta = (-5)^2-4\times 1\times (-5) = 45 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 3\sqrt{5}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=\frac{5+3\sqrt{5}}{2}\\ x_2 = \frac{5-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.$

c) $\frac{2x-5}{x-1} = \frac{3x}{x-2}$ (ĐK: $x\neq 1;\;x\neq 2$)

$\Leftrightarrow (2x-5)(x-2) = 3x(x-1)$

$\Leftrightarrow 2x^2-9x+10 = 3x^2-3x$

$\Leftrightarrow x^2+6x-10 = 0$

$\Delta' = 3^2-1\times (-10) = 19 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = \sqrt{19}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-3+\sqrt{19}\;(tm)\\ x_2 = -3-\sqrt{19}\;(tm)\end{matrix}\right.$

d) $\frac{x-1}{4x^2-9}=\frac{2}{2x+3}-\frac{x+1}{3-2x}$ (ĐK: $x\neq \pm \frac{3}{2}$)

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{4x^2-9}=\frac{2}{2x+3}+\frac{x+1}{2x-3}$

$\Leftrightarrow x-1 = 2(2x-3)+(x+1)(2x+3)$

$\Leftrightarrow x-1 = 4x-6+2x^2+5x+3$

$\Leftrightarrow x^2+4x-1=0$

$\Delta' = 2^2-1\times (-1) = 5 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = \sqrt{5}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-2+\sqrt{5} \;(tm)\\ x_2 = -2-\sqrt{5}\;(tm)\end{matrix}\right.$

e) $2\sqrt{5}x^2+x-1=\sqrt{5}(x+1)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{5}x^2+(1-\sqrt{5})x-1-\sqrt{5}=0$

Phương trình có $2\sqrt{5}+1-\sqrt{5}-1-\sqrt{5} = 0$

$\Rightarrow $Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=1\\ x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{-5-\sqrt{5}}{10}\end{matrix}\right.$

g) $x^2-\sqrt{3}x=\sqrt{2}(\sqrt{3}-x)$

$\Leftrightarrow x^2+\sqrt{2}x-\sqrt{3}x-\sqrt{2}\times \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow x(x+\sqrt{2})-\sqrt{3}(x+\sqrt{2}) = 0$

$\Leftrightarrow (x+\sqrt{2})(x-\sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-\sqrt{2}\\ x_2 = \sqrt{3}\end{matrix}\right.$

Câu 6.5: Trang 68 toán VNEN 9 tập 2

Giải các phương trình sau

a) $(4x^2-25)(2x^2-7x-9)=0$

b) $(2x^2-3)^2-4(x-1)^2=0$

c) $x^3+3x^2+x+3=0$

d) $x^3+8-4x^2-2x=0$

Trả lời:

a) $(4x^2-25)(2x^2-7x-9)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}4x^2-25=0\\ 2x^2-7x-9=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2=\frac{25}{4}\\ \Delta = (-7)^2 -4\times 2\times (-9) = 121 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 11\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=\pm \frac{5}{2}\\ x = \frac{9}{2}\\ x = -1\end{matrix}\right.$

b) $(2x^2-3)^2-4(x-1)^2=0$

$\Leftrightarrow [(2x^2-3) + 2(x-1)][(2x^2-3)-(2x-2)] = 0$

$\Leftrightarrow (2x^2+2x-5)(2x^2-2x-1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}2x^2+2x-5=0\\ 2x^2-2x-1=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}\Delta' = 1^2 - 2\times (-5) = 11 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = \sqrt{11}\\ \Delta' = (-1)^2 - 2\times (-1) = 3 \sqrt{\Delta} = \sqrt{3}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{11}}{2}\\ x_{3,4} =\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.$

c) $x^3+3x^2+x+3=0$

$\Leftrightarrow (x^2+1)(x+3) =0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2+1 = 0\\ x+3 =0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x = -3$

d) $x^3+8-4x^2-2x=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-4)-2(x-4) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2-2)(x-4) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2-2=0\\ x-4=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=\pm \sqrt{2}\\ x=4\end{matrix}\right.$

Câu 6.6: Trang 68 toán VNEN 9 tập 2

Giải các phương tình sau bằng cách đặt ẩn phụ

a) $(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=0$

b) $(x^4+4x^2+4)-4(x^2+2)-77=0$

c) $2(x^2+\frac{1}{x^2})-7(x-\frac{1}{x})+2=0$

d) $x^2+\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7$

Trả lời:

a) $(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)-3=0$ (1)

Đặt: $x^2-2x = t \Rightarrow $ Phương trình trở thành: $t^2-2t-3=0$ (1')

Phương trình (1') có 1 - (-2) - 3 = 0 nên có hai nghiệm là: $t_1 = -1;\; t_2 = 3$

• $t_1 = -1 \Rightarrow x^2-2x =-1 \Leftrightarrow x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x = 1$
• $t_2=3 \Rightarrow x^2-2x  = 3 \Leftrightarrow x^2-2x-3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-1\\ x_2 = 3\end{matrix}\right.$

b) $(x^4+4x^2+4)-4(x^2+2)-77=0$ (2)

$\Leftrightarrow (x^2+2)^2 -4(x^2+2)-77=0$

Đặt: $x^2+2 = t \;(t>0) \Rightarrow $ Phương trình trở thành: $t^2-4t-77=0$ (2')

$\Delta' = (-2)^2-1\times (-77) = 81 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 9$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}t_1=11\;(tm)\\ t_2 = -7 \;(ktm)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x^2+2=11 \Leftrightarrow x = \pm 3$

c) $2(x^2+\frac{1}{x^2})-7(x-\frac{1}{x})+2=0$ (3) (ĐK: $x\neq 0$)

$\Leftrightarrow 2(x^2 - 2\times x\times \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 2) -7(x-\frac{1}{x})+2=0$

$\Leftrightarrow 2(x- \frac{1}{x})^2 -7(x-\frac{1}{x})+6=0$

Đặt: $x+\frac{1}{x} = t \Rightarrow $ Phương trình trở thành $2t^2-7t+6 = 0$ (3')

$\Delta = (-7)^2-4\times 2\times 6 = 1$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}t_1=2\\ t_2 = \frac{3}{2}\end{matrix}\right.$

• $t_1=2 \Rightarrow x+\frac{1}{x} = 2 \Leftrightarrow x^2 - 2x+1=0 \Leftrightarrow x = 1\;(tm)$
• $t_2=\frac{3}{2} \Rightarrow x+\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2x^2 - 3x+2=0$ (vô nghiệm)

d) $x^2+\sqrt{x^2-3x+5}=3x+7$ (4)

$\Leftrightarrow x^2-3x+5+\sqrt{x^2-3x+5} -12=0$

Đặt: $t = \sqrt{x^2-3x+5}$ (t > 0), Phương trình trở thành: $t^2+t-12 = 0$

$\Delta = 1^2-4\times 1\times (-12) = 49$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}t_1=3\;(tm)\\ t_2 = -4 \;(ktm)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \sqrt{x^2-3x+5} = 3 \Leftrightarrow x^2-3x+5 = 9 \Leftrightarrow x^2-3x-4=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-1\\ x_2 = 4\end{matrix}\right.$

Câu 6.7: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) $u+v=13$; $u\times v = 42$

b) $u+v=3\sqrt{2}$; $u\times v = 4$

c) $u-v=-1$; $u\times v = 56$

d) $u^2+v^2=13$; $u\times v = 6$

Trả lời:

a) $u+v=13$; $u\times v = 42$

u, v là hai nghiệm của phương trình: $x^2-13x+42=0$

$\Delta = (-13)^2-4\times 1\times 42 = 1$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=7\\ x_2 = 6\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}u=7\\ v = 6\end{matrix}\right.$ hoặc $\left[ \begin{matrix}u=6\\ v= 7\end{matrix}\right.$

b) $u+v=3\sqrt{2}$; $u\times v = 4$

u, v là hai nghiệm của phương trình: $x^2-3\sqrt{2}x+4=0$

$\Delta = (-3\sqrt{2})^2-4\times 1\times 4 = 2$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=2\sqrt{2}\\ x_2 =\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}u=2\sqrt{2}\\ v = \sqrt{2}\end{matrix}\right.$ hoặc $\left[ \begin{matrix}u=\sqrt{2}\\ v= 2\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

c) $u-v=-1$; $u\times v = 56$

$\Rightarrow u + (-v) = -1; \; u\times (-v) = -56$

u, -v là hai nghiệm của phương trình: $x^2+x-56=0$

$\Delta = 1^2-4\times 1\times (-56) = 225$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=7\\ x_2 =-8\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}u=7\\ v = 8\end{matrix}\right.$ hoặc $\left[ \begin{matrix}u=-8\\ v= -7\end{matrix}\right.$

d) $u^2+v^2=13$; $u\times v = 6$

$\Rightarrow (u+v)^2 - 2uv = 13 \Leftrightarrow (u+v)^2= 13+2\times 6 = 25 \Leftrightarrow u + v = \pm 5$

• TH1: u + v = 5

u, v là hai nghiệm của phương trình: $x^2-5x+6=0$

$\Delta = (-5)^2-4\times 1\times 6 = 1$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=2\\ x_2 = 3\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}u=2\\ v = 3\end{matrix}\right.$ hoặc $\left[ \begin{matrix}u=3\\ v= 2\end{matrix}\right.$

• TH2: u + v = -5

u, v là hai nghiệm của phương trình: $x^2+5x+6=0$

$\Delta = 5^2-4\times 1\times 6 = 1$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=-2\\ x_2 = -3\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}u=-2\\ v = -3\end{matrix}\right.$ hoặc $\left[ \begin{matrix}u=-3\\ v= -2\end{matrix}\right.$

Câu 6.8: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Cho phương trình: $x^2 - 2(m+1)x+m-4=0$

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;\;x_2$với mọi m.

c) Chứng minh biểu thức $M = x_1(1-x_2)+x_2(1-x_1)$ không phụ thuộc vào m.

Trả lời:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:

$\left\{\begin{matrix}\Delta' = b'^2-ac = [-(m+1)]^2 - 1\times (m-4) = m^2 - m+5>0\\x_1\times x_2 = \frac{c}{a} =m-4< 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(m-\frac{1}{2})^2+\frac{19}{4} > 0 \;\forall m\; (*)\\ m < 4 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow m < 4$

Vậy với m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Theo (*) ta có: $\Delta > 0 \;\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

c) Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2 = 2(m+1)\\ x_1\times x_2 = m - 4\end{matrix}\right.$

$M = x_1(1-x_2)+x_2(1-x_1) = x_1 - x_1\times x_2+ x_2 - x_2\times x_1 = (x_1+x_2)-2x_1\times x_2$

$= 2(m+1) - 2(m - 4) = 10$ (đpcm)

Câu 6.9: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2m. Tính kích thước của vườn, biết rằng diện tích đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 $m^2$.

Trả lời:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: $280:2=140$

Gọi chiều dài mảnh đất là x (m), chiều rộng mảnh đất là 140 - x (m) (ĐK: 0 < x < 140)

Chiều dài và chiều rộng phần trồng trọt lần lượt là: x - 4 (m) và 140 - x - 4 =136 - x (m)

Diện tích phần trồng trọt là: $(x-4)(136-x)=4256$

$\Leftrightarrow x^2 - 140x + 4800 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=60\;(tm)\\ x_2 = 80\;(tm)\end{matrix}\right.$

Vậy, kích thước mảnh đất ban đầu là: 60m và 80m

Câu 6.10: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Một đội sản xuất được giao trồng 120 cây xanh trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu công việc, do được bổ sung thêm người nên mỗi giờ đội trồng được nhiều hơn dự định 11 cây, vì vậy không những hoàn thành trước dự định 1 giờ mà còn trồng vượt mức được giao 3 cây. Hỏi số cây mà đội đó dự định trồng được trong 1 giờ là bao nhiêu?

Trả lời:

Gọi số cây mà đội dự định trồng được trong 1 giờ là x (cây), x > 0.

Thời gian dự định là: $\frac{120}{x}$ (giờ)

Thực tế, số cây đội đó trồng được trong 1 giờ là x + 11 (cây)

Thời gian trồng thực tế là: $\frac{123}{x+11}$ (giờ)

Theo bài ra, thời gian trồng thực tế rút ngắn được 1 giờ so với dự định, nên ta có phương trình sau:

$\frac{120}{x} - \frac{123}{x+11} = 1$

$\Leftrightarrow 120(x+11) - 123x = x(x+11)$

$\Leftrightarrow x^2 +14x-1320=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=30 \;(tm)\\ x_2 =-44\;(ktm)\end{matrix}\right.$

Vậy số cây mà đội đó dự định trồng trong 1 giờ là: 30 (cây)

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Cho phương trình: $x^2 + 4x+m+1=0$

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1;\;x_2$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2=10$

Trả lời:

a) $\Delta' = 2^2 - 1\times (m+1) = 3 - m$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow 3 - m \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 3$.

b) Với $m \leq 3$ thì phương trình có nghiệm.

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2 = -4\\ x_1\times x_2 = m +1\end{matrix}\right.$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1\times x_2 = (-4)^2-2(m+1) = -2m+14$

Theo bài ra: $x_1^2 + x_2^2=10 \Rightarrow -2m+14 = 10 \Rightarrow m = 2$ (tm)

Vậy với m = 2 thì $x_1^2 + x_2^2=10$

Câu 2: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Cho phương trình: $x^2-2(m+1)x+2m+10=0$

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1;\;x_2$

b) Tìm giá trị của m để biểu thức $A = 10x_1\times x_2 + x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất

Trả lời:

a) $x^2-2(m+1)x+2m+10=0$

$\Delta' = [-(m+1)]^2 - 1\times (2m+10) = m^2 -9$

Để phương trình có hai nghiệm thì $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow m^2 - 9 \geq 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}m \geq 3\\ m \leq -3\end{matrix}\right.$

b) Với $\left[ \begin{matrix}m \geq 3\\ m \leq -3\end{matrix}\right.$ thì phương trình có hai nghiệm.

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2 = 2(m+1)\\ x_1\times x_2 = 2m +10\end{matrix}\right.$

Ta có:

$A = 10x_1\times x_2 + x_1^2 + x_2^2 = 10x_1\times x_2 + (x_1+x_2)^2 - 2x_1\times x_2 = 8x_1\times x_2 + (x_1+x_2)^2 $

$= 8(2m+10)+4(m+1)^2 = 16m+80+4m^2+8m+4 = 4m^2+24m+84$

$= 4(m^2 + 2m\times 3 + 9 + 12) = 4[(m+3)^2+12] = 4(m+3)^2 +48$

Lại có: $(m+3)^2 \geq 0 \;\forall m \in $ ĐK có nghiệm

$\Rightarrow 4(m+3)^2 +48 \geq 48 \;\forall m \in $ ĐK có nghiệm

Vậy min (A) = 48 $\Leftrightarrow m = -3$ (tm)

Câu 3: Trang 69 toán VNEN 9 tập 2

Cho parabol (P): $y = -x^2$ và đường thẳng $d:\; y = mx - 1$

a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_1;\;x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P). Tìm giá trị của m để $x_1^2x_2+x_1x_2^2 - x_1x_2 = 3$

Trả lời:

a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì đường thẳng d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

$\Leftrightarrow $ Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2 = mx-1 \Leftrightarrow x^2 + mx -1 = 0$ (*)

$\Delta = m^2 - 4\times 1\times (-1) = m^2 + 4 \geq 0 \; \forall m$

Vậy với mọi giá trị của m thì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, hay d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_1;\;x_2$ lần lượt là hoành độ hai giao điểm của đường thẳng d với parabol P $\Rightarrow $ $x_1;\;x_2$ chính là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2 = -m\\ x_1\times x_2 = -1\end{matrix}\right.$

Ta có: $x_1^2x_2+x_1x_2^2 - x_1x_2 = x_1x_2(x_1+x_2)-x_1x_2 = -1(-m) - (-1) = m + 1$
Theo bài ra: $x_1^2x_2+x_1x_2^2 - x_1x_2 = 3$

$\Rightarrow m+1 = 3 \Leftrightarrow m = 2$

Em hãy giải thích:

• Nếu  phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có $\Delta \geq 0$ (hoặc $\Delta' \geq 0$) và $P > 0$; $S > 0$ thì phương trình đó có nghiệm dương.
• Nếu  phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có $\Delta \geq 0$ (hoặc $\Delta' \geq 0$) và $P > 0$; $S < 0$ thì phương trình đó có nghiệm âm.
• Từ đó suy ra điều kiện để một phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có hai nghiệm dương (hai nghiệm âm)

Trả lời:

• Nếu  phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có $\Delta \geq 0$ (hoặc $\Delta' \geq 0$) và $P > 0$; $S > 0$ thì phương trình đó có nghiệm dương.

$P > 0$: Hai nghiệm cùng dấu

$S > 0$: Hai nghiệm dương.

• Nếu  phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có $\Delta \geq 0$ (hoặc $\Delta' \geq 0$) và $P > 0$; $S < 0$ thì phương trình đó có nghiệm âm.

$P > 0$: Hai nghiệm cùng dấu

$S < 0$: Hai nghiệm âm.

• Điều kiện để một phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có hai nghiệm dương là:

$\left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0\end{matrix}\right.$

• Điều kiện để một phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0\;(a\neq 0)$ có hai nghiệm âm là:

$\left\{\begin{matrix} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0\end{matrix}\right.$

Câu 4: Trang 70 toán VNEN 9 tập 2

Chứng tỏ rằng phương trình sau luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m:

$3x^2-(m+1)x-4=0$

Trả lời:

Phương trình $3x^2-(m+1)x-4=0$ có tích $a\times c = 3 \times (-4) = -12 < 0$ nên luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.

Câu 5: Trang 70 toán VNEN 9 tập 2

Tìm m để phương trình:

a) $x^2-x+2(m-1) = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt.

b) $4x^2+2x+m-1 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt.

Trả lời:

a) $x^2-x+2(m-1) = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{matrix} \Delta =(-1)^2-4\times 1\times 2(m-1) = -8m+9 > 0\\ 2(m-1) > 0\\ 1 > 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m < \frac{9}{8}\\ m > 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 1 < m < \frac{9}{8}$

b) $4x^2+2x+m-1 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt.

$\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{matrix} \Delta' =1^2-4\times (m-1) = -4m+5 > 0\\ \frac{m-1}{4} > 0\\ -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} < 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m < \frac{5}{4}\\ m > 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{4}$