Giải Toán 9 sách VNEN bài 4: Góc nội tiếp

A. Hoạt động khởi động

sgk trang 85

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về góc nội tiếp

a) Đọc, làm theo và trả lời các câu hỏi

Chuẩn bị một hình tròn tâm O bán kính R bằng giấy mỏng. Dùng kéo cắt theo hai dây cung BA, BC.

Góc ABC có gì đặc biệt về đỉnh?

Số đo của $\widehat{ABC}$ có liên hệ gì với số đo cung nhỏ AC?

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 86)

c) Luyện tập, ghi vào vở

Vẽ đường tròn (O; R). Vẽ một góc nội tiếp đường tròn (O). Vẽ một góc không phải là góc nội tiếp đường tròn (O).

Xem hình 39 và cho biết góc nào không phải góc nội tiếp? Vì sao?

Trả lời:

a) $\widehat{ABC} = \frac{1}{2}$ sđ AC

c) 

Trong hình trên góc ABC là góc nội tiếp, góc MNP không phải góc nội tiếp.

Trong hình 39: Chỉ có hình a là góc nội tiếp.

2. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu liên hệ giữa số đo góc nội tiếp và số đo cung bị chắn

a) Đọc, làm theo và trả lời các câu hỏi

Xem hình 40 và cho biết:

• Số đo cung nhỏ AC bằng bao nhiêu?
• Cho biết số đo góc CDA bằng bao nhiêu?
• Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp CDA và số đo cung bị chắn AC?

Xem hình 41

• BOC có phải là tam giác cân hay không? Vì sao?
• Chứng tỏ rằng $\widehat{AOC} = \widehat{ABC} + \widehat{BCO}$
• Từ đó suy ra $\widehat{AOC} = 2\widehat{ABC}$.
• Có hay không: $\widehat{ABC} = \frac{1}{2}sđ AC$ (*)

Xem hình 42: Đường kính BD chia $\widehat{ABC}$ thành hai góc là $\widehat{ABD}$ và $\widehat{CBD}$

• BOA có phải là tam giác cân hay không? Vì sao?
• Chứng tỏ rằng $\widehat{AOD} = \widehat{ABO} + \widehat{BAO}$
• Từ đó suy ra $\widehat{AOD} = 2\widehat{ABO}$
• Có hay không: $\widehat{ABO} = \frac{1}{2}sđ CD$?
• Tương tự, chứng tỏ rằng $\widehat{COD} = \widehat{CBO} + \widehat{BCO}$
• Từ đó suy ra $\widehat{COD} = 2\widehat{CBO}$
• Có hay không $\widehat{OBC} = \frac{1}{2} sđ CD$?
• Khi đó, có hay không: $\widehat{ABC} = \frac{1}{2} sđ AC$ (**)

Xem hình 43.

• Chứng tỏ $\widehat{ABO} = \frac{1}{2} \widehat{AOD}$ và $\widehat{CBO} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$
• Từ đó, suy ra: $\widehat{ABC} = \widehat{ABO} - \widehat{CBO} = \frac{1}{2}(\widehat{AOD} - \widehat{COD}) = \frac{1}{2} \widehat{AOC}$.
• Có hay không: $\widehat{ABC} = \frac{1}{2} sđ AC$

Từ (*), (**), (***) có thể suy ra: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn?

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 88)

c) Luyện tập, ghi vào vở

Xem hình 44, dường tròn (O) có CD = CB = BA = CO = OB = OA = OD = R.

Khi đó sđ CB = $60^\circ$

Góc nội tiếp $\widehat{CDB}$ chắn cung nhỏ CB, nên $\widehat{CDB} = 30^\circ$.

• Cho biết các cung nhỏ bằng nhau trên hình đó.
• Số đo của góc CAB bằng bao nhiêu? Vì sao?
• Số đo của góc BDA bằng bao nhiêu? Vì sao?
• Số đo của góc CAD bằng bao nhiêu? Vì sao?
• Số đo của góc DBA bằng bao nhiêu? Vì sao?
• So sánh hai góc $\widehat{BDA}$ và $widehat{CAD}$?

d) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 88)

Trả lời:

a) 

Hình 40:

• Sđ AC = $120^\circ$
• $\widehat{CDA} = 60^\circ$ 
• $\Rightarrow \widehat{CDA} = \frac{1}{2} sđ AC$

Hình 41:

• BOC là tam giác cân tại O
• $\widehat{AOC} = \widehat{ABC} + \widehat{BCO}$ (Tính chất góc ngoài của tam giác)
• $\Rightarrow \widehat{AOC} = 2\widehat{ABC}$.
• $\Rightarrow \widehat{ABC} = \frac{1}{2}sđ AC$ (*)

Xem hình 42: Đường kính BD chia $\widehat{ABC}$ thành hai góc là $\widehat{ABD}$ và $\widehat{CBD}$

• BOA là tam giác cân tại O vì OA = OB = R
• $\widehat{AOD} = \widehat{ABO} + \widehat{BAO}$ (Tính chất góc ngoài của tam giác)
• $\Rightarrow \widehat{AOD} = 2\widehat{ABO}$
• $\widehat{ABO} = \frac{1}{2}sđ CD$
• Tương tự: $\widehat{COD} = widehat{CBO} + \widehat{BCO}$
• $\Rightarrow \widehat{COD} = 2\widehat{CBO}$
• $\Rightarrow \widehat{OBC} = \frac{1}{2} sđ CD$
• $\Rightarrow \widehat{ABC} = \frac{1}{2} sđ AC$ (Theo tính chất cộng của góc và cung)

Xem hình 43.

• Tương tự, ta có: $\widehat{ABO} = \frac{1}{2} \widehat{AOD}$ và $\widehat{CBO} = \frac{1}{2}\widehat{COD}$
• $\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ABO} - \widehat{CBO} = \frac{1}{2}(\widehat{AOD} - \widehat{COD}) = \frac{1}{2} \widehat{AOC}$.
• $\Rightarrow \widehat{ABC} = \frac{1}{2} sđ AC$

Từ (*), (**), (***) có thể suy ra: Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

c)

• Các cung nhỏ bằng nhau trên hình 44 là: cung AB = cung BC = cung CD; cung AC = cung BD.
• $\widehat{CAB} = \frac{1}{2} sd CB = \frac{1}{2}\widehat{COB} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\widehat{BDA} = \frac{1}{2} sd AB = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\widehat{CAD} = \frac{1}{2} sd CD = \frac{1}{2}\widehat{COD} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\widehat{DBA} = \frac{1}{2} sd AD = \frac{1}{2}\widehat{AOD} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• $\widehat{BDA} = \widehat{CAD} = 30^\circ$?

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 89 toán VNEN 9 tập 2

Xem hình 45, biết $\widehat{ABC} = 30^\circ$

a) Với đường tròn (O), số đo của góc $\widehat{AOC}$ bằng bao nhiêu? Vì sao?

b) Với đường tròn (O'), số đo của $\widehat{DO'E}$ bằng bao nhiêu? Vì sao?

Trả lời:

a) Với đường tròn (O), $\widehat{AOC} = 2\widehat{ABC} = 2\times 30^\circ = 60^\circ$

b) Với đường tròn (O'), $\widehat{DO'E} = 2\widehat{AOC} = 2\times 60^\circ = 120^\circ$

Câu 2: Trang 89 toán VNEN 9 tập 2

Xem hình 46, các điểm A, B, C thuộc đường tròn có PQ là dây cung

Các góc $\widehat{PAQ};\;\widehat{PBQ};\;\widehat{PCQ}$ có bằng nhau không? Vì sao?

Có thể dựa vào điều này để giải thích tại sao người ta hay xây rạp hát có dạng hình tròn? Phải chăng là tạo điều kiện để người xem ngồi ở các vị trí khác nhau nhưng cùng nhìn sân khấu dưới một góc như nhau?

Trả lời:

Dễ thấy: $\widehat{PAQ} = \widehat{PBQ} = \widehat{PCQ}$ vì cùng là các góc nội tiếp chắn cùng một cung PQ.

Người ta hay xây các rạp hát hình tròn vì để khi người xem ngồi bất kì ở đâu trong rạp hát cũng có thể nhìn sân khấu một góc như nhau và quan sát được toàn bộ buổi biểu diễn.

Câu 3: Trang 89 toán VNEN 9 tập 2

Cho hai đường tròn có tâm lần lượt là E và F cắt nhau tại hai điểm A và B. AC và AD tương ứng là các đường kính của (E) và (F). Chứng minh rằng AB là đường cao của tam giác ACD

Trả lời:

Ta có: $\widehat{CBA} = \widehat{DBA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow AB \perp BC;\;AB \perp BD \Rightarrow B \in CD; \; AB \perp CD$ (Qua một điểm chỉ có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đoạn thằng cho trước)

Vậy AB là đường cao của tam giác ACD.

Câu 4: Trang 89 toán VNEN 9 tập 2

Hai đường tròn bằng nhau có tâm tương ứng là I và J cắt nhau tại hai điểm H và G. Đường thẳng d đi qua điểm G cắt (I) tại K, cắt (J) tại L (khác với điểm G). Chứng minh rằng HK = HL.

Trả lời:

Vì (I) và (J) là hai đường tròn bằng nhau nên: cung nhỏ HG của (I) = cung nhỏ HG của (J).

$\Rightarrow \widehat{K_1} = \widehat{L_1}$ (góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau).

$\Rightarrow \bigtriangleup HKL$ cân tại H $\Rightarrow HK = HL$ (đpcm)

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 90 toán VNEN 9 tập 2

Bạn Hoàng đã vẽ một đường tròn bằng compa nhưng quên đánh dấu tâm. Chỉ bằng ê ke ta có thể xác định được tâm của đường tròn đa vẽ đó không? Nếu được hãy nêu rõ cách làm.

Trả lời:

Ta có thể dùng ê ke để xác định tâm của đường tròn như sau:

Bước 1: Đặt ê kê sao cho đỉnh góc vuông nằm trên đường tròn tại điểm M, cạnh huyền cắt đường tròn tại hai điểm A và B

Bước 2: Xác định trung điểm O của AB, đây chính là tâm đường tròn.

Chứng minh:

Theo tính chất của góc nội tiếp: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Theo cách vẽ, góc AMB là góc vuông do đó chắn nửa đường tròn, hay AB là đường kính của đường tròn.

$\Rightarrow $ Trung điểm O của AB là tâm của đường tròn.

Câu 2: Trang 90 toán VNEN 9 tập 2

Hình 48 mô tả một chiếc cầu bắc qua sông, có thành cầu bằng thép uốn cong như một cung tròn mà mặt cầu như một dây căng cung đó. Biết cầu có độ dài XY = 140 m, chiều cao thành cầu MN = 10m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung nhỏ XY.

Trả lời:

Dễ thấy: N là trung điểm của XY: $XN = \frac{1}{2} XY = 70$(m); M là điểm chính giữa cung MN.

Lại có: $\widehat{MXP} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tam giác XMN vuông tại N: $XM^2 = MN^2 + XN^2 = 10^2 + 70^2 = 5000$

Xét $\bigtriangleup PMX$ và $\bigtriangleup MXN$ là các tam giác vuông tại X và N có:

$\widehat{XPM} = \widehat{MXN}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow $ Tam giác PMX và MXN đồng dạng với nhau.

$\Rightarrow \frac{PM}{MX} = \frac{MX}{XN} \Rightarrow PM = \frac{MX^2}{XN} = \frac{5000}{70} = \frac{500}{7}$ (m)

$\Rightarrow $ Bán kính của đường tròn chứa cung nhỏ XY là: $R = OM = \frac{PM}{2} = \frac{250}{7}$ (m)