Giải Toán 9 sách VNEN bài 7: Luyện tập về góc nội tiếp - góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung - góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn

C. Hoạt động luyện tập

1. Thực hiện các hoạt động sau để ôn lại các kiến thức, kĩ năng đã học

Câu 1: Trang 103 toán VNEN 9 tập 2

a) Một bạn hỏi, một bạn trả lời, sau đó đổi cho nhau

(1) Thế nào là góc nội tiếp?

(2) Thế nào là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?

(3) Thế nào là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn?

(4) Thế nào là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn?

b) Đố bạn phát biểu chính xác các tính chất sau

(1) Trong một đường tròn

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung $....$
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì $.....$
• Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì $....$
• Góc nội tiếp (nhỏ hơn $90^\circ$) có số đo bằng $.....$ của góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là $....$ và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì $...$ nửa đường tròn.
• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì $.....$

(2) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng $.....$ số đo hai cung bị chắn

(3) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng $...........$ số đo hai cung bị chắn.

2. Luyện tập, ghi vào vở

Câu 1: Trang 104 toán VNEN 9 tập 2

a) Xem hình 79, biết OIJ là tam giác đều, cho biết số đo của các góc nội tiếp cùng chắn cung IJ.

Hướng dẫn: Vì $\widehat{ISJ}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ IJ có số đo là $60^\circ$ nên $\widehat{ISJ} = 30^\circ$.

$\widehat{IRJ} = ....;\; \widehat{IQJ} = ....;\; \widehat{IPJ} = ...$

b) Xem hình 80, biết OTJ là tam giác đều, cho biết số đo của mỗi góc sau đây: $\widehat{TYJ};\; \widehat{TOY};\;\widehat{TZY};\;\widehat{YTJ}$.

Hướng dẫn: Do OJT là tam giác đều nên cung nhỏ TJ có số đo là $60^\circ$, suy ra góc nội tiếp $\widehat{TYJ} = 30^\circ$.

$\widehat{TOY} = ...;\; \widehat{TZY} = ....; \;\widehat{YTJ} = ....$

Trả lời:

a) Vì $\widehat{ISJ}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ IJ có số đo là $60^\circ$ nên $\widehat{ISJ} = 30^\circ$.

$\widehat{IRJ} = 30^\circ ;\; \widehat{IQJ} = 30^\circ;\; \widehat{IPJ} = 30^\circ$ (các góc nội tiếp chắn cung nhỏ IJ)

b) Do OJT là tam giác đều nên cung nhỏ TJ có số đo là $60^\circ$, suy ra góc nội tiếp $\widehat{TYJ} = 30^\circ$.

$\widehat{TOY} = 180^\circ - \widehat{IOT} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ;$

$\widehat{TZY} = 60^\circ$ (góc nội tiếp chắn cung nhỏ TY)

$\widehat{YTJ} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Câu 2: Trang 104 toán VNEN 9 tập 2

a) Cho hai đường tròn có tâm lần lượt là E và F cắt nhau tại hai điểm A và B. AC và AD tương ứng là các đường kính của (E) và (F). Chứng minh rằng AB là đường cao của tam giác ACD.

Hướng dẫn: Xem hình 81

Do AC là đường kính của (E) nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$.

Do AD là đường kính của (F) nên $\widehat{ABD} = 90^\circ$.

Từ đó suy ra C, B, D thẳng hàng và $....$

b) Hai đường tròn bằng nhau có tâm tương ứng là I và J cắt nhau tại hai điểm H và G. Đường thẳng d đi qua điểm G cắt (I) tại K và cắt (J) tạo L (K, L khác với điểm G). Chứng minh rằng HK = HL.

Hướng dẫn: Xem hình 82

Do hai đường tròn bằng nhau, nên các cung nhỏ HG của (I) và (J) bằng nhau. Suy ra $\widehat{HKL} = \widehat{HLG}$ (vì cùng bằng nửa số đo cung nhỏ GH) hay có $......................$

Trả lời:

a) Các em vẽ lại hình 81 vào vở.

Do AC là đường kính của (E) nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$.

Do AD là đường kính của (F) nên $\widehat{ABD} = 90^\circ$.

Từ đó suy ra C, B, D thẳng hàng và AB là đường cao của tam giác ACD.

b) Do hai đường tròn bằng nhau, nên các cung nhỏ HG của (I) và (J) bằng nhau. Suy ra $\widehat{HKL} = \widehat{HLG}$ (vì cùng bằng nửa số đo cung nhỏ GH) hay có tam giác HKL cân tại H, suy ra HL = HK.

Câu 3: Trang 104 toán VNEN 9 tập 2

a) Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: $EA\times EB = EC\times ED$.

Hướng dẫn: Xem hình 83

Nối AD, BC khi đó $\widehat{DAB} = \widehat{DCB}$ (vì cùng chắn cung DB) và $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ (vì cùng chắn cung $...$)

Do đó, DEA và BEC là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó, suy ra: $\frac{DE}{BE} = \frac{...}{EC}$, hay $...$

b) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm là A và B. Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') tại điểm C (khác với A). CB cắt (O) tại điểm D (khác với B). Gọi Cy là tiếp tuyến của (O') tại điểm C. Chứng minh Cy // AD.

Hướng dẫn: Xem hình 84

Trong (O') thì $\widehat{BCy}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung BC, nên $\widehat{BCy} = \frac{1}{2} sd CB$,  còn $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung CB, nên $\widehat{CAB} = \frac{1}{2}CB$, suy ra $\widehat{BCy} = \widehat{CAB}$. Tương tự với (O), chứng minh được $\widehat{CAB} = \widehat{BDA}$.

Từ đó, suy ra: $...............$

c) Cho đường tròn (O; R) và dây cung HI. Qua điểm H kẻ Hx sao cho góc $\widehat{IHx}$ có số đo bằng nửa số đo cung nhỏ HI. Chứng minh rằng $OH \perp Hx$.

Hướng dẫn: Xem hình 85

Gọi J là điểm chính giữa cung nhỏ HI và K là giao điểm của OJ với HI thì $OK \perp HK$ và $\widehat{KOH} = \frac{1}{2}sd HI$. 

Theo giả thiết, $\widehat{IHx} = \frac{1}{2} sd IH$ nên $\widehat{IHx} = \widehat{KOH}$.

Do hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ($OK \ perp HI$), nên $.................$ tức là $..................$

Trả lời:

a) Các em vẽ lại hình 82 vào vở.

Nối AD, BC khi đó $\widehat{DAB} = \widehat{DCB}$ (vì cùng chắn cung DB) và $\widehat{ADC} = \widehat{ABC}$ (vì cùng chắn cung AC)

Do đó, DEA và BEC là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó, suy ra: $\frac{DE}{BE} = \frac{EA}{EC}$, hay $EA\times EB = ED\times EC$

b) Các em vẽ lại hình 84 vào vở

Trong (O') thì $\widehat{BCy}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung BC, nên $\widehat{BCy} = \frac{1}{2} sd CB$,  còn $\widehat{CAB}$ là góc nội tiếp chắn cung CB, nên $\widehat{CAB} = \frac{1}{2}CB$, suy ra $\widehat{BCy} = \widehat{CAB}$. Tương tự với (O), chứng minh được $\widehat{CAB} = \widehat{BDA}$.

Từ đó, suy ra: $\widehat{CAB} = \widehat{BDA} \Rightarrow AD // Cy$ (vì có hai góc so le trong bằng nhau)

c) Các em vẽ lại hình của bài toán vào vở

Gọi J là điểm chính giữa cung nhỏ HI và K là giao điểm của OJ với HI thì $OK \perp HK$ và $\widehat{KOH} = \frac{1}{2}sd HI$. 

Theo giả thiết, $\widehat{IHx} = \frac{1}{2} sd IH$ nên $\widehat{IHx} = \widehat{KOH}$.

Do hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ($OK \perp HI \Rightarrow \widehat{KOH} = \widehat{IHO} = 90^\circ$), nên $\widehat{IHx} + \widehat{KHO} = 90^\circ$ tức là $OH \perp Hx$

Câu 4: Trang 105 toán VNEN 9 tập 2

Cho đường tròn (O; r) có đường kính MQ. Các điểm N, P cùng thuộc đường tròn (O) sao cho MN = NP = PQ = r. Gọi R là giao điểm của MN và PQ. Gọi a là đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP. Gọi b là đường thẳng đi qua M và vuông góc với MQ. Gọi S là giao điểm của a và b. Chứng minh rằng $\widehat{QRM} = \widehat{PSM}$.

Hướng dẫn: Xem hình 86

Theo giả thiết có $sd\;PN = 60^\circ$. Do $\widehat{QRM}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (O) nên

$\widehat{QRM} = \frac{1}{2} (sd \; QM - sd\; PN) = 60^\circ$

Theo giả thiết ta có $\widehat{PNM} = 120^\circ$. Do $\widehat{PSM}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (O) nên

$\widehat{PSM} = \frac{1}{2}(sd\; PQM - sd\;PNM) = 60^\circ$

Từ đó, suy ra $..................$

Trả lời:

Các em vẽ hình của bài toán vào vở

Theo giả thiết có $sd\;PN = 60^\circ$. Do $\widehat{QRM}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (O) nên

$\widehat{QRM} = \frac{1}{2} (sd \; QM - sd\; PN) = 60^\circ$

Theo giả thiết ta có $\widehat{PNM} = 120^\circ$. Do $\widehat{PSM}$ là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn (O) nên

$\widehat{PSM} = \frac{1}{2}(sd\; PQM - sd\;PNM) = 60^\circ$

Từ đó, suy ra $\widehat{QRM} = \widehat{PSM}$