Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài : Bài tập cuối chương IV

Bài tập 15: Cho một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a (cm) và chiều cao bằng 3a (cm). Thể tích của hình chóp đó là:

A. 3a³ (cm³).                  B. a³ (cm³).                     C. 3a³ (cm³).                       D. a³ (cm³).

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án D.

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là:

V = $\frac{1}{3}$.S.h = $\frac{1}{3}$.a².3a = a³ (cm³).

Bài tập 16: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài trung đoạn bằng x (dm) và độ dài cạnh đáy bằng 2x (dm). Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là:

A. x² (dm²).                B. 2x² (dm²).                C. 3x² (dm²).                D. 4x² (dm²).

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án C.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là:

S_xq = $\frac{1}{2}$.C.d = $\frac{1}{2}$.(3.2x).x = 3x² (dm²).

Bài tập 17: Trong những miếng bìa ở các hình 13a, 13b, 13c, 13d, 13e, 13g, miếng bìa nào không gấp lại (theo các nét đứt) để được hình chóp tam giác đều hoặc hình chóp tứ giác đều?

Hướng dẫn trả lời:

Miếng bìa ở Hình 13b và Hình 13d không gấp lại (theo các nét đứt) để được hình chóp tam giác đều hoặc hình chóp tứ giác đều.

Bài tập 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

a) Đường cao kẻ từ đỉnh trong mỗi mặt bên của hình chóp tứ giác đều được gọi là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều đó.

b) Hình chóp tam giác đều là hình chóp có mặt đáy là tam giác vuông.

c) Mỗi mặt bên của hình chóp tam giác đều là tam giác cân.

d) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có mặt đáy là hình vuông.

Hướng dẫn trả lời:

Phát biểu b sai.

Hình chóp tam giác đều là hình chóp có mặt đáy là tam giác đều.

Bài tập 19: Cho hình chóp tam giác đều có thể tích bằng 32$\sqrt{3}$ cm³ và diện tích đáy bằng 4$\sqrt{3}$ cm². Tính chiều cao của hình chóp tam giác đều đó.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng công thức V = $\frac{1}{3}$.S.h, trong đó V là thể tích, S là diện tích đáy, h là chiều cao của hình chóp tam giác đều, ta có:

32$\sqrt{3}$ = $\frac{1}{3}$. 4$\sqrt{3}$.h => h = 24 (cm).

Vậy chiều cao của hình chóp tam giác đều đó là 24 cm.

Bài tập 20: Cho hai hình chóp tam giác đều S.ABC và S’.A’B’C’ lần lượt có độ dài cạnh đáy là a và a’, độ dài trung đoạn là d và d’. Tính tỉ số giữa d và d’, biết diện tích xung quanh của S.ABC gấp k lần diện tích xung quanh của S’.A’B’C’ (k ≠ 0) và a = 2a’. Biết rằng a, a’, d, d’ cùng đơn vị đo.

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC là:

$\frac{1}{2}$· (3a). d = $\frac{1}{2}$. 3. 2a’. d = 3a’d.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S’.A’B’C’ là:

$\frac{1}{2}$· (3a’). d’ = $\frac{3}{2}$. a’d’.

Do diện tích xung quanh của S.ABC gấp k lần diện tích xung quanh của S’.A’B’C’ nên

3a’d = k. $\frac{3}{2}$. a’d’ => $\frac{d}{d’}=\frac{k}{2}$.

Vậy tỉ số giữa d và d’ là $\frac{k}{2}$.

Bài tập 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SH. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ EK vuông góc với SF tại K (Hình 14). Biết AB = EF = 13cm, SH = EK. Tính tổng diện tích các mặt của hình chóp tứ giác đều đó.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có diện tích của tam giác SEF bằng:

$\frac{1}{2}.SH.EF=\frac{1}{2}.EK.SF$.

Mà SH = EK => SF = EF = 13 cm.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là

$\frac{1}{2} $.(13. 4). 13 = 338 (cm²).

Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là

13² = 169 (cm²).

Tổng diện tích các mặt của hình chóp tứ giác đều S.ABCD là:

338 + 169 = 507 (cm²).

Bài tập 22: Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở mỗi hình 15a, 15b:

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở Hình 15a là:

$\frac{1}{2}$. (6. 4). 5 = 60 (cm²).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ở Hình 15b là:

$\frac{1}{2}$. (10. 4). 13 = 260 (cm²).

Bài tập 23: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Vì sao?

a) Nếu độ dài trung đoạn của một hình chóp tứ giác đều tăng lên n lần (n > 1) và độ dài cạnh đáy không đổi thì diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên n lần.

b) Nếu độ dài cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều tăng lên n lần (n > 1) và chiều cao không đổi thì thể tích của hình chóp tứ giác đều đó cũng tăng lên n lần.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi độ dài cạnh đáy, độ dài trung đoạn, chiều cao ban đầu của một hình chóp tứ giác đều lần lượt là a, d, h (cùng đơn vị đo, a > 0, d > 0, h > 0).

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ban đầu là:

$\frac{1}{2}$. 4a. d = 2ad.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều mới là:

$\frac{1}{2}$. 4a. nd = n. 2ad.

Do đó, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều mới gấp n lần diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều ban đầu.

Vậy phát biểu a là đúng.

b) Thể tích của hình chóp tứ giác đều ban đầu là:

$\frac{1}{3}$. a. a. h = $\frac{1}{3}$a²h.

Thể tích của hình chóp tứ giác đều mới là:

$\frac{1}{3}$. na. na. h = n². $\frac{1}{3}$a²h.

Do đó, thể tích của hình chóp tứ giác đều mới gấp n² lần thể tích của hình chóp tứ giác đều ban đầu.

Vậy phát biểu b là sai.

Bài tập 24: Cho một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng chiều cao. Chứng minh thể tích của hình chóp tứ giác đều đó bằng một phần ba thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều đó.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình chóp tứ giác đều là a (a > 0).

Do hình lập phương có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều nên độ dài cạnh của hình lập phương là a.

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là:

$\frac{1}{3}$. a². a = $\frac{1}{3}$a³.

Thể tích của hình lập phương là: a³.

Vậy thể tích của hình chóp tứ giác đều bằng một phần ba thể tích của hình lập phương.

Bài tập 25: Cho hai hình chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE lần lượt có chiều cao là AO và FO (Hình 16). Tỉnh tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE, biết FO = k.AO (k > 0).

Hướng dẫn trả lời:

Thể tích của hình chóp tứ giác đều A.BCDE là: $\frac{1}{3}$. BC². AO.

Thể tích của hình chóp tứ giác đều F.BCDE là:

$\frac{1}{3}$. BC². FO = $\frac{1}{3}$. BC². k. AO = k. $\frac{1}{3}$. BC². AO.

Vậy tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE là $\frac{1}{k}$.

Bài tập 26: Hình 17 mô tả một khối bê tông mác 200 dùng trong việc xây cầu. Khối bê tông đó gồm hai phần: phần dưới có dạng hình lập phương với độ dài cạnh bằng 1 m; phần trên có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao bằng 0,6 m. Cần phải chuẩn bị bao nhiêu tấn xi măng và bao nhiêu mét khối nước để làm khối bê tông đó? Biết rằng 1 m³ bê tông mác 200 cần khoảng 350,55 kg xi măng và 185 l nước.

Hướng dẫn trả lời:

Thể tích của phần dưới khối bê tông là: 1³ = 1 (m³).

Thể tích của phần trên khối bê tông là:

$\frac{1}{3}$. 1². 0,6 = 0,2 (m³).

Thể tích của khối bê tông là: 1 + 0,2 = 1,2 (m³).

Đổi 350,55 kg = 0,35055 tấn; 185 l = 0,185 m³.

Khối lượng xi măng cần dùng để làm khối bê tông đó là:

1,2 . 0,35055 = 0,42066 (tấn).

Lượng nước cần dùng để làm khối bê tông đó là:

1,2. 0,185 = 0,222 (m³).