Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 4: Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0)

Bài tập 21: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

a) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm P(0 ; b) và Q(- $\frac{b}{a}$; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

b) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm M(-1; - a + b) và N(- $\frac{b}{a}$; b) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

c) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm I(1; a + b) và K(2; – 2a + b) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Hướng dẫn trả lời:

a) Đúng. Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm P(0 ; b) và Q(- $\frac{b}{a}$; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

b) Sai. Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm M(-1; - a + b) và N(- $\frac{b}{a}$; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

c) Đúng. Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm I(1; a + b) và K(2; – 2a + b) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Bài tập 22: Cho các đường thẳng d₁: y = 11x + 1; d₂: y = $\sqrt{3}$x – 7; d₃: y = 2x – $\sqrt{2}$. Gọi α₁, α₂, α₃ lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng d₁, d₂, d₃ và trục Ox. Sắp xếp các góc α₁, α₂, α₃ theo thứ tự số đo tăng dần.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi hệ số góc của các đường thẳng d₁, d₂, d₃ lần lượt là a₁, a₂, a₃.

Khi đó, ta có a₁ =11, a₂ = $\sqrt{3}$, a₃ = 2. Mà $\sqrt{3}$  < 2 < 11 => a₂ < a₃ < a₁.

Vậy các góc được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: α₂ < α₃ < α₁.

Bài tập 23: Cho hai đường thẳng d: y = mx – (2m + 2) và d': y = (3 – 2m)x + 1 với m ≠ 0 và

m ≠ $\frac{3}{2}$

a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1).

b) Gọi β là góc tạo bởi đường thẳng d ở câu a và trục Ox. Hỏi β là góc nhọn hay góc tù? Vì sao?

c) Tìm giá trị của m để d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1) nên ta có: 1 = m .1 – (2m + 2). Suy ra m = – 3. Vậy với m = − 3 thì đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1).

b) Với m = –3, ta có đường thẳng d: y = – 3x + 4. Suy ra hệ số góc của đường thẳng d là – 3 < 0. Vậy góc β là góc tù.

c) Để d và d' cắt nhau thì m ≠ 3 – 2m. Suy ra m ≠ 1.

Vậy với m ≠ 0, m ≠ $\frac{3}{2}$, m ≠ 1 thì d và d’ cắt nhau.

Bài tập 24: Vẽ đồ thị của các hàm số y = – x, y = – x – 1, y = $\frac{1}{3}$x, y = $\frac{1}{3}$x + 2 trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

Hướng dẫn trả lời:

·       Xét hàm số y = – x. Với x = 1 thì y = − 1, ta được điểm A(1; – 1) thuộc đồ thị của hàm số y = – x. Vậy đồ thị của hàm số y = – x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(1; – 1)

·       Xét hàm số y = – x –1. Với x = 0 thì y = − 1, ta được điểm B(0; − 1) thuộc đồ thị của hàm số y = – x – 1. Với y = 0 thì x = − 1, ta được điểm C(− 1; 0) thuộc đồ thị của hàm số y = − x − 1. Vậy đồ thị của hàm số y = − x − 1 là đường thẳng đi qua hai điểm B(0; − 1) và C(−1; 0).

Tương tự ta có:

·       Đồ thị của hàm số y = $\frac{1}{3}$x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và D(3; 1).

·       Đồ thị của hàm số y = $\frac{1}{3}$x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm E(0; 2) và F(– 6; 0).

Ta vẽ các đồ thị trên như hình sau:

Bài tập 25: Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm A(2 ; 0) và song song với đường thẳng y = 2x − 5. Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng toạ độ.

Hướng dẫn trả lời:

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x − 5 nên a = 2 (thoả mãn) và b ≠ − 5. Mà đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2 ; 0), suy ra 0 = 2.2 + b hay b = – 4 (thoả mãn).

Do đó, đường thẳng cần tìm là y = 2x – 4.

Với x = 0 thì y = − 4, ta được điểm B(0; – 4) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x – 4. Vậy đồ thị của hàm số y = 2x − 4 là đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 0) và B(0; − 4)

Bài tập 26: Một thiết bị tiệt khuẩn y tế bằng năng lượng mặt trời được mua với giá 60 triệu đồng, mỗi năm thiết bị tiệt khuẩn đó đều khấu hao k (triệu đồng) với 0 < k < 60. Gọi y (triệu đồng) là giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau x năm sử dụng.

a) Chứng tỏ rằng y là hàm số bậc nhất của x, tức là y = ax + b (a ≠ 0).

b) Trong Hình 10, tia At là một phần của đường thẳng y = ax + b. Tìm a, b. Từ đó, cho biết sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng bao nhiêu phần trăm so với giá mua ban đầu.

Hướng dẫn trả lời:

a) Công thức biểu thị giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau x năm sử dụng là:y = 60 – k hay y = – kx + 60. Mà k ≠ 0, suy ra y là hàm số bậc nhất của x.

b) Từ câu a, ta có b = 60. Do đường thẳng y = ax + b đi qua điểm B(10; 30) nên 30 = a.10 + 60.

Suy ra a = – 3. Khi đó, đường thẳng cần tìm là: y = −3x + 60. Giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau 12 năm sử dụng là:

− 3 . 12 + 60 = 24 (triệu đồng).

Tỉ số phần trăm giữa giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau 12 năm sử dụng và giá mua ban đầu là:

$\frac{24.100}{60}$% = 40%.

Vậy sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng 40% so với giá mua ban đầu.

Bài tập 27: Cho đường thẳng d: y = (m − 2)x + 2 với m ≠ 2.

a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn trả lời:

a) Với y = 0 thì x = $\frac{-2}{m-2}$, ta được điểm A($\frac{-2}{m-2}$; 0) là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox. Khi đó OA = $\left | \frac{-2}{m-2} \right |$

Với x = 0 thì y = 2, ta được điểm B(0 ; 2) là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Khi đó OB = 2.

Ta có diện tích của tam giác OAB bằng 2 nên $\frac{1}{2}$. OA. OB = 2 hay OA. OB = 4.

Suy ra $\left | \frac{-2}{m-2} \right |$.2 = 4 hay $\left | \frac{-2}{m-2} \right |$ = 2.

Do đó $\frac{-2}{m-2}$ = 2 hoặc $\frac{-2}{m-2}$ = - 2.

Vậy m = 1 hoặc m = 3 (thoả mãn) thì đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Từ câu a, ta có đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0 ; 2) với mọi giá trị của m.

Vậy khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0 ; 2) cố định.