Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử
Hướng dẫn giải bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử SBT toán 8 cánh diều. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "Cánh diều" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
Bài tập 22: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
a) $25x^{2}-\frac{1}{4}$
b) 36x2 + 12xy + y2;
c) $\frac{x^{3}}{2}+4$
d) 27y3 + 27y2 + 9y + 1.
Hướng dẫn trả lời:
a) $25x^{2}-\frac{1}{4}=(5x)^{2}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}=\left ( 5x-\frac{1}{2} \right ).\left ( 5x+\frac{1}{2} \right )$.
b) 36x2 + 12xy + y2 = (6x)2 + 2.6.1.xy + y2 = (6x + y)2.
c) $\frac{x^{3}}{2}+4=\frac{1}{2}(x^{3}+2^{3})=\frac{1}{2}(x+2)(x^{2}-2x+4)$.
d) 27y3 + 27y2 + 9y + 1 = (3y)3 + 3.(3y)2.1 + 3.3y.12 + 13 = (3y + 1)3.
Bài tập 23: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
a) x3(13xy ‒ 5) ‒ y3(5 ‒ 13xy);
b) 8x3yz + 12x2yz + 6xyz + yz.
Hướng dẫn trả lời:
a) x3(13xy ‒ 5) ‒ y3(5 ‒ 13xy)
= x3(13xy ‒ 5) + y3(13xy ‒ 5)
= (13xy ‒ 5)(x3 + y3)
= (13xy ‒ 5)(x + y)(x2 ‒ xy + y2).
b) 8x3yz + 12x2yz + 6xyz + yz
= yz(8x3 + 12x2 + 6x + 1)
= yz[(2x)3 + 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 + 13)]
= yx(2x + 1)3.
Bài tập 24: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
a) $A=x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{4}$ biết $x+\frac{y}{2}=100$
b) B = 25x2z ‒ 10xyz + y2z biết 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5.
c) C = x3yz + 3x2y2z + 3xy3z + y4z biết x + y = ‒0,5 và yz = 8.
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $ A=x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{4}$
= $x^{2}+2.x.\frac{y}{2}+(\frac{y}{2})^{2}$
= $(x+\frac{y}{2})^{2}$
Thay $x+\frac{y}{2}=100$ vào biểu thức trên ta có: A = 1002 = 10000.
b) Ta có: B = 25x2z ‒ 10xyz + y2z
= z(25x2 ‒ 10xy + y2)
= z[(5x)2 ‒ 2.5x.y + y2)]
= z(5x ‒ y)2.
Thay 5x ‒ y = ‒20 và z = ‒5 vào biểu thức trên ta có:
B = ‒5.(‒20)2 = –5.400 = ‒2 000.
c) Ta có: C = x3yz + 3x2y2z + 3xy3z + y4z
= yz(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)
= yz(x + y)3.
Thay x + y = ‒0,5 và yz = 8 vào biểu thức trên ta có:
$C=8.(-0,5)^{3}=8.(-\frac{1}{2})^{3}=8.(-\frac{1}{8})=-1$.
Bài tập 25: Chứng minh biểu thức B = x5 ‒ 15x2 ‒ x + 5 chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.
Hướng dẫn trả lời:
Trước hết, ta chứng minh (x5 ‒ x) ⋮ 5.
Ta có: x5 ‒ x = x(x4 ‒ 1) = x(x2 ‒ 1)(x2 + 1) = x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1)
• Nếu x = 5k thì x ⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1) ⋮ 5 hay (x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 1 thì x ‒ 1 = 5k ⋮ 5 .
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1) ⋮ 5 hay (x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 2 thì x2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = 25k2 + 20k + 5 ⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1) ⋮ 5 hay (x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 3 thì x2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = 25k2 + 30k + 10⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1) ⋮ 5 hay (x5 ‒ x) ⋮ 5.
• Nếu x = 5k + 4 thì x + 1 = 5k + 5 ⋮ 5.
Khi đó x(x ‒ 1)(x + 1)(x2 + 1) ⋮ 5 hay (x5 ‒ x) ⋮ 5.
Do đó x5 ‒ x ⋮ 5 với mọi số nguyên x.
Ta có: x5 ‒ x ⋮ 5; 15x2 ⋮ 5; 5 ⋮ 5 nên x5 ‒ 15x2 ‒ x + 5 ⋮ 5 với mọi số nguyên x.
Vậy B chia hết cho 5 với mọi số nguyên x.
Bài tập 26: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 2x (dm), đường cao AH = x (dm) với x > 0 và hình vuông MNPQ có cạnh MN = y (dm) với y > 0 (Hình 4).
a) Viết công thức tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP dưới dạng tích.
b) Tính tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP, biết x ‒ y = 2và x + y = 10.
Hướng dẫn trả lời:
a) Diện tích của tam giác ABC là: $\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.x.2x=x^{2}$ (dm2)
Diện tích hình vuông MNPQ là: MN2 = y2 (dm2)
Vì vậy, tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là:
S = x2 ‒ y2 (dm2)
b) Từ câu a, ta có: S = x2 ‒ y2 = (x ‒ y)(x + y)
Thay x – y = 2 và x + y = 10 vào S ta được:
S = 2.10 = 20 (dm2).
Vậy tổng diện tích của các tam giác AMN, BMQ, CNP là 20 dm2.