Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 3: Hình thang cân

Bài tập 11: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{C}=\widehat{D}$và AD = BC. Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi I là giao điểm của AD và BC.

Do $\widehat{C}=\widehat{D}$ nên tam giác ICD cân tại I =>  ID = IC.

Mà AD = BC => IA = IB.

Do đó, tam giác IAB cân tai I.

Vì hai tam giác IAB và ICD đều cân tại I nên

$\widehat{IAB}=\widehat{D}$ (cùng bằng $\frac{180^{o}-\widehat{I}}{2}$).

Mà $\widehat{IAB}$ và $\widehat{D}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD và $\widehat{C}=\widehat{D}$ nên ABCD là hình thang cân.

Bài tập 12: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại P, hai cạnh bên AD và BC kéo dài cắt nhau tại Q. Chứng minh PQ là đường trung trực của hai đáy hình thang cân ABCD.

Hướng dẫn trả lời:

∆ACD = ∆BDC (c.g.c). Suy ra $\widehat{PCD}=\widehat{PDC}$.

Do đó, tam giác PCD cân tại P. Suy ra PC = PD.

Mà AC = BD, suy ra PA = PB.

Do AB // CD nên $\widehat{QAB}=\widehat{ADC}$; $\widehat{QBA}=\widehat{BCD}$ (các cặp góc đồng vị).

Mặt khác, $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên $\widehat{QAB}=\widehat{QBA}$.

Do đó, tam giác QAB cân tại Q. Suy ra QA = QB.

Mà AD = BC, suy ra QD = QC.

Ta có: PA = PB, PC = PD và QA = QB, QC = QD nên PQ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

Bài tập 13: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB = 3 cm, CD = 6 cm, AD = 2,5 cm. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A, B trên đường thẳng CD. Tỉnh độ dài các đoạn thẳng DM, DN, AM.

Hướng dẫn trả lời:

∆ADM = ∆BCN (cạnh huyền - góc nhọn) => AM = BN; DM = CN.

∆ABN = ∆NMA (cạnh huyền - cạnh góc vuông) => AB = NM. Do đó NM = 3 cm.

Ta có: DM + NM + CN = CD và DM = CN nên 2DM + 3 = 6.

=>  DM = 1,5 cm.

Mà DN = DM + NM => DN = 4,5 cm.

Trong tam giác ADM vuông tại M, ta có: AD² = AM² + DM².

=> AM² = AD² – DM² = 4.

Vậy AM = $\sqrt{2}$ = 2 (cm).

Bài tập 14: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M, N lần lượt trên cạnh AB, AC sao cho AM = AN.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân.

b) Xác định vị trí các điểm M, N để BM = MN = NC.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì hai tam giác AMN và ABC đều cân tại A nên

$\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (cùng bằng $\frac{180^{o}-\widehat{A}}{2}$).

Mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{ABC}$ nằm ở vị trí đồng vị => MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC và $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ nên BMNC là hình thang cân.

b) Do BM = MN nên tam giác MBN cân tại M

=> $\widehat{MNB}=\widehat{MBN}$ (hai góc so le trong)

=> $\widehat{MBN}=\widehat{NBC}$

Do đó, BN là tia phân giác của góc ABC.

Tương tự, ta cũng chứng minh được CM là tia phân giác của góc ACB.

Dễ thấy, nếu các điểm M, N được xác định sao cho BN, CM lần lượt là tia phân giác của góc ABC, ACB thì BN = MN = CN.

Vậy M là giao điểm của AB và tia phân giác của góc ACB, N là giao điểm của AC và tia phân giác của góc ABC thì BN = MN = CN.

Bài tập 15: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh là 6 cm. Trên tia BA, CA lần lượt lấy điểm D, E sao cho AD = AE = 2 cm (Hình 12).

a) Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimét).

Hướng dẫn trả lời:

a) Tam giác đều ABC có AB = BC = AC = 6 cm;

$\widehat{BAC}=\widehat{CBA}=\widehat{ACB}$ = 60°.

Ta có: $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{DAE}$ = 60°.

Tam giác ADE có AD = AE và DAE = 60° nên ADE là tam giác đều => $\widehat{ADE}$ = 60°.

Do đó $\widehat{CBA}=\widehat{ADE}$ (vì cùng bằng 60°).

Mà $\widehat{CBA}$ và $\widehat{ADE}$ nằm ở vị trí so le trong => BC // DE.

Ta có: AB = AC và AD = AE nên BD = CE.

Tứ giác BCDE có BC // DE và BD = CE nên BCDE là hình thang cân.

b*) Kẻ DH vuông góc với CE tại H.

∆ADH = ∆EDH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> AH = EH = $\frac{AE}{2}$ = 1 cm.

Trong tam giác ADH vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH² => DH² = AD² - AH² = 3.

Ta có: CH = AC +AH nên CH = 7 cm.

Trong tam giác CD vuông tại H, ta có: CD² = CH² + DH² => CD² = 52.

Vậy CD = $\sqrt{52}$ ≈ 7,2 (cm).