Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 7: Hình vuông

Bài tập 31: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tỉa DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.

a) Chứng minh các tử giác BOCF và BDKE đều là hình vuông.

b) Tứ giác CDOF có thể là hình vuông không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông => $\widehat{ACB}$ = 45°, OB = OC, $\widehat{BOC}=\widehat{DOC}$ = 90°.

Ta có: $\widehat{OBF}=\widehat{DOC}$ (hai góc đồng vị) nên $\widehat{OBF}$ = 90°; $\widehat{CBE}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong) nên $\widehat{CBE}$ = 45°.

Từ đó, ta chứng minh được tam giác BDE vuông cân tại B và tam giác BCE vuông cân tại C.

=> BD = BE và BC = EC.

∆BCF = ∆ECF (c.c.c) => $\widehat{BFC}=\widehat{EFC}$ =90.

Tứ giác BOCF có $\widehat{BOC}=\widehat{OBF}=\widehat{BFC}$ = 90° nên BOCF là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật BOCF có OB = OC nên BOCF là hình vuông.

Ta có: BC = CD và BC = CE nên CD = CE.

Tứ giác BDKE có hai đường chéo BK và DE cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên BDKE là hình bình hành.

Hình bình hành BDKE có $\widehat{DBE}$ = 90° nên BDKE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật BDKE có BD = BE nên BDKE là hình vuông.

b) Tứ giác CDOF có $\widehat{ODC}$ = 45° nên CDOF không thể là hình vuông.

Bài tập 32: Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, I là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:

a) GH // CD;                                  b) Tứ giác GFHE là hình vuông.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên

$\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}$ = 90°.

Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các góc DAB, ABC, BCD, CDA

=>$\widehat{DAE}=\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\widehat{BCF}=\widehat{FCD}=\widehat{CDF}=\widehat{FDA}$ = 45°.

Do đó, các tam giác EAB, FCD, GAD, HBC đều là tam giác vuông cân.

∆GAD = ∆HBC (g.c.g) => GD = HC.  Mà FD = FC => FG = FH.

Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F => $\widehat{FGH}$ = 45°.

Ta có: $\widehat{FGH}=\widehat{CDF}$ = 45° và $\widehat{FGH}$, $\widehat{CDF}$ nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.

b) $\widehat{EGF}=\widehat{AGD}$ = 90° (hai góc đối đỉnh).

Tứ giác GFHE có $\widehat{EGF}=\widehat{GFH}=\widehat{HEG}$ = 90° nên GFHE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật GFHE có FG = FH nên GFHE là hình vuông.

Bài tập 33: Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26). Chứng minh:

a) ∆HAF = ∆ADC;                        b*) AC ⊥ HF.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi K là giao điểm của AC và HF.

a) Do ABEF và ADGH đều là hình vuông nên $\widehat{BAF}=\widehat{DAH}$ = 90°, AF = BA, AH = DA.

Do ABCD là hình bình hành nên BA = DC => AF = DC.

Ta chứng minh được $\widehat{HAF}+\widehat{DAB}$ = 180° và $\widehat{ADC}+\widehat{DAB}$ = 180°. Suy ra $\widehat{HAF}=\widehat{ADC}$.

Xét hai tam giác HAF và ADC, ta có: AH = DA, $\widehat{HAF}=\widehat{ADC}$, AF = DC.

=> ∆HAF = ∆ADC (c.g.c).

b*) Ta có: $\widehat{HAK}+\widehat{DAH}+\widehat{DAC}=\widehat{CAK}$ = 180° và $\widehat{DAH}$ = 90° nên $\widehat{HAK}+\widehat{DAC}$ = 90°.

Mà $\widehat{AHF}=\widehat{DAC}$ (vì ∆HAF = ∆ADC)

=> $\widehat{HAK}+\widehat{AHF}$ = 90°.

Trong tam giác AHK, ta có: $\widehat{AKH}+\widehat{HAK}+\widehat{AHF}$ = 180°.

=> $\widehat{AKH}$ = 90°. Vậy AK ⊥ HK hay AC ⊥ HF.

Bài tập 34: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần

lượt là trung điểm của BG, CG.

a) Tứ giác EFHD là hình gì? Vì sao?

b*) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác EFHD là hình vuông.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên DG = $\frac{1}{2}$BG, EG = $\frac{1}{2}$CG.

Mà F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG nên DG = BF = FG, EG = CH = HG.

Tứ giác EFHD có hai đường chéo EH và DF cắt nhau tại g trung điểm G của mỗi đường nên EFHD là hình bình hành.

b*) Để hình bình hành EFHD là hình vuông thì EH = DF và EH ⊥ DF.

=> BG = CG, EG = DG và BD ⊥ CE.

∆BEG = ∆CDG (c.g.c) => BE = CD. Mà AB = 2BE, AC = 2CD => AB = AC.

Dễ thấy, nếu AB = AC và BD ⊥ CE thì tứ giác EFHD là hình vuông.

Vậy tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau thì tứ giác EFHD là hình vuông.

Bài tập 35: Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.

a) Chứng minh AE = AM = FM.                                 b) Tỉnh độ dài BF.

Hướng dẫn trả lời:

a) ∆ADE = ∆ABM (c.g.c) => AE = AM và $\widehat{DAE}=\widehat{BAM}$.

Do AF là tia phân giác của $\widehat{BAE}$ nên $\widehat{EAF}=\widehat{BAF}$.

=> $\widehat{DAE}+\widehat{EAF}=\widehat{BAM}+\widehat{BAF}$ hay $\widehat{DAF}=\widehat{MAF}$.

Mà $\widehat{DAF}=\widehat{MFA}$ (hai góc so le trong) => $\widehat{MFA}=\widehat{MAF}$.

Do đó, tam giác MAF cân tại M => AM =  FM.

Mà AE = AM => AE = AM = FM.

b) Trong tam giác ADE vuông tại D, ta có: AE² = AD² + DE² = 12² + 5² = 169

=> AE = $\sqrt{169}$ = 13 cm. Mà FM = AE => FM=13 cm.

Ta có: FM = BM + BF. Mà BM = DE = 5 cm và FM = 13 cm.

=> BF = 13 – 5 = 8 cm.

Bài tập 36: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.

a) Chứng minh tam giác AEF là tam giác vuông cân.

b) Gọi I là trung điểm của EF. Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IK = IA. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.

c*) Chứng minh I thuộc đường thẳng BD.

Hướng dẫn trả lời:

Từ điểm F kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường thẳng BD tại M.

a) ∆ADE = ∆ABF (c.g.c).

=> AE = AF và $\widehat{DAE}=\widehat{BAF}$.

=> $\widehat{DAE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}$ hay $\widehat{BAD}=\widehat{EAF}$. Do đó $\widehat{EAF}$ = 90°.

Tam giác AEF có $\widehat{EAF}$ = 90°, AE = AF nên tam giác AEF vuông cân tại A.

b) Tứ giác AEKF có hai đường chéo AK, EF cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên AEKF là hình bình hành.

Hình bình hành AEKF có $\widehat{EAF}$ = 90° nên AEKF là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật EKF có AE = AF nên AEKF là hình vuông.

c*) Do ABCD là hình vuông nên ta tính được $\widehat{CBD}$ = 45°.

Mà $\widehat{FBM}=\widehat{CBD}$ (hai góc đối đỉnh) => $\widehat{FBM}$ = 45°.

Do MF //  CD nên $\widehat{BFM}=\widehat{BCD}$ (cặp góc so le trong).

Do đó $\widehat{BFM}$ = 90°. Ta chứng minh được tam giác FBM vuông cân tại F.

=> MF = BF. Mà BF = DE => MF = DE.

Tứ giác DEMF có MF = DE và MF // DE nên DEMF là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của EF, suy ra I là trung điểm của DM.

Vậy I thuộc đường thẳng DM hay I thuộc đường thẳng BD.