Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 7: Hình vuông

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1 trang 116 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biết các góc và các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm gì.

Tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm:

- Các góc đều là góc vuông

- Các cạnh đều bằng nhau.

II. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2 trang 117 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) Mỗi hình vuông có là một hình chữ nhật hay không?

b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi hay không?

a) Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật.

b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi.

Luyện tập 1 trang 117 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình vuông ABCD. Tính số đo các góc CAB, DAC.

ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là đường phân giác của góc A 

=> CABˆ=CADˆ=12Aˆ=12.90∘=45∘

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Hoạt động 3 trang 118 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình vuông hay không?

b) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 69).

• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
• ABCD có phải là hình vuông hay không?

c) Cho hình chữ nhật ABCD có AC là tia phân giác của góc DAB.

• Tam giác ABC có phải là tam giác vuông cân hay không?
• ABCD có phải là hình vuông hay không?

a. ABCD là hình chữ nhật nên sẽ có 4 góc vuông và 2 cặp cạnh đối bằng nhau. Mặt khác có 2 cạnh kề bàng nhau nữa nên là hình vuông. 

b. 2 tam giác vuông OAD và OBC bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền- cạnh góc vuông nên OD = OC=> O là trung điểm của BC và AC vuông góc với BD tại O nên đường thẳng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

ABCD là hình chữ nhật nên :

- 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường=> OA = OC (1)

- AB = DC; AD = BC (2)

- Có 4 góc vuông (3)

2 tam giác vuông OAB và OCB có OB chung , kết hợp với (1) => 2 tam giác vuông OAB và OCB bằng nhau theo trường hợp 2 cạnh góc vuông. 

=> AB = BC. kết hợp với (2) => ABCD có 4 cạnh bằng nhau. kết hợp với (3) => ABCD là hình vuông.

c. ABC là hình chữ nhật nên ADCˆ = ABCˆ = 90∘ => tam giác ABC vuông tại B (1)

2 tam giác vuông DAC và BAC bằng nhau vì có:

• DACˆ = BACˆ (AC là tia phân giác của góc DAB)
• AC chung

=> 2 cạnh tương ứng AD = AB (2)

Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC. kết hợp với (2)=> AB = BC(3)

Từ(1) và (3) => ABC là tam giác vuông cân ở B

ABCD là hình vuông. 

Luyện tập 2 trang 118 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE =EC. Qua D và E kẻ đường thắng vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC lân lượt tại H và G. Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông.

Xét 2 tam giác vuông GEC và HDB có:

• EC = DB (gt)
• Cˆ=Bˆ (ABC là tam giác vuông cân tại A )

=>2 tam giác vuông GEC và HDB bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhon

=> GE = HD, GC = HB (1)

Tam gác ABC vuông cân tại A nên Cˆ=Bˆ = 45∘

=> Tam giác DBH vuông cân tại D. suy ra:

• DH = DB => GE = DB = DE (2)
• DHBˆ=DBHˆ = 45∘ (3)

Từ (1) GC = HB => GA = AH => tam giác AGH vuông cân tại H => AHGˆ=AGHˆ = 45∘ (4)

Từ (3) và (4) =>  GHDˆ = 180∘ - 45∘ - 45∘ = 90∘

Xét tứ giác EGHD có: 3 góc vuông GHDˆ, HDEˆ, DEGˆ nên góc còn lại EGHˆ cũng là góc vuông=>EGHD là hình chữ nhật.  Thêm nữa là có 2 cạnh liền kề GE=ED nên là hình vuông (đpcm)

IV. BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có AC = BD. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Bài tập 2 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có Aˆ = 90∘. Chứng minh ABCD là hình vuông.

ABCD là hình thoi nên:

- Có các góc đối bằng nhau. Suy ra:

• Cˆ = Aˆ = 90∘. 
• Bˆ = Dˆ = 12(360∘ - Cˆ - Aˆ ) = 12(360∘ - 90∘ - 90∘ ) = 90∘

- 4 cạnh bằng nhau. 

=> ABCD có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông.(đpcm)

Bài tập 3 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông.

H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC nên DHAˆ=DKAˆ=90∘. Tứ giác AHDK có 3 góc vuông nên góc còn lại cũng là góc vuông. Vậy AHDK là hình chữ nhật. 

Xét 2 tam giác vuông DHA và DKA có: 

• DAHˆ=DAKˆ(AD là đường phân giác của góc A)
• AD chung

=> 2 tam giác vuông DHA và DKA bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền, góc nhọn

=> 2 cạnh tương ứng AH = AK. Hình chữ nhật AHDK có 2 cạnh liền kề bằng nhau nên là hình vuông (đpcm)

Bài tập 4 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có đạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Hãy trình bày cách cắt phép hai mảnh giấy đó để được một hình vuông có độ dài cạnh là 2–√ dm.

Cách làm:

- Gấp đôi mỗi mảnh giấy có dạng hình vuông theo đường kẻ chéo như hình đầu tiên, đường kẻ này sẽ có độ dài là 2–√ dm (đúng với định lý pythagore). Sau đó dùng kéo cắt theo đường kẻ này ta sẽ có 4 mảnh giấy hình tam giác như nhau. 

- Xếp 4 mảnh giấy tam giác này lại sao cho đường cắt của 4 mảnh tạo thành 4 cạnh của hình vuông mới, lúc này cạnh của hình vuông mới sẽ là 2–√ dm

Bài tập 5 trang 119 sgk Toán 8 tập 1 CD:  Bạn Thảo có một mảnh giấy có dạng hình tròn. Bạn Thảo đố bạn Minh: Không dùng thước thẳng và compa, làm thế nào có thể xác định tâm của hình tròn và chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình vuông? Bạn Minh đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Tiếp tục gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) ở Bước 1 sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau. Trải miếng bìa về dạng hình tròn ban đầu, ta được nét gấp mới là một đường kính khác của hình tròn.

Bước 3. Ta đánh dấu giao điểm của hai đường kính là O và hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó O là tâm của hình tròn và tứ giác ABCD là hình vuông (Hình 7).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Minh.

Giải thích:

- Giao điểm của 2 đường kính của hình tròn sẽ cách tất cả các điểm trên đường tròn những khoảng cách như nhau gọi là bán kính. Và giao điểm O này chính là tâm của đường tròn. 

- Với việc xác định các điểm mút như trên ta đi xét các tam giác sau:

Tam giác AOD và COB có: 

• OA = OB; OD = OC (đều là bán kính đường tròn)
• Góc AOD và BOC bằng nhau (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác AOD và COB bằng nhau (c-g-c). Suy ra:

• AD = BC (1)
• OADˆ=OCBˆ => AD//BC (2)

Tương tự vói 2 tam giác DOC và BOA. Suy ra:

• AB = DC. (3)
• ODCˆ=OBAˆ => AB//DC (4)

Từ (2) và (4) => ABCD là hình bình hành. Kết hợp với (1) và (2) => ABCD là hình vuông (hình bình hành có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)