Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 6: Hình thoi

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1 trang 113 sgk Toán 8 tập 1 CD: So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở hình 56. 

Các cạnh của tứ giác ABCD ở hình 56 có độ dài bằng nhau.

II. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2 trang 113 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (Hình 58).

a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?

b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?

c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của BAD hay không?

a) ABCD là hình thoi nên AB=BC=CD=DA . Suy ra:

2 tam giác DAB và DCB bằng nhau (c-c-c) => Góc A và góc C bằng nhau. 

2 tam giác DAC và BAC bằng nhau (c-c-c) => Góc D và góc B bằng nhau. 

=> Tứ giác ABCD có 2 cặp góc đối bằng nhau nên là hình bình hành. 

b) Từ a, ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của mỗi đường chéo. 

Xét 2 tam giác AOB và AOD có: 

• OA chung
• OB = OA
• AD = AB

=> 2 tam giác AOB và AOD bằng nhau. => AODˆ=AOBˆ. mặt khác chúng lại là 2 góc bù nhau nên AODˆ=AOBˆ = 90∘

=> Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau

c) Hai tam giác ABC và ADC có:

• AC chung
• AB=AD
• BC=DC

=> Hai tam giác ABC và ADC bằng nhau theo trường hợp c-c-c.

=> 2 góc tương ứng là BAC và DAC bằng nhau => AC là tia phân giác của góc BAD. 

Luyện tập 1 trang 114 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có ABCˆ=120∘. Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều.

Tam giác ABD có AB = AD (2 cạnh của hình thoi ABCD) nên là tam giác cân => ABDˆ=ADBˆ (1)

BD là đường chéo của hình thoi ABCD nên BD là tia phân giác của góc ABCˆ=> ABDˆ=CBDˆ=12ABCˆ=12.120∘=60∘ (2)

Từ (1) và (2) => ABDˆ=ADBˆ = 60∘. Tam giác cân ABD cân tại A và có 2 góc ở đáy = 60∘ nên là tam giác đều (đpcm)

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Hoạt động 3 trang 114 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình thoi hay không?

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 60).

• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
• ABCD có phải là hình thoi hay không?

a. ABCD là hình bình hành nên 2 cặp cạnh đối AB = DC và AD = BC. Mà theo giả thiết thì AB = BC => AB = DC = AD = BC. Vậy tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. 

b. AC và BD là 2 đường chéo của hình bình hành nên giao điểm O là trung điểm của mỗi đường chéo => OD = OB. 

Kết hợp với AC vuông góc với BD tại O nên đường thẳng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD. 

Xét 2 tam giác vuông AOD và AOB có:

• OA chung
• OB = OD 

=> 2 tam giác vuông AOD và AOB bằng nhau theo trương hợp 2 cạnh góc vuông.

=> 2 cạnh tương ứng AD = AB (1)

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên AD = BC, AB = DC. Kết hợp với (1)=> AD = BC =  AB = DC=> Tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Luyện tập 2 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi.

Xét 2 tam giác AMC và NMB có: 

• AM = NM (gt)
• MC = MB (M là trung điểm của BC)
• AMCˆ=NMBˆ (2 góc đối đỉnh)

=> 2 tam giác AMC và NMB bằng nhau theo trường hợp c-g-c.=> 2 cạnh tương ứng BN = AC (1)

Xét 2 tam giác AMB và NMC có: 

• AM = NM (gt)
• MC = MB (M là trung điểm của BC)
• AMBˆ=NMCˆ (2 góc đối đỉnh)

=> 2 tam giác AMB và NMC bằng nhau theo trường hợp c-g-c.=> 2 cạnh tương úng AB = CN (2)

Mà ABC cân tại A nên AB = AC (3)

Từ (1), (2), (3) => AB = AC = BN  = NC => Tứ giác ABNC có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. 

Bài tập 1 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình bình hành ABCD có tia AC là tia phân giác của góc DAB. Chứng minh ABCD là hình thoi.

ABCD là hình bình hành nên:

AD = BC; AB = DC (1)

Xét 2 tam giác ADC và CBA có: 

• AC chung
• Kết hợp với (1)

=> 2 tam giác ADC và CBA bằng nhau (c-c-c)=> 2 góc tương ứng DCAˆ=BACˆ (2)

Mà AC là tia phân giác của góc DAB => DACˆ=BACˆ. Kết hợp với (2) => DACˆ=DCAˆ

=> Tam giác DAC cân tại D => DA = DC. Kết hợp với (1) => AD = BC = AB = DC => ABCD có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. 

Bài tập 2 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh: AC2+BD2=4(OA2+OB2)=4AB2

ABCD là hình thoi nên 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường => OA = OC, OB = OD. 

=> $AC^{2}+BD^{2}=(OA+OC)^{2}+(OB+OD)^{2} = (2OA)^{2}+(2OB)^{2}

= 4OA2+4OB2=4(OA2+OB2) (1)

Xét tam giác vuông OAB vuông tại O có: AB2=OA2+OB2 (2)

Từ (1) và (2) => AC2+BD2=4(OA2+OB2)=4AB2 (đpcm)

Bài tập 3 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thoi ABCD có CDBˆ=40∘. Tính số đo mỗi góc của hình thoi ABCD.

ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc D => Dˆ=2.CDBˆ= 2.40∘=80∘

ABCD là hình thoi nên nó cũng là một hình bình hành. Suy ra:

Dˆ=Bˆ=80∘ (2 góc đối nhau)

Aˆ=Cˆ=12(360∘−Dˆ−Bˆ)=12(360∘−80∘−80∘)=100∘ (2 góc đối nhau)

Bài tập 4 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là: 

(12.45)2+(12.90)2−−−−−−−−−−−−−−√=50,3 (mm)

Bài tập 5 trang 115 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Tam giác ABC có AB = BC (2 cạnh của hình thoi) nên là tam giác cân tại B. Lại có góc B = 60∘ nên ABC là tam giác đều => AC = 40cm. 

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Khi đó: OA = 12AC = 20cm. 

Trong tam giác AOB có OB = AB2−OA2−−−−−−−−−√=402−202−−−−−−−−√=34,6 cm

Diện tích tam giác ABC = 12.OB.AC=12.34,6.40=692 cm2

=> Diện tích viên gạch có dạng hình thoi như trên sẽ là: 2. 692 = 1 384cm2