Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 6: Hình thoi

Bài tập 26: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc với CD tại F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, BF với AC. Chứng minh tứ giác BMDN là hình thoi.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Do ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O của BD.

=> AC là đường trung trực ti của BD. Do đó BM = DM, BN = DN.

Do ABCD là hình thoi nên BA = BC, $\widehat{BAE}=\widehat{BCF}$.

Suy ra ∆ABE = ∆BCF (cạnh huyền - góc nhọn kề).

Do đó $\widehat{ABE}=\widehat{CBF}$. Mà $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

=> $\widehat{MBO}=\widehat{NBO}$.

∆MBO = ∆NBO (cạnh góc vuông - góc nhọn) => BM = BN.

Mà BM = DM và BN = DN => BM = DM = BN = DN.

Tứ giác BMDN có BM = DM = BN = DN nên BMDN là hình thoi.

Bài tập 27: Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $\frac{18}{5}$ m và $\frac{27}{10}$ m. Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.

Hướng dẫn trả lời:

Xét hình thoi ABCD có AC = $\frac{18}{5}$ m, BD = $\frac{27}{10}$ m.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD, O là trung điểm của AC và BD.

Ta tính được: OA = $\frac{AC}{2}=\frac{9}{5}$ m;

                       OB = $\frac{BD}{2}=\frac{27}{20}$ m;

Trong tam giác OAB vuông tại O, ta có: AB² = OA² + OB² = $\frac{9}{5}^{2}+ \frac{27}{20}^{2}= \frac{81}{16}$ => AB = $\frac{9}{4}$ m.

Chu vi của hình thoi ABCD là: 4. $\frac{9}{4}$ = 9 (m).

Diện tích của hình thoi ABCD là: $\frac{1}{2}.\frac{18}{5}.\frac{27}{10}=\frac{243}{50}$ (m²).

Bài tập 28: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

a) BN ⊥ CM;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E nên 

$\widehat{ABD}+\widehat{A}=\widehat{ACE}+\widehat{A}$ = 90°

=> $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACE}$

=> $\widehat{ABN}=\widehat{DBN}=\widehat{ACM}=\widehat{ECM}$.

Do tam giác CEM vuông tại E nên $\widehat{ECM}=\widehat{EMC}$ = 90°.

=> $\widehat{ABN}+\widehat{ECM}$ = 90° hay $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}$ = 90°.

Do đó, ta tính được $\widehat{BOM}$ = 90°. Vậy BN ⊥ CM.

b) ∆BMO = ∆BHO (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) => OM = OH.

∆CNO = ∆CKO (cạnh góc vuông - góc nhọn kề). Suy ra ON = OK.

Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK là hình bình hành.

Hình bình hành MNHK có MH ⊥ NK nên MNHK là hình thoi.

Bài tập 29: Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Ox của góc xOy, vẽ đường thẳng a theo cạnh kia của thước. Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh Oy của góc xOy, vẽ đường thẳng b theo cạnh kia của thước. Hai đường thẳng a, b cắt nhau tại điểm M nằm trong góc xOy (Hình 23). Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi A là giao điểm của đường thẳng a với tia Oy, B là giao điểm của đường thẳng b với tia Ox. Kẻ AH vuông góc với OB tại H, AK vuông góc với BM tại K.

Do khoảng cách giữa hai lề của thước là không đổi nên ta có AH = AK.

Tứ giác OAMB có AM // OB, MB // OA nên OAMB là hình bình hành.

=> $\widehat{AOH}=\widehat{AMK}$. Do đó $\widehat{OAH}=\widehat{MAK}$.

∆AOH = ∆AMK (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) => OA = AM.

Hình bình hành OAMB có OA = AM nên OAMB là hình thoi. Vậy OM là tia phân giác của góc xOy.

Bài tập 30: Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, $\widehat{A}=\frac{1}{2}\widehat{B}$. Các điểm H, K thay đổi lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho $\widehat{HBK}$ = 60°.

a) Chứng minh DH + DK không đổi.

b) Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do ABCD là hình thoi nên AB = DA = 2 cm, $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$

Mà $\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ => $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}$

Do đó tam giác ABD cân tại D => DA = DB.

Mà AB = DA => AB = DA = DB.

∆ABH = ∆DBK (g.c.g) => AH = DK. Do đó DH + DK = DH + AH = AD.

Vậy DH + DK không đổi.

b) Do ∆ABH = ∆DBK nên BH = BK.

Tam giác BHK có BH = BK và $\widehat{HBK}$ = 60° nên tam giác BHK là tam giác đều.

=> HK = BH = BK.

Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BH và BK ngắn nhất. Vậy H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.

Khi đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> AH = DH = $\frac{AD}{2}$ = 1 cm.

Trong tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB² = AH² + BH² => BH² = AB² – AH² = 2² -1² = 3

=> BH = $\sqrt{3}$ cm.

Vậy độ dài ngắn nhất của HK là $\sqrt{3}$ cm.