Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài: Bài tập cuối chương II
Hướng dẫn giải bài: Bài tập cuối chương II SBT toán 8 cánh diều. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "Cánh diều" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
Bài tập 20: Điều kiện xác định của phân thức $\frac{1}{x+3}$ là:
A. x – 3 > 0. B. x – 3 < 0. C. x – 3 ≠ 0. D. x – 3 = 0.
Hướng dẫn trả lời:
Chọn đáp án C.
Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác 0 hay x – 3 ≠ 0.
Bài tập 21: Giá trị của biểu thức $M=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}$ tại x = 0,5 là:
Hướng dẫn trả lời:
Chọn đáp án C.
Ta có: $ M=\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3-x}=\frac{3-x+(3+x)}{(3-x)(3+x)}=\frac{6}{9-x^{2}}$
Thay x = 0,5 vào M, ta có:
$ M=\frac{6}{9-0,5^{2}}=\frac{24}{35}$.
Bài tập 22: Thương của phép chia phân thức $\frac{y^{3}-x^{3}}{6x^{3}y}$ cho phân thức $ \frac{x^{2}+xy+y^{2}}{2xy}$ là:
A. $\frac{y-x}{3x}$.
B. $\frac{x-y}{3x^{2}}$
C. $\frac{x-y}{3x}$
D. $\frac{y-x}{3x^{2}}$
Hướng dẫn trả lời:
Chọn đáp án D.
Ta có: $ \frac{y^{3}-x^{3}}{6x^{3}y}:\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{2xy}$
= $\frac{y^{3}-x^{3}}{6x^{3}y}.\frac{2xy}{x^{2}+xy+y^{2}}$
= $\frac{(y-x)(y^{2}+yx+x^{2}).2xy}{6x^{3}y.(x^{2}+xy+y^{2})}$
= $\frac{y-x}{3x^{2}}$
Vậy thương của phép chia phân thức $\frac{y^{3}-x^{3}}{6x^{3}y}$ cho phân thức $ \frac{x^{2}+xy+y^{2}}{2xy}$ là: $\frac{y-x}{3x^{2}}$
Bài tập 23: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:
a) $A=(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}-1).\frac{x-y}{2y}$ tại x = 5; y = 7;
b) $B=\frac{2x+y}{2x^{2}-xy}+\frac{8y}{y^{2}-4x^{2}}+\frac{2x-y}{2x^{2}+xy}$ tại x = -$\frac{1}{2}$; y = $\frac{3}{2}$;
c) $C=(\frac{x^{2}}{y}-\frac{y^{2}}{x})(\frac{x+y}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{x-y})-\frac{x}{y}$ tại x = -15; y = 5.
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $A=(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}-1).\frac{x-y}{2y}$
= $(\frac{x^{2}+y^{2}-(x^{2}-y^{2})}{x^{2}-y^{2}}).\frac{x-y}{2y}$
= $\frac{x^{2}+y^{2}-x^{2}+y^{2}}{(x-y)(x+y)}.\frac{x-y}{2y}$
= $\frac{2y^{2}.(x-y)}{(x-y)(x+y).2y}$
= $\frac{y}{x+y}$
Thay x = 5; y = 7 vào A, ta có: $A=\frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}$.
Vậy giá trị của biểu thức A tại x = 5; y = 7 là $\frac{7}{12}$.
b) Ta có: $B=\frac{2x+y}{2x^{2}-xy}+\frac{8y}{y^{2}-4x^{2}}+\frac{2x-y}{2x^{2}+xy}$
= $\frac{2x+y}{x(2x-y)}-\frac{8y}{(2x-y)(2x+y)}+\frac{2x-y}{x(2x+y)}$
= $\frac{(2x+y)^{2}}{x(2x-y)(2x+y)}-\frac{8xy}{x(2x-y)(2x+y)}+\frac{(2x-y)^{2}}{x(2x-y)(2x+y)}$
= $\frac{(2x+y)^{2}-8xy+(2x-y)^{2}}{x(2x-y)(2x+y)}$
= $\frac{4x^{2}+4xy+y^{2}-8xy+4x^{2}-4xy+y^{2}}{x(2x-y)(2x+y)}$
= $\frac{8x^{2}-8xy+2y^{2}}{x(2x-y)(2x+y)}$
= $\frac{2(2x-y)^{2}}{x(2x-y)(2x+y)}$
= $\frac{2(2x-y)}{x(2x+y)}$
Thay x = -$\frac{1}{2}$; y = $\frac{3}{2}$ vào B, ta có:
$B=\frac{2(2(-\frac{1}{2})-(\frac{3}{2}))}{(-\frac{1}{2})(2(-\frac{1}{2})+(\frac{3}{2}))}$
= $\frac{2(\frac{-5}{2})}{(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2})}$
= 20.
Vậy giá trị của biểu thức B tại x = -$\frac{1}{2}$; y = $\frac{3}{2}$ là 20.
c) $C=(\frac{x^{2}}{y}-\frac{y^{2}}{x})(\frac{x+y}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{1}{x-y})-\frac{x}{y}$
= $\frac{x^{3}-y^{3}}{xy}.\frac{(x+y)(x-y)+(x^{2}+xy+y^{2})}{(x^{2}+xy+y^{2})(x-y)}-\frac{x}{y}$
= $\frac{(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}{xy}.\frac{x^{2}-y^{2}+x^{2}+xy+y^{2}}{(x^{2}+xy+y^{2})(x-y)}-\frac{x}{y}$
= $\frac{(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}).x(2x+y)}{xy.(x^{2}+xy+y^{2})(x-y)}-\frac{x}{y}$
= $\frac{2x+y}{y}-\frac{x}{y}$
= $\frac{x+y}{x}$
Thay x = -15; y = 5 vào C, ta có: $ C=\frac{-15+5}{5}$ = - 2.
Vậy giá trị của biểu thức C tại x = -15; y = 5 là -2.
Bài tập 24: Cho biểu thức:
$D=(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$.
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.
b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5 947.
c) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn trả lời:
a) Điều kiện xác định của biểu thức D là: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ $\frac{1}{2}$.
b) Rút gọn biểu thức D:
$D=(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$
= $(\frac{(x+2)(x+1)}{3x(x+1)}+\frac{6x}{3x(x+1)}-\frac{9x(x+1)}{3x(x+1)}).\frac{x+1}{2(1-2x)}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$
= $\frac{x^{2}+3x+2+6x-9x^{2}-9x}{3x(x+1)}.\frac{x+1}{2(1-2x)}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$
= $\frac{-8x^{2}+2}{6x.(1-2x)}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$
= $\frac{2(1-2x)(1+2x)}{6x.(1-2x)}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$
= $\frac{1+2x}{3x}-\frac{3x-x^{2}+1}{3x}$
= $\frac{1+2x-3x+x^{2}-1}{3x}$
= $\frac{x^{2}-x}{3x}$
= $\frac{x-1}{3}$
Giá trị của biểu thức D tại x = 5 947 là $D=\frac{5947-1}{3}$ = 1982
c) Để D nhận giá trị nguyên thì $\frac{x-1}{3}$ phải nhận giá trị nguyên.
=> x − 1 ⋮ 3, tức là x − 1 = 3k hay x = 3k + 1 với k ∈ Z (thỏa mãn điều kiện xác định).
Bài tập 25: Cho biểu thức:
$S=\frac{(x+2)^{2}}{x}.(1-\frac{x^{2}}{x+2})-\frac{x^{2}+6x+4}{x}$
a) Rút gọn rồi Tính giá trị của biểu thức S tại x = 0,1.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.
Hướng dẫn trả lời:
a) Điều kiện xác định của biểu thức S là: x ≠ 0; x ≠ -2.
Rút gọn biểu thức S:
$S=\frac{(x+2)^{2}}{x}.(1-\frac{x^{2}}{x+2})-\frac{x^{2}+6x+4}{x}$
= $\frac{(x+2)^{2}}{x}-\frac{(x+2)^{2}}{x}.\frac{x^{2}}{x+2}-\frac{x^{2}+6x+4}{x}$
= $\frac{(x+2)^{2}}{x}-\frac{x^{2}(x+2)}{x}-\frac{x^{2}+6x+4}{x}$
= $\frac{(x+2)^{2}-x^{2}(x+2)-(x^{2}+6x+4)}{x}$
= $\frac{x^{2}+4x+4-x^{3}-2x^{2}-x^{2}-6x-4}{x}$
= $\frac{-x^{3}-2x^{2}-2x}{x}$
= $-x^{2}-2x-2$.
Giá trị hai biểu thức S tại x = 0,1 là: $-0,1^{2}-2.0,1-2$ = – 2,21.
b) Ta có: $S=-x^{2}-2x-2=-(x^{2}-2x+1)-1=-(x-1)^{2}-1$.
=> S đạt giá trị lớn nhất khi - (x − 1)2 − 1 đạt giá trị lớn nhất.
Mà với mọi x, ta có (x – 1)2 ≥ 0 hay - (x − 1)2 − 1 ≤ − 1.
Vậy giá trị lớn nhất của S là − 1 khi (x – 1)2 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn điều kiện xác định).
Bài tập 26: Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến B trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí C cách bến A là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của ca nô thứ nhất (x > 4). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B
b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C.
Hướng dẫn trả lời:
a) Do tốc độ ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B (xuôi dòng) là x + 4 (km/h)
Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B là $\frac{24}{x+4}$ (giờ).
b) Bến B cách vị trí C là: 24 – 8 = 16 km.
Do tốc độ ca nô thứ nhất đi từ bến B đến C (ngược dòng) là x - 4 (km/h)
Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C là $\frac{16}{x-4}$ (giờ).
c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là:
$\frac{24}{x+4}+\frac{16}{x-4}=\frac{24(x-4)+16(x+4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{24x-96+16x+64}{x^{2}-16}=\frac{40x-32}{x^{2}-16}$.
Vậy tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C là: $\frac{40x-32}{x^{2}-16}$.
Bài tập 27: Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi x là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch (x ∈ N*, x < 600). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch;
b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế;
c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.
Hướng dẫn trả lời:
a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là: $\frac{600}{x}$ (giờ).
b) Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc.
Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế là: $\frac{600}{x+20}$ (giờ).
c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch:
$\frac{600}{x+20}:\frac{600}{x}=\frac{600}{x+20}.\frac{x}{600}=\frac{x}{x+20}$.