Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 2: Tứ giác

Bài tập 6: Tính các số đo x, y, z ở các hình 6a, 6b, 6c:

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tứ giác ABCD, ta có: $\widehat{DAB}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}$ = 360^o.

Do đó: $\widehat{DAB}$ = 360° – $(\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D})$ = 360° – (120° + 80° + 50°) = 110°.

Ta có: $\widehat{DAB}$ + x = 180° (hai góc kề bù).

=> x = 180° – $\widehat{DAB}$ = 180° – 110° = 70°.

b) Ta có: $\widehat{GHI}$ + 65° = 180° (hai góc kề bù) => $\widehat{GHI}$ = 115°.

Trong tứ giác GHIK, ta có: $\widehat{G}+\widehat{GHI}+\widehat{I}+\widehat{K}$ = 360°

Do đó: 90° + 115° +90° + y = 360° hay y + 295° = 360° => y = 65°.

c) Ta có: $\widehat{MNP}$ + 60° = 180° (hai góc kề bù) => $\widehat{MNP}$ =120°.

Ta lại có: $\widehat{NPQ}$ + 130° = 180° (hai góc kề bù) => $\widehat{MNP}$ = 50°.

Trong tứ giác MNPQ, ta có: $\widehat{M}+\widehat{MNP}+\widehat{NPQ}+\widehat{Q}$ = 360°.

Do đó: 90° + 120° + 50° + z = 360° hay z + 260° = 360° => z = 100°.

Bài tập 7: Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác. Chứng minh tổng các góc ngoài của tứ giác ABCD ở Hình 7 (tại mỗi đỉnh chỉ chọn một góc ngoài): $\widehat{A_{1}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{D_{1}}$ = 360°.

Hướng dẫn trả lời:

Trong tứ giác ABCD, ta có:

$\widehat{DAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCD}+\widehat{CDA}$ = 360°.

Ta có:

$\widehat{DAB}+\widehat{A_{1}}=\widehat{ABC}+\widehat{B_{1}}=\widehat{BCD}+\widehat{C_{1}}=\widehat{CDA}+\widehat{D_{1}}$ = 180° (các cặp góc kề bù).

=> (180° - $\widehat{A_{1}}$) + (180° - $\widehat{B_{1}}$) + (180° - $\widehat{C_{1}}$) + (180° - $\widehat{D_{1}}$) = 360°

hay 720° – $(\widehat{A_{1}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{D_{1}})$  = 360°.

Vậy $\widehat{A_{1}}+\widehat{B_{1}}+\widehat{C_{1}}+\widehat{D_{1}}$ = 360°.

Bài tập 8: a) Cho tứ giác ABCD có AB // CD, $ \widehat{B}$ = 135°, $ \widehat{D}$ = 70°, $ \widehat{ACB}$ = 25° (Hình 8a). Tính số đo góc $ \widehat{DAC}$.

b) Cho tứ giác GHIK có $\widehat{KGH}=\widehat{K}$ =  90°, $\widehat{I}$ = 65°.

Trên HI lấy điểm E sao cho $\widehat{EGH}$ = 25° (Hình 8b). Tỉnh số đo góc GEI.

c) Cho tứ giác MNPQ có PM là tia phân giác của góc NPQ, $\widehat{QMN}$  = 110°, $\widehat{N}$  = 120°, $\widehat{Q}$  = 60° (Hình 8c). Tính số đo các góc NPM, MPQ, QMP.

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{BAC}$ = 180° ($\widehat{B}$ + $\widehat{BCA}$) = 180° - (135° + 25°) = 20°.

Do AB // CD nên $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BAC}$ = 20° (hai góc so le trong).

Trong tam giác ACD, ta có: $\widehat{DAC}$ = 180° – ($\widehat{ACD}$ + $\widehat{D}$) = 180° - (20° + 70°) = 90°.

b) Trong tứ giác GHIK, ta có: $\widehat{H}$ = 360° – ($\widehat{KGH}$ + $\widehat{I}$ + $\widehat{K}$) = 360° - (90° + 65° + 90°) = 115°.

Trong tam giác GHE, ta có: $\widehat{HEG}$ = 180° – ($\widehat{EGH}$ + $\widehat{H}$ ) = 180° - (25° + 115°) = 40°.

Vậy $\widehat{GEI}$ = 180° - $\widehat{HEG}$ = 180° - 40° = 140°.

c) Trong tứ giác MNPQ, ta có: $\widehat{NPQ}$ = 360° – ($\widehat{QMN}$ + $\widehat{N}$ + $\widehat{Q}$ = 360° - (110° + 120° + 60°) = 70°.

Do PM là tia phân giác của góc NPQ nên $\widehat{NPM}$ = $\widehat{MPQ}$ = $\frac{\widehat{NPQ}}{2}$ = 35°.

Trong tam giác MPQ, ta có: $\widehat{QMP}$ = 180° – ($\widehat{MPQ}$ + $\widehat{Q}$) = 180° - (35° + 60°) = 85°.

Bài tập 9: Chứng minh rằng: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong tứ giác ABCD (Hình vẽ).

Xét tam giác OAB, ta có: OA + OB > AB.

Xét tam giác OCD, ta có: OC + OD > CD.

=> OA + OB + OC + OD > AB + CD hay AC + BD > AB + CD.

Tương tự:

Xét tam giác OAD, ta có: OA + OD > AD.

Xét tam giác OBC, ta có: OB + OC > BC.

=> OA + OB + OC + OD > AD + BC hay AC + BD > AD + BC.

Vậy: Trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn tổng độ dài hai cạnh đối.

Bài tập 10: Thả diều là một trò chơi dân gian của nhiều trẻ em ở Việt Nam cũng như nhiều nước trên thế giới. Một tứ giác ABCD với AB = AD, BC = CD gọi là hình “chiếc diều” (Hình 9).

a) So sánh $\widehat{B}$ và $\widehat{D}$.

b) Tìm mối liên hệ giữa hai đường chéo AC và BD.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD (Hình vẽ).

a) ∆ABC = ∆ADC (c.c.c) => $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$.

b) ∆ABC = ∆ADC nên $\widehat{BAO}=\widehat{DAO}$.

∆ABO = ∆ADO (c.g.c). Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{AOD}$.

Mà $\widehat{AOB}=\widehat{AOD}$= 180° nên $\widehat{AOB}=\widehat{AOD}$ = 90°.

Vậy AC ⊥ BD.