Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 4: Hình bình hành

Bài tập 16: Cho tam giác ABC có AB = AC = 3 cm. Từ điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD song song với AC và ME song song với AB (điểm D, E lần lượt thuộc cạnh AB, AC). Tính chu vi của tứ giác ADME.

Hướng dẫn trả lời:

Do AB = AC nên tam giác ABC cân tại A => $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{EMC}$ (hai góc đồng vị)

=> $\widehat{ACB}=\widehat{EMC}$.

Do đó, tam giác ECM cân tại E => ME = CE.

Tứ giác ADME có MD // AE, ME // AD nên ADME là hình bình hành.

Vậy chu vi của hình bình hành ADME là:

2(AE + ME) = 2(AE + CE) = 2AC = 6 cm.

Bài tập 17: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE. Lấy các điểm H, K sao cho E là trung điểm của CH, D là trung điểm của BK. Chứng minh:

a) Các tứ giác AHBC, AKCB là hình bình hành;

b) A là trung điểm của HK.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác AHBC có E là trung điểm của hai đường chéo AB và CH nên AHBC là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AKCB có D là trung điểm của hai đường chéo AC và BK nên AKCB là hình bình hành.

b) Do AHBC là hình bình hành nên AH // BC, AH = BC.

Tương tự, AKCB là hình bình hành nên AK // BC, AK = BC

=> ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK.

Vậy A là trung điểm của HK.

Bài tập 18: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy điểm E, F sao cho AE = CF. Trên cạnh AB, CD lần lượt lấy điểm M, N sao cho BM = DN. Chứng minh:

a) Tứ giác EMFN là hình bình hành;

b) Bốn đường thẳng AC, BD, EF, MN cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AB = CD; $\widehat{A}=\widehat{C}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}$.

Mà AE = CF và BM = DN => DE = BF và AM = CN.

∆AEM= ∆CFN (c.g.c) => EM = FN.

∆BFM = ∆DEN (c.g.c) => FM = EN.

Tứ giác EMFN có EM = FN và FM = FN và FM = EN nên EMFN là hình bình hành.

b) Tứ giác BMDN có BM = DN và BM // DN nên BMDN là hình bình hành.

Do ABCD, EMFN, BMDN đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy AC, BD, EF, MN cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Bài tập 19: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Qua B kẻ tia Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ tia Cy vuông góc với AC. Gọi D là giao điểm của Bx và Cy (Hình 15).

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b*) Tam giác ABC có điều kiện gì thì ba điểm A, D, H thẳng hàng?

c) Tìm mối liên hệ giữa góc A và góc D của tứ giác ABDC.

d) Giả sử H là trung điểm của AM. Chứng minh diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $\widehat{APC}=\widehat{ABD}$ = 90° và $\widehat{APC},\widehat{ABD}$ nằm ở vị trí đồng vị nên CP // BD.

Tương tự, ta chứng minh được BN // CD.

Tứ giác BDCH có BD // CH, BH // CD nên BDCH là hình bình hành.

b*) Để ba điểm A, D, H thẳng hàng thì M phải thuộc DH. Mà M thuộc BC.

=> M là giao điểm của BC và DH.

Do BDCH là hình bình hành nên hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> M là trung điểm BC.

Khi đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c). => AB = AC.

Dễ thấy, nếu tam giác ABC có AB=  AC thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

Vậy tam giác ABC cân tại A thì ba điểm A, D, H thẳng hàng.

c) Xét tứ giác ABDC, ta có:

$\widehat{BAC}+\widehat{DBA}+\widehat{ACD}+\widehat{CDB}$ = 360°.

Mà $\widehat{DBA}=\widehat{ACD}$ = 90° => $\widehat{BAC}+\widehat{CDB}$ = 180°.

Vậy góc A và góc D của tứ giác ABDC là hai góc bù nhau.

d) Do H là trung điểm của AM nên HM = $\frac{1}{2}$AM.

Ta có diện tích tam giác ABC bằng: $\frac{1}{2}$.AM.BC = HM.BC.

Ta chứng minh được ∆BCH = ∆CBD (c.c.c).

=> diện tích tứ giác BHCD bằng 2 lần diện tích tam giác BCH.

Do đó, diện tích tứ giác BHCD bằng: 2 ($\frac{1}{2}$.HM.BC) = HM.BC.

Vậy diện tích của tam giác ABC bằng diện tích của tứ giác BHCD.

Bài tập 20: Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}$ > 90°, AB > BC. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại C lấy hai điểm E, F sao cho CE = CF = BC. Trên đường thẳng vuông góc với CD tại C lấy hai điểm P, Q sao cho CP = CQ = CD (Hình 16). Chứng minh

a) Tứ giác EPFQ là hình bình hành;

b*) AC ⊥ EP.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác EPFQ có hai đường chéo EF và PQ cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên EPFQ là hình bình hành.

b*) Gọi H là giao điểm của AC và EP, K là giao điểm của AB và PQ (Hình vẽ).

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD = BC, $\widehat{B}=\widehat{D}$.

Vì AB // CD nên $\widehat{BKC}=\widehat{DCK}$ = 90° (hai góc so le trong).

=> tam giác BCK vuông tại K.

Do đó $\widehat{B}+\widehat{BCK}$ = 90°.

Mà $\widehat{B}=\widehat{D}$ => $\widehat{D}+\widehat{BCK}$ = 90°.

Mặt khác, ta có $\widehat{ECP}+\widehat{BCK}$ = $\widehat{BCE}$ = 90° nên $\widehat{D}=\widehat{ECP}$.

Xét hai tam giác ACD và EPC, ta có:

AD = EC (vì cùng bằng BC); $\widehat{D}=\widehat{ECP}$; CD = PC.

=> ∆ACD = ∆EPC (c.g.c). Do đó $\widehat{ACD}=\widehat{EPC}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{ACD}=\widehat{HPC}$.

Mà $\widehat{ACD}+\widehat{PCH}$ = $\widehat{DCP}$ = 90°

=> $\widehat{HPC}+\widehat{PCH}$ =90°.

Xét tam giác CPH, ta có: $\widehat{CHP}+\widehat{HPC}+\widehat{PCH}$ =180°.

Suy ra $\widehat{CHP}$ + 90° = 180° hay $\widehat{CHP}$ = 90°.

Vậy AC ⊥ EP.