Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 4: Hình bình hành

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1 trang 105 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biết các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau hay không.

Các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC của tứ giác ABCD ở Hình 35 có song song với nhau.

II. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình bình hành ABCD (Hình 37).

a) Hai tam giác ABD và CDB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thắng: AB và CD; DA và BC.

b) So sánh các cặp góc: DABˆ và BCDˆ; ABCˆ và CDAˆ.

c) Hai tam giác OAB và OCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp đoạn thẳng: OA và OC; OB và OD.

a. Xét 2 tam giác ABD và CDB có: 

• DBAˆ = BDCˆ (2 góc so le trong)
• BD chung
• ADBˆ = CBDˆ (2 góc so le trong)

=> 2 tam giác ABD và CDB bằng nhau theo trường hợp g-c-g

=> AB = CD (2 cạnh tương ứng); AD = BC (2 cạnh tương ứng)

b. Từ câu a, 2 tam giác ABD và CDB bằng nhau nên:

DABˆ = BCDˆ 

ABDˆ = CDBˆ

Mặt khác AD//BC=> DBCˆ = ADBˆ

=> ABDˆ + DBCˆ = CDBˆ + ADBˆ

=> ABCˆ và CDAˆ

c. Từ câu a, 2 tam giác ABD và CDB bằng nhau nên AB = DC

ABDˆ = CDBˆ

ACDˆ = CABˆ (AB//DC)

=> 2 tam giác OAB và OCD bằng nhau theo trường hợp g-c-g 

=> OA = OC; OB = OD

Luyện tập 1 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình bình hành ABCD có Aˆ=80∘, AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD. 

Trong hình bình hành ABCD có: 

CD là cạnh đối của AB=> DC = AB =4cm

AD là cạnh đối của BC => AD = BC = 5cm

Cˆ là góc đối của Aˆ => Cˆ = Aˆ = 80∘

Dˆ=180∘−Aˆ=180∘−80∘=100∘

Bˆ là góc đối của Dˆ => Bˆ = Dˆ = 100∘

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Hoạt động 3 trang 106 sgk Toán 8 tập 1 CD:

a) Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC = DA (Hình 39).

• Hai tam giác ABC và CDA có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: BACˆ và DCAˆ ; ACBˆ và CADˆ

• ABCD có phải là hình bình hành hay không?

b) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (Hình 40).

• Hai tam giác ABO và CDO có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh các cặp góc: BACˆ và DCAˆ; ACBˆ và CADˆ.
• ABCD có phải là hình bình hành hay không?

a. Xét 2 tam giác ABC và CDA có:

• AB = CD
• BC = DA
• AC chung

=> 2 tam giác ABC và CDA bằng nhau theo trường hợp c-c-c.

=> Các góc tương ứng: 

BACˆ = DCAˆ => AB//DC

ACBˆ = CADˆ => AD//BC

=> Tứ giác ABCD có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b. Xét 2 tam giác ABO và CDO có: 

• AO = CO (O là trung điểm của AC)
• BO = DO (O là trung điểm của BD)
• AOBˆ= CODˆ (2 góc đối nhau)

=> 2 tam giác ABO và CDO bằng nhau theo trường hợp c-g-c

=> Các cặp góc tương ứng:

BAOˆ = DCOˆ hay BACˆ = DCAˆ => AB//DC

OCBˆ = OADˆ hay ACBˆ = CADˆ => AD//BC

Vậy tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành.

Luyện tập 2 trang 107 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OA = OC và OADˆ = OCBˆ. Chứng minh tứ giác ABCD là hinh binh hành.

Xét 2 tam giác OAD và OCB có: 

• OADˆ = OCBˆ (gt)
• OA = OC(gt)
• AODˆ = COBˆ (2 góc đối đỉnh)

=> 2 tam giác OAD và OCB bằng nhau (g-c-g)

=> OD = OD. 

Vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên sẽ là hình bình hành.

IV. BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 107 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tứ giác ABCD có DABˆ = BCDˆ, ABCˆ = CDAˆ. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh:

a. ABCˆ + DABˆ = 180∘

b. xADˆ = ABCˆ; AD//BC

c. Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Như ta đã biết tổng các góc của một tứ giác là 360∘. Xét tứ giác ABCD có:

DABˆ + BCDˆ + ABCˆ + CDAˆ = 360∘

Mà DABˆ = BCDˆ, ABCˆ = CDAˆ

Nên 2(DABˆ + ABCˆ) =  360∘ => DABˆ + ABCˆ = 180∘.

b. Dựa vào tính chất 2 góc kề bù, ta có: 

xADˆ+  DABˆ = 180∘

=> xADˆ = ABCˆ 

Mặt khác 2 góc này ở vị trí đồng vị => AD//BC

c. xADˆ = CDAˆ (cùng bằng ABCˆ). Mà 2 góc này ở vị trí só le trong nên AB//DC

Tứ giác ABCD có 2 cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Bài tập 2 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Theo tính chất đường trung tuyến ta có: 

- GN = 13 CN, mặt khác Q là trung điểm của GC nên GN = GQ

- GM = 13 BM, mặt khác P là trung điểm của GB nên GM = MP.

Hơn nữa, 2 góc đối đỉnh NGP và QGM bằng nhau nên khi đó 2 tam giác NGP và QGM bằng nhau (c-g-c)

=> GNPˆ=GQMˆ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NP//MQ

Tương tự 2 tam giác NGM và QGP cũng bàng nhau (c-g-c)

=> GNMˆ=GQPˆ mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NM//PQ

Vậy tứ giác MNPQ có 2 cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành (đpcm)

Bài tập 3 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42).

Chứng minh:

a) CD=MN

b) BCDˆ+BMNˆ=DANˆ

a. Vì ABCD là hình bình hành nên cặp cạnh đối CD = AB.

Vì ABMN là hình bình hành nên cặp cạnh đối MN = AB.

=> CD = MN

b. Trong hình bình hành ABCD có 2 góc đối nhau BCD = DAB

Trong hình bình hành ABMN có 2 góc đối nhau BMN = BAN

=> BCDˆ+BMNˆ=DABˆ+BANˆ =DANˆ (đpcm)

Bài tập 4 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được: O là trung điểm của cả AC và BD (Hình 43). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.

Tứ giác DABC có 2 đường chéo DB và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

=> Cặp cạnh đối AB = DC = 100m

Bài tập 5 trang 108 sgk Toán 8 tập 1 CD:Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau dó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?

Bạn Hùng đã làm như sau:

- Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC, qua điểm B kẻ đường thẳng d' song song với AC;

- Gọi E là giao điểm của d và d';

- Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (Hình 45).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.

Giải thích: Hùng làm như vậy thì tứ giác ACBE sẽ là hình bình hành (có các cặp cạnh đối song song).

Khi đó đoạn thẳng AC = BE, AE = BC.

Góc ACB = góc AEB (cặp góc đối nhau trong hình bình hành ACBE)

(Các đoạn thẳng BE và AE, góc AEB có thể đo được)