Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 1: Phân thức đại số

KHỞI ĐỘNG

Khởi động trang 2 sgk Toán 8 tập 1 CD: Ở lớp 6, ta đã biết kết quả của phép chia số nguyên a cho số nguyên b khác 0 có thể viết dưới dạng $\frac{a}{b}$, ta gọi $\frac{a}{b}$ là phân số. Tương tự, kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng $\frac{P}{Q}$ . Khi đó, biểu thức $\frac{P}{Q}$ được gọi là gì?
Hướng dẫn trả lời:Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng $\frac{P}{Q}$ . Khi đó, biểu thức $\frac{P}{Q}$ được gọi là phân thức.

I. KHÁI NIỆM VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Định nghĩa
Hoạt động 1 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biểu thức $\frac{2x+1}{x-2}$
a) Biểu thức 2x+1 có phải là đa thức hay không?
b) Biểu thức x-2 có phải là đa thức khác đa thức 0 hay không?
Hướng dẫn trả lời:
a) Biểu thức 2x+1 là đa thức. 
b) Biểu thức x-2 là đa thức khác đa thức 0.
Luyện tập 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CD: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức? 
a) $\frac{x^{2}y+xy^{2}}{x-y}$
b) $\frac{x^{2}-2}{\frac{1}{x}}$
Hướng dẫn trả lời:
Vì $x^{2}y+xy^{2}$ và $x-y$ là những đa thức và đa thức x−y  khác đa thức 0 nên biểu thức là $\frac{x^{2}y+xy^{2}}{x-y}$ phân thức. 
Vì $\frac{1}{x}$ không phải là đa thức nên biểu thức $\frac{x^{2}-2}{\frac{1}{x}}$ không phải là phân thức.
2. Hai phân thức bằng nhau
Hoạt động 2 trang 29 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$. Nêu quy tắc để hai phân số đó bằng nhau.
Hướng dẫn trả lời:
Hai phân số đó bằng nhau nếu a.d=c.b.

Luyện tập 2 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 CD: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau hay không? Vì sao?
a) $\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}$ và $\frac{1}{x-y}$
b) $\frac{x}{x^{2}-1}$ và $\frac{1}{x-1}$
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: (x+y).(x-y)=x²-y² và (x²-y²).1=x²-y²

nên (x+y)(x-y)=1.(x²-y²)

Vậy $\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}=\frac{1}{x-y}$

b) Ta có: x.(x-1) ≠ (x²-1).1

Vậy $\frac{x}{x^{2}-1}$ không bằng $\frac{1}{x-1}$

II. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

1. Tính chất cơ bản. 
Hoạt động 3 trang 31 sgk Toán 8 tập 1 CD: 
a) Tìm số thích hợp cho ?: $\frac{2}{-7}=\frac{4}{?};\frac{-3}{-9}=\frac{?}{3}$
b) Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số 
Hướng dẫn trả lời:
a) Áp dụng quy tắc hai phân thức hai phân số bằng nhau thì:
+$\frac{2}{-7}=\frac{4}{?}$ nếu: 2.(?)=-7.4 =>?=-28:2=-14
+$\frac{-3}{-9}=\frac{?}{3}$ nếu: -3.3=-9.(?) =>?=(-9):(-9)=1
b. Nhắc lại tính chất cơ bản của phân số: 
- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
- Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Luyện tập 3 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CD: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết: $\frac{3x+y}{y}=\frac{3xy+y^{2}}{y^{2}}$
Hướng dẫn trả lời:
Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với đa thức y (khác đa thức 0), ta được:
 $\frac{3x+y}{y}=\frac{(3x+y).y}{y.y}=\frac{3xy+y^{2}}{y^{2}}$
2. Ứng dụng
a) Rút gọn phân thức.
Hoạt động 4 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho phân thức: $\frac{4x^{2}y}{6xy^{2}}$
a) Tìm nhân tử chung của cả tử và mẫu.
b) Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. 
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $\frac{4x^{2}y}{6xy^{2}}=\frac{xy.4x}{xy.6y}$. Vậy nhân tử chung của cả tử và mẫu là xy.
b) Sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó, phân thức nhân được sẽ là: 4x6y

Luyện tập 4 trang 32 sgk Toán 8 tập 1 CD: Rút gọn mỗi phân thức sau:

a) $\frac{8x^{2}+4x}{1-4x^{2}}$

b) $\frac{x^{3}-xy^{2}}{2x^{2}+2xy}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{8x^{2}+4x}{1-4x^{2}}=\frac{4x(2x+1)}{(1-2x)(1+2x)}=\frac{4x}{1-2x}$

b) $\frac{x^{3}-xy^{2}}{2x^{2}+2xy}=\frac{x(x-y)(x+y)}{2x(x+y)}=\frac{x-y}{2}$

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.

Hoạt động 5 trang 33 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hai phân thức 
a) Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y và nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x. 
b) Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được?
Hướng dẫn trả lời:
a) 
+ Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:$\frac{1}{x^{2}y}=\frac{y}{x^{2}y^{2}}$

+ Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được: $\frac{1}{xy^{2}}=\frac{x}{x^{2}y^{2}}$

b. Mẫu của hai phân thức thu được là như nhau.
Hoạt động 6 trang 33 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tìm MTC của hai phân thức $\frac{5}{2x+6}$ và $\frac{3}{x^{2}-9}$
Hướng dẫn trả lời:
Ta có: 2x+6=2(x+3); x²−9 =(x−3)(x+3). 
Vậy MTC của cả 2 phân số là: 2(x+3)(x−3)
Hoạt động 7 trang 33 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{1}{x^{2}+x}$ và $\frac{1}{x^{2}-x}$
Hướng dẫn trả lời:
Ta có: x²+x=x(x+1) ; x²−x=x(x−1). 
Vậy MTC của hai phân số là: x(x−1)(x+1). 
Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với (x-1); nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với (x+1), ta được: 
$\frac{1}{x^{2}+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)};\frac{1}{x^{2}-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$
Luyện tập 5 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) $\frac{5}{2x^{2}y^{2}}$ và $\frac{3}{xy^{4}}$
b) $\frac{3}{2x^{2}-10x}$ và $\frac{2}{x^{2}-25}$
Hướng dẫn trả lời:

a. Ta có: 2x²y³ = xy³.2x; xy⁴=xy³.y => MTC là xy³.2x.y = 2x²y⁴

Để quy đồng phân thức thứ nhất, ta nhân cả tử và mẫu với y; quy đồng phân thức thứ hai, ta nhân cả tử và mẫu với 2x. 

Ta được: 

$\frac{5}{2x^{2}y^{2}}=\frac{5y}{2x^{2}y^{4}}$

$\frac{3}{xy^{4}}=\frac{3.2x}{2x^{2}y^{4}}=\frac{6x}{2x^{2}y^{4}}$

b. Ta có: 2x²−10x = 2x(x−5); x²−25=x²−52=(x−5)(x+5) => MTC là 2x(x-5)(x+5). 

Để quy đồng phân thức thứ nhất, ta nhân cả tử và mẫu với (x+5); quy đồng phân thức thứ hai, ta nhân cả tử và mẫu với 2x. 

Ta được:

$\frac{3}{2x^{2}-10x}=\frac{3.(x+5)}{2x(x-5)(x+5)}=\frac{3x+15}{2x(x-5)(x+5)}$

$\frac{2}{x^{2}-25}=\frac{2.2x}{2x(x-5)(x+5)}=\frac{4x}{2x(x-5)(x+5)}$

III. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

Hoạt động 8 trang 34 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho phân thức $\frac{2x^{2}-x+1}{x-2}$. Tìm giá trị của x sao cho mẫu x-2 ≠0. 
Hướng dẫn trả lời:
Để mẫu x-2 ≠0 thì x≠2
Hoạt động 9 trang 35 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{x-1}$ tại x=2
Hướng dẫn trả lời:
Tại x=2 thì x-1≠ 0 nên giá trị của biểu thức $\frac{x+2}{x-1}$
Luyện tập 6 trang 36 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho phân thức $\frac{x+1}{x^{2}+x}$
a. Viết điều kiện xác định của phân thức.
b. Tính giá trị của phân thức tại x=10 và x=-1
Hướng dẫn trả lời:
a. Điều kiện xác định của phân thức: x²+x ≠0 ⇔x(x+1)≠0
⇔ x ≠ 0  và x ≠ -1
b. Khi x=10 thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức nên giá trị của phân thức tại x=10 là $\frac{10+1}{10^{2}+10}=\frac{1}{10}$
x=-1  không thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức nên tại x=-1, giá trị của phân thức không xác định.

IV. BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
a) $\frac{x}{3x+3}$                             b) $\frac{4y}{y^{2}+16}$                                 c) $\frac{x+y}{x-y}$
Hướng dẫn trả lời:
a) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x}{3x+3}$ là 3x+3 ≠ 0 => x ≠ -1                        
b) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{4y}{y^{2}+16}$ là x2+16 ≠ 0 (luôn đúng với mọi x) 
=> Phân thức xác định với mọi x
c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ là x-y ≠ 0 
Bài tập 2 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a) $\frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y}$
b) $\frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-3}{2}$
c) $\frac{x^{2}-x+1}{x}=\frac{x^{3}+1}{x(x+1)}$
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: 3x.10y = 2.15xy = 30xy nên $\frac{3x}{2}=\frac{15xy}{10y}$ (đpcm)
b) Ta có: (3x-3y).2=6x-6y; -3(2y-2x)=-6y+6x =>(3x-3y).2=-3(2y-2x)
nên $\frac{3x-3y}{2y-2x}=\frac{-3}{2}$(đpcm)
c) Ta có: $\frac{x^{3}+1}{x(x+1)}=\frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{x(x+1)}=\frac{x^{2}-x+1}{x}$ (đpcm)
Bài tập 3 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Rút gọn mỗi phân thức sau: 
a) $\frac{24x^{2}y^{2}}{16xy^{3}}$
b) $\frac{6x-2y}{9x^{2}-y^{2}}$
Hướng dẫn trả lời:
a) $\frac{24x^{2}y^{2}}{16xy^{3}}=\frac{3x.8xy^{2}}{2y.8xy^{2}}=\frac{3x}{2y}$
b) $\frac{6x-2y}{9x^{2}-y^{2}}=\frac{2(3x-y)}{(3x-y)(3x+y)}\frac{2}{3x+y}$
Bài tập 4 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) $\frac{2}{x-3y}$ và $\frac{3}{x+3y}$
b) $\frac{7}{4x+24}$ và $\frac{13}{x^{2}-36}$
Hướng dẫn trả lời:
a) $\frac{2}{x-3y}=\frac{2(x+3y)}{(x+3y)(x-3y)}=\frac{2x+6y}{(x+3y)(x-3y)}$
$\frac{3}{x+3y}=\frac{3(x-3y)}{(x+3y)(x-3y)}=\frac{3x-9y}{(x+3y)(x-3y)}$
b) Ta có: 4x+24 = 4(x+6); x²−36 = x²−6² = (x-6)(x+6) => MTC là 4(x+6)(x-6)
$\frac{7}{4x+24}=\frac{7(x-6)}{(4x+24)(x-6)}=\frac{7x-42}{4(x+6)(x-6)}$
$\frac{13}{x^{2}-36}=\frac{13.4}{(x^{2}-36).4}=\frac{52}{4(x+6)(x-6)}$
Bài tập 5 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như Hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x=5.

Hướng dẫn trả lời:
a. Diện tích của hình chữ nhật MNPQ là: x(x+1)
Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x+1)(x+3)
=> Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là: 
$\frac{(x+1)(x+3)}{x(x+1)}=\frac{x+3}{x}$
b) Tại x=2 thì x khác 0 nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Lúc đó giá trị của phân thức là: 
$\frac{x+3}{x}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$
Tại x=5 thì x khác 0 nên thỏa mãn điều kiện xác định của phân thức. Lúc đó giá trị của phân thức là: 
$\frac{x+3}{x}=\frac{5+3}{5}=\frac{8}{5}$
Bài tập 6 trang 37 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc, ...) là 80 triệu. Biết chi phí đề sản xuất (tiền mua vật liệu, lương nhân công) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.
a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.
b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.
c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.
Hướng dẫn trả lời:
Đổi: 80 triệu =80 000 (nghìn đồng)
a) Phân thức biểu thị Số tiền thực (đơn vị là nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là: 15x+80 000 (nghìn đồng)
b) Phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị là nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: $\frac{15x+80 000}{x}$ (nghìn đồng)
c) Nếu x=100 thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm là: $\frac{15x+80 000}{x}=\frac{15.100+80 000}{100}=815$ (nghìn đồng)
Nếu x=1000 thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm là: $\frac{15x+80 000}{x}=\frac{15.1000+80 000}{1000}=95$ (nghìn đồng)
Chi phí thực để tạo ra 1sản phẩm nếu càng tăng thì chi phía tạo ra một sản phẩm càng