Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

KHỞI ĐỘNG

Luyện tập 1 trang 38 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính: $\frac{x-2y}{x^{2}+xy}+\frac{x+2y}{x^{2}+xy}$

$\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}$

=$\frac{x^{2}+y^{2}-1+1-2y^{2}}{(x+y)^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

=$\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

=$\frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}$

=$\frac{x-y+2y}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}=1$

Bài tập 2 trang 42 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) $\frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6}$

b) $\frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}$

c) $\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}+\frac{2y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

d) $\frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{4x+2}{4x-4}+\frac{3-6x}{6x-6}$

=$\frac{3(4x+2)+2(3-6x)}{12(x-1)}$

=$\frac{12x+6+6-12}{12(x-1)}=\frac{1}{x-1}$

b) $\frac{y}{2x^{2}-xy}+\frac{4x}{y^{2}-2xy}$

=$\frac{y}{x(2x-y)}-\frac{4x}{y(2x-y)}$

=$\frac{y^{2}-4x^{2}}{xy(2x-y)}=-\frac{2x+y}{xy}$

c) $\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}+\frac{2y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$

=$\frac{x(x+y)+y(x-y)+2y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

=$\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{(x-y)(x+y)}$

=$\frac{(x+y)^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}$

d) $\frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{x}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}$

=$\frac{x^{2}+2+x(x-1)-x^{2}-x-1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

=$\frac{x^{2}+2+x^{2}-x-x^{2}-x-1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

=$\frac{x^{2}-2x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

=$\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

=$\frac{x-1}{x^{2}+x+1}$

Bài tập 3 trang 42 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$

b) $\frac{12}{x^{2}-9}-\frac{2}{x-3}$

c) $\frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy}$

d) $\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{3}{2+2x}+\frac{1}{2-2x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$

=$\frac{x+1-x+2}{(x-2)(x+1)}$

=$\frac{3}{(x-2)(x+1)}$

b) $\frac{12}{x^{2}-9}-\frac{2}{x-3}$

=$\frac{12-2(x+3)}{(x-3)(x+3)}$

=$\frac{6-2x}{(x-3)(x+3)}$

=$-\frac{2}{x+3}$

c) $\frac{1}{xy-x^{2}}-\frac{1}{y^{2}-xy}$

=$\frac{y-x}{xy(y-x)}=\frac{1}{xy}$

d) $\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{3}{2+2x}+\frac{1}{2-2x}$

=$\frac{4x-3(x-1)-(x+1)}{2(x-1)(x+1)}$

=$\frac{1}{x^{2}-1}$

Bài tập 4 trang 43 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) Rút gọn biểu thức: A =$\frac{2x^{2}+1}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x+1}$

b. Tính giá trị của biểu thức A tại x=-3 

Hướng dẫn trả lời:

a) A =$\frac{2x^{2}+1}{x^{3}+1}+\frac{1-x}{x^{2}-x+1}-\frac{1}{x+1}$

A=$\frac{2x^{2}+1+(1-x)(x+1)-x^{2}+x-1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

A=$\frac{2x^{2}+1+1-x^{2}-x^{2}+x-1}{(x+1)(x^{2}-x+1)}$

A=$\frac{1}{x^{2}-x+1}$

b) Điều kiện của biểu thức A là: $x^{2}-x+1\neq 0 $

Với x=-3 thì $3^{2}-3+1\neq 0 \Rightarrow $ x=-3 thoả mãn điều kiện biểu thức A.

Thay x=-3 vào biểu thức A ta có:

$A=\frac{1}{3^{2}-3+1}=\frac{1}{13}$

Bài tập 5 trang 43 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một xí nghiệp dự định sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện, xí nghiệp đã làm xong sớm hơn 1 ngày so với dự định và còn làm thêm được 80 sản phẩm. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Hướng dẫn trả lời:

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: $\frac{10000}{x}$

b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế: $\frac{10000+80}{x-1}$

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là:

$\frac{10000+80}{x-1}-\frac{10000}{x}=\frac{10080x-10000x+10000}{x(x-1)}=\frac{80x+10000}{x(x-1)}$