Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số
Hướng dẫn giải bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số SBT toán 8 cánh diều. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "Cánh diều" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
Bài tập 9: Thực hiện phép tính:
a) $\frac{x+2y}{a}+\frac{x-2y}{a}$ với a là một số khác 0;
b) $\frac{x}{x-1}+\frac{1}{1-x}$;
c) $\frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{2}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}$;
d) $x+\frac{1}{x+1}-1$
Hướng dẫn trả lời:
a) $\frac{x+2y}{a}+\frac{x-2y}{a}=\frac{x+2y+x-2y}{a}=\frac{2x}{a}$.
b) $\frac{x}{x-1}+\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}+\frac{-1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1$.
c) $ \frac{x^{2}+2}{x^{3}-1}+\frac{2}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{1-x}$
= $\frac{x^{2}+2}{(x-1)(x^{2}+x+1)}+\frac{2(x-1)}{(x^{2}+x+1)(x-1)}+\frac{-1(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$
= $\frac{x^{2}+2+2(x-1)-(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$
= $\frac{x-1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$
= $\frac{1}{x^{2}+x+1}$
d) $x+\frac{1}{x+1}-1=\frac{x(x+1)}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}$
= $\frac{x(x+1)+1-(x+1)}{x+1}$
= $\frac{x^{2}+x+1-x-1}{x+1}$
= $\frac{x^{2}}{x+1}$
Bài tập 10: Rút gọn xong rồi tính giá trị biểu thức:
a) $A=x+1-\frac{x^{2}-4}{x-1}$ tại x = -4;
b) $B=\frac{1}{5-x}-\frac{x^{2}+5x}{x^{2}-25}$ tại x = 99;
c) $ C=\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^{3}-x^{2}+x-1}$ tại x = 0,7;
d) $ D=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}$ tại x = $ \frac{1{23}$.
Hướng dẫn trả lời:
a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x ≠ 1.
Ta có: $A=x+1-\frac{x^{2}-4}{x-1}$
= $\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{x^{2}-4}{x-1}$
= $\frac{x^{2}-1-(x^{2}-4)}{x-1}$
= $\frac{x^{2}-1-x^{2}+4}{x-1}$
= $\frac{3}{x-1}$
Vậy giá trị của biểu thức A tại x = -4 là: $\frac{3}{-4-1}=\frac{3}{-5}=\frac{-3}{5}$
b) Điều kiện xác định của biểu thức B là x ≠ 5, x ≠ -5.
$B=\frac{1}{5-x}-\frac{x^{2}+5x}{x^{2}-25}$
= $\frac{(5+x)}{(5-x)(5+x)}+\frac{x(x+5)}{(5-x)(5+x)}$
= $\frac{5+x+x^{2}+5x}{(5-x)(5+x)}$
= $\frac{(x+5)(x+1)}{(5-x)(5+x)}$
= $\frac{x+1}{5-x}$
Vậy giá trị của biểu thức B tại x = 99 là: $ \frac{99+1}{5-99}=\frac{-50}{47}$.
c) Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 1.
Ta có: $ C=\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{x^{3}-x^{2}+x-1}$
= $\frac{1}{x-1}-\frac{2x}{(x-1)(x^{2}+1)}$
= $\frac{x^{2}+1}{(x-1)(x^{2}+1)}-\frac{2x}{(x-1)(x^{2}+1)}$
= $\frac{x^{2}+1-2x}{(x-1)(x^{2}+1)}$
= $\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)(x^{2}+1)}$
= $\frac{x-1}{x^{2}+1}$
Vậy giá trị của biểu thức C tại x = 0,7 là:
$\frac{0,7-1}{0,7^{2}+1}=\frac{-0,3}{1,49}=\frac{-30}{149}$.
d) Điều kiện xác định của biểu thức D là x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠ -2.
Ta có:$ D=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}$
= $(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+\frac{1}{x+2}$
= $\frac{1}{x}$
Vậy giá trị của biểu thức D tại x = $ \frac{1}{23}$ là: $\frac{1}{\frac{1}{23}}=23$.
Bài tập 11: Cho biểu thức:
$T=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}$
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức T.
b) Tìm giá trị của x để T = 0.
c) Tìm giá trị nguyên của x để T nhận giá trị dương.
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) nên điều kiện xác định của biểu thức T là x – 2 ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 2; x ≠ -2.
b) Ta có: $T=\frac{x^{3}}{x^{2}-4}-\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}$
= $\frac{x^{3}}{(x-2)(x+2)}-\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
= $\frac{x^{3}-x^{2}-2x-2x+4}{(x-2)(x+2)}$
= $\frac{x^{3}-x^{2}-4x+4}{(x-2)(x+2)}$
= $\frac{(x^{3}-4x)-(x^{2}-4)}{x^{2}-4}$
= $\frac{x(x^{2}-4)-(x^{2}-4)}{x^{2}-4}$
= $\frac{(x-1)(x^{2}-4)}{x^{2}-4}$
= $x-1$
=> T = 0 khi x – 1 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy x = 1 thì T = 0.
c) Để T > 0 thì x – 1 > 0 hay x > 1.
Kết hợp với x là số nguyên và điều kiện xác định x ≠ 2; x ≠ -2 => x ∈ {3; 4; 5; …}.
Bài tập 12: Một tàu tuần tra đi ngược dòng 60 km, sau đó tàu đi xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông. Biết tốc độ của dòng nước là 2 km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của tàu tuần tra (x > 2). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng,
b) Thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng;
c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng.
Hướng dẫn trả lời:
a) Do tốc độ tàu tuần tra đi ngược dòng là x − 2 (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là:$ \frac{60}{x-2}$ (giờ).
b) Do tốc độ tàu tuần tra đi xuôi dòng là x + 2 (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: $\frac{48}{x+2}$ (giờ).
c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là:
$\frac{60}{x-2}-\frac{48}{x+2}=\frac{60(x+2)-48(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{12x+216}{x^{2}-4}$ (giờ).
Vậy phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng nhiều hơn thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: $\frac{12x+216}{x^{2}-4}$.
Bài tập 13: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tặng đồng bào gặp thiên tai. Lúc sắp khởi hành, đội được bổ sung 5 xe cùng loại nữa. Biết khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở là như nhau. Gọi x là số xe mà đội xe dự định dùng (x ∈ N*). Viết phân thức biểu thị theo x:
a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định;
b) Khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế;
c) Hiệu giữa khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo thực tế.
Hướng dẫn trả lời:
a) Vì số xe mà đội xe dự định dùng là x nên phân thức biểu thị khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là: $\frac{120}{x}$ (tấn).
b) Vì số xe theo thực tế là x + 5 nên phân thức biểu thị khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế là: $\frac{120}{x+5}$ (tấn).
c) Hiệu giữa khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo thực tế là:
$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5}=\frac{120(x+5)}{x(x+5)}-\frac{120x}{x(x+5)}=\frac{120x+600-120x}{x^{2}+5x}=\frac{600}{x^{2}+5x}$ (tấn).
Vậy phân thức biểu thị hiệu giữa khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo thực tế là: $\frac{600}{x^{2}+5x}$ (tấn).