Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài: Bài tập cuối chương V

Bài tập 37: Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}=3\widehat{B}$. Số đo các góc của hình bình hành ABCD là:

A. $\widehat{A}=\widehat{C}$= 120°, $\widehat{B}=\widehat{D}$ = 60°.

B. $\widehat{A}=\widehat{D}$ = 45°, $\widehat{B}=\widehat{C}$ = 135°.

C. $\widehat{A}=\widehat{C}$ = 135°, $\widehat{B}=\widehat{D}$ = 45°.

D. $\widehat{A}=\widehat{D}$ = 135°, $\widehat{B}=\widehat{C}$ = 45°.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án C.

ABCD là hình bình hành, nên:

$\widehat{A}=\widehat{C}$; $\widehat{B}=\widehat{D}$

và $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}$ = 360° hay $2\widehat{A}+2\widehat{B}$ = 360°

Mà $\widehat{A}=3\widehat{B}$

=> $6\widehat{B}+2\widehat{B}$ = 360° => 8$\widehat{B}$ = 360° => $\widehat{B}$ = 45°.

=> $\widehat{A}$ = 3$\widehat{B}$ = 3.45° = 135°.

Vậy $\widehat{A}=\widehat{C}$ = 135°, $\widehat{B}=\widehat{D}$ = 45°.

Bài tập 38: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 8 cm. Độ dài đường chéo AC là:

A. 4$\sqrt{2}$ cm.          B. 8$\sqrt{2}$ cm.           C. 2$\sqrt{8}$ cm.           D. 4$\sqrt{8}$ cm.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án B.

ABCD là hình vuông nên: AB  = BC = CD = DA = 8 cm.

Xét tam giác ACD, theo định lí thales ta có:

AC² = AD² + CD² = 8² + 8² = 128

=> AC = $\sqrt{128}$ = 8$\sqrt{2}$ cm.

Bài tập 39: Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật là:

A. BD = AC.                 B. AB ⊥ BC.                  C. BD ⊥ AC.                 D. AB = CD.

Hướng dẫn trả lời:

Chọn đáp án C.

Xét ΔABC có E là trung điểm của AB; F là trung điểm của BC

Do đó: EF là đường trung bình của ΔABC.

=> EF // AC và EF = $\frac{AC}{2}$ (1).

Xét ΔCDA có G là trung điểm của CD; H là trung điểm của DA

Do đó: GH là đường trung bình của ΔCDA.

=> GH // AC và GH = $\frac{AC}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra EF // GH và EF = GH hay EFGH là hình bình hành.

Để EFGH là hình chữ nhật khi hình bình hành EFGH có EF ⊥ EH hay EF ⊥ BD => AC ⊥ BD.

Bài tập 40: Một công ty dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máy ở địa điểm C trên bờ đến một địa điểm B trên biển. Khoảng cách giữa địa điểm A trên đảo với địa điểm B, địa điểm C lần lượt là 9 km, 15 km; AB vuông góc với BC (minh hoạ ở Hình 27). Giá làm 1 km đường ống là 5 000 đô la Mỹ. Hỏi chi phí làm đường ống từ địa điểm C đến địa điểm B là bao nhiêu đồng?

Biết 1 đô la Mỹ bằng 23 635 đồng (ngày 01/01/2023 theo nguồn https://www.google.com/finance/quote).

Hướng dẫn trả lời:

Trong tam giác ABC vuông tại B, ta có: AC² = AB² + BC² (theo định lí Pythagore).

=> BC² = AC² – AB² = 15² - 9² = 144. Do đó BC = $\sqrt{144}$ = 12 (km).

Chi phí làm đường ống từ địa điểm C đến địa điểm B là:

5 000 . 23 635 . 12= 1 418 100 000 (đồng).

Bài tập 41: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại J và HK vuông góc với AC tại K. Trên tia HJ lấy điểm D sao cho DJ = JH. Trên tia HK lấy điểm E sao cho EK = KH.

a) Chứng minh A là trung điểm của DE.

b) Tứ giác AJHK là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh BC = BD + CE.

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét ∆ADJ vuông tại J và ∆AHJ vuông tại J có: DJ = HJ (giả thiết), AJ là cạnh chung.

Do đó ∆ADJ = ∆AHJ (hai cạnh góc vuông)

=> AD = AH và $\widehat{JAD}=\widehat{JAH}$.

Tương tự ta cũng chứng minh được ∆AHK = ∆AEK (hai cạnh góc vuông)

=> AH = AE và $\widehat{KAH}=\widehat{KAE}$

Ta có: $\widehat{JAD}+\widehat{JAH}+\widehat{KAH}+\widehat{KAE}$ = 2.( $\widehat{JAH}=\widehat{KAH}$) = 2 $\widehat{JAK}$ = 2.90° = 180°.

Hay $\widehat{DAE}$ = 180° nên ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Lại có AD = AH và AH = AE nên AD = AE.

Do đó A là trung điểm của DE.

b) Ta có AB ⊥ DH tại J nên $\widehat{AJH}$ = 90°.

AC ⊥ HE tại K nên $\widehat{AKH}$ = 90°.

Xét tứ giác AJHK có $\widehat{AJH}=\widehat{JAK}=\widehat{AKH}$ = 90°.

=> AJHK là hình chữ nhật.

c) Xét ∆BDJ vuông tại J và ∆BHJ vuông tại J có: DJ = HJ (giả thiết), BJ là cạnh chung.

Do đó ∆BDJ = ∆BHJ (hai cạnh góc vuông) => BD = BH (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng có ∆CHK = ∆ CEK (hai cạnh góc vuông) => CH = CE (hai cạnh tương ứng).

Khi đó BC = BH + CH = BD + CE.

Vậy BC = BD + CE.

Bài tập 42: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, $\widehat{D}$ = 45°. Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.

a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.

b) Đường thẳng qua D và song song với AE cắt AH tại F. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

c*) Tìm điều kiện của hình thang cân ABCD để E là trung điểm của BF (bỏ qua giả thiết $\widehat{D}$ = 45°).

Hướng dẫn trả lời:

a) Do ABCD là hình thang cân nên $\widehat{C}=\widehat{ADC}$.

∆ADH = ∆AEH (c.g.c) => $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}$ hay $\widehat{ADC}=\widehat{AED}$.

Do đó $\widehat{C}=\widehat{AED}$. Mà $\widehat{C},\widehat{AED}$ nằm ở vị trí đồng vị => AE // BC.

Tứ giác ABCE có AB // CE, AE // BC nên ABCE là hình bình hành.

b) Ta có: $\widehat{FDH}=\widehat{AEH}$ (hai góc so le trong).

∆FDH = ∆AEH (g.c.g) => AH = HF.

Tứ giác ADFE có hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên ADFE là hình bình hành.

Tam giác ADE có $\widehat{AED}=\widehat{ADE}$ = 45° nên tam giác ADE vuông cân tại A.

Hình bình hành ADFE có $\widehat{DAE}$ = 90° nên ADFE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật ADFE có AD = AE nên ADFE là hình vuông.

c*) Để E là trung điểm của BF thì BE = FE và ba điểm B, E, F thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết $\widehat{ADC}$ = 45° thì ta chỉ chứng minh được ADFE là hình bình hành.

Do ABCE và ADFE đều là hình bình hành nên AE = BC và AE = DF => BC = DF.

Ta có: $\widehat{FDH}=\widehat{BCD}$ (vì cùng bằng $\widehat{AEH}$) và $\widehat{FDH},\widehat{BCD}$ nằm ở vị trí so le trong nên BC // DF.

Tứ giác BCFD có BC = DF và BC // DF nên BCFD là hình bình hành.

Mà E là trung điểm của BF => E là trung điểm của CD hay EC = ED

Mặt khác, AB = EC (vì ABCE là hình bình hành) => AB = $\frac{1}{2}$CD.

Dễ thấy nếu hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = $\frac{1}{2}$CD thì E là trung điểm của BF.

Vậy điều kiện của hình thang cân ABCD (AB // CD) để E là trung điểm của BF là AB = $\frac{1}{2}$CD.

Bài tập 43: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

a) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.

b) Gọi P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tử giác PMQN là hình chữ nhật.

c*) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.

d) Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB = 2 cm, $\widehat{MAD}$ = 30.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC // AD và BC = AD

Mà M ∈ BC, N ∈ AD nên MB // ND

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD nên MB = MC = $\frac{1}{2}$BC; NA = ND = $\frac{1}{2}$AD.

Do đó MB = MC = NA = ND.

Tứ giác MBND có MB // ND và MB = ND nên là hình bình hành.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.

Do MBND, MANC đều là hình bình hành nên PN // MQ, PM // NQ.

=> tứ giác PMQN là hình bình hành.

∆ABN = ∆MNB (c.g.c) => AB = MN.

Tứ giác ABMN có AB = BM = MN = AN nên ABMN là hình thoi => AM ⊥ BN.

Hình bình hành PMQN có $\widehat{MNP}$ = 90° nên PMQN là hình chữ nhật.

c*) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM = PN.

Mà ABMN là hình thoi nên ABMN là hình bình hành.

=> AM, BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Mà PM =PN => AM = BN.

Hình bình hành ABMN có AM = BN nên ABMN là hình chữ nhật.

=> $\widehat{ABM}$ = 90° hay $\widehat{ABC}$ = 90°.

Hình bình hành ABCD có $\widehat{ABC}$ = 90° nên ABCD là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC = 2 AB thì PMQN là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC = 2AB.

d) Ta có BM = AB nên BM = 2 cm.

Do ABMN là hình thoi nên AM  là tia phân giác của $\widehat{BAN}$.

Suy ra $\widehat{BAN}=2\widehat{MAD}$ = 60°.

Tam giác ABN có AB=AN và $\widehat{BAN}$ = 60° nên tam giác ABN đều.

=> BN = AN = AB = 2 cm.

Do P là trung điểm của BN nên BP = NP = $\frac{BN}{2}$ = 1 cm.

Trong tam giác BMP vuông tại P, ta có: BM² = BP² + MP².

=> MP² = BM² – BP² = 2² – 1² =  3. Do đó MP = $\sqrt{3}$ cm.

Do PMQN là hình chữ nhật nên diện tích của PMQN là:

MP.NP = $\sqrt{3}$.1 = $\sqrt{3}$ (cm²).

Bài tập 44: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.

a) Chứng minh: DE = CF, DE ⊥ CE.

b*) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm.

c*) Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF (Hình 60).

Do ABCD là hình vuông nên ta có:

$\widehat{DAB}$ = 90°, CD = DA, $\widehat{ADB}=\widehat{ABD}=\widehat{DBC}$ = 45°.

a) Do MF ⊥ AD nên tam giác FDM vuông tại F.

Do FM ⊥ AD, DC ⊥ AD nên FM // CD => $\widehat{FMD}=\widehat{MDC}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{FDM}=\widehat{MDC}$ (do ABCD là hình vuông nên DM là phân giác góc ADC).

=> $\widehat{FDM}=\widehat{FMD}$ nên ∆FDM vuông cân tại F

=> FM = DF.

Tứ giác AEMF có $\widehat{MFA}=\widehat{FAE}=\widehat{AEM}$ = 90° nên AEMF là hình chữ nhật => AE = FM.

Do đó AE = DF (vì cùng bằng FM).

∆ADE = ∆DCF (c.g.c) => DE = CF, $\widehat{AED}=\widehat{DFC}$.

Trong tam giác ADE vuông tại A, ta có: $\widehat{AED}+\widehat{ADE}$ = 90°.

=> $\widehat{DFC}+\widehat{ADE}$ = 90° hay $\widehat{DFH}+\widehat{FDH}$ = 90°.

Vậy DE ⊥ CF.

b*) Tương tự câu a, ta chứng minh được BF ⊥ CE.

∆ABM = ∆CBM (c.g.c) => AM = CM.

Mà EF = AM (vì AEMF là hình chữ nhật) => EF = CM.

∆DEF = ∆FCM (c.c.c) => $\widehat{DEF}=\widehat{FCM}$ hay $\widehat{FEH}=\widehat{FCK}$.

Trong tam giác HEF vuông tại H, ta có $\widehat{FEH}+\widehat{EFH}$ = 90°.

Suy ra $\widehat{FCK}+\widehat{EFH}$ = 90° hay $\widehat{FCK}=\widehat{KCF}$ = 90°.

Từ đó, ta tính được $\widehat{CKF}$ = 90°. Do đó CK ⊥ EF.

Trong tam giác CEF, ta có: DE ⊥ CF, BF ⊥ CE, CM ⊥ EF nên ba đường thẳng DE, BF, CM là các đường cao của tam giác CEF.

Vậy ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm.

c*) Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE + AF) = 2(DF + AF) = 2AD.

Mà AD không đổi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông.  => ME = MF.

Khi đó ∆BEM = ∆DFM (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) => BM = DM hay M là trung điểm của BC.

Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.