Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 1: Phân thức đại số
Hướng dẫn giải bài 1: Phân thức đại số SBT toán 8 cánh diều. Đây là sách bài tập nằm trong bộ sách "Cánh diều" được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết học sinh sẽ nắm bài học tốt hơn.
Bài tập 1: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
a) $\frac{3}{2x(5-x)}$;
b) $\frac{4x}{x^{2}-4}$;
c) $\frac{x}{y^{2}+2xy}$;
d) $\frac{6,4y}{0,4x^{2}+0,4x}$.
Hướng dẫn trả lời:
Điều kiện của các phân thức là:
a) 2x(5 – x) ≠ 0;
b) x2 – 4 ≠ 0;
c) y2 + 2xy ≠ 0;
d) 0,4x2 + 0,4x ≠ 0.
Bài tập 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy giải thích vì sao có thể viết:
a) $\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}y^{2}}=\frac{y}{2}$;
b) $\frac{x^{2}-x-2}{x+1}=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}$;
c) $\frac{x^{2}-3x+9}{x^{3}+27}=\frac{1}{x+3}$.
Hướng dẫn trả lời:
Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C
a) Ta có: x2.y3.2 = 2x2y3 và 2.x2.y2.y = 2x2y3 nên x2.y3.2 = 2.x2.y2.y.
Vậy $\frac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}y^{2}}=\frac{y}{2}$.
b) Ta có: (x2 – x – 2)(x – 1) = x3 – x2 – x2 + x – 2x + 2 = x3 – 2x2 – x + 2.
Và (x + 1)(x2 – 3x + 2) = x3 – 3x2 + 2x + x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – x + 2.
Nên (x2 – x – 2)(x – 1) = (x + 1)(x2 – 3x + 2)
Vậy $\frac{x^{2}-x-2}{x+1}=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}$.
c) Ta có: (x2 – x – 2)(x + 3) = x3 + 27 và (x3 + 27).1 = x3 + 27 nên (x2 – x – 2)(x + 3) = x3 + 27
Vậy $\frac{x^{2}-3x+9}{x^{3}+27}=\frac{1}{x+3}$.
Bài tập 3: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?
a) $\frac{x}{5x+5}$ và $\frac{1}{5}$
b) $\frac{-x}{x-5}$ và $\frac{-x(x-5)}{(x-5)^{2}}$
c) $\frac{-5}{-x-y}$ và $\frac{5}{x+y}$
d) $\frac{-x}{(x-3)^{2}}$ và $\frac{x}{(3-x)^{2}}$
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: x.5 = 5x và (5x + 5).1 = 5x + 5
Do x.5 ≠ (5x + 5).1 nên hai phân thức $\frac{x}{5x+5}$ và $\frac{1}{5}$ không bằng nhau.
b) Ta có: -x.(x – 5)2 = -x(x – 5)2 và (x – 5).[-x(x – 5)] = -x(x – 5)2
nên -x.(x – 5)2 = (x – 5).[-x(x – 5)]
Vậy $\frac{-x}{x-5}$ = $\frac{-x(x-5)}{(x-5)^{2}}$
c) Ta có: -5.(x + y) = -5(x + y) và (-x – y).5 = -5(x + y)
nên -5.(x + y) = (-x – y).5
Vậy $\frac{-5}{-x-y}$ = $\frac{5}{x+y}$
d) Ta có: -x.(3 – x)2 = -x(x – 3)2 và (x – 3)2.x = x(x – 3)2.
Do -x(x – 3)2 ≠ x(x – 3)2 nên khi x ≠ 0 và x ≠ 3 thì hai phân thức $\frac{-x}{(x-3)^{2}}$ và $\frac{x}{(3-x)^{2}}$ không bằng nhau.
Bài tập 4: Rút gọn mỗi phân thức sau:
a) $\frac{25x^{2}y^{3}}{35x^{3}y^{2}}$;
b) $ \frac{x-y}{y-x}$;
c) $\frac{(-x)^{5}y^{2}}{x^{2}(-y)^{3}}$;
d) $\frac{x^{2}-2x}{x^{3}-4x^{2}+4x}$.
Hướng dẫn trả lời:
a) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0; y ≠ 0.
Ta có:
$\frac{25x^{2}y^{3}}{35x^{3}y^{2}}=\frac{5.5x^{2}y^{3}}{5.7x^{3}y^{2}}=\frac{5y}{7x}$.
b) Điều kiện xác định của phân thức là y - x ≠ 0.
Ta có: $ \frac{x-y}{y-x}=\frac{-(y-x)}{y-x}=-1$
c) Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ 0; y ≠ 0.
Ta có:
$\frac{(-x)^{5}y^{2}}{x^{2}(-y)^{3}}=\frac{(-1).x^{5}y^{2}}{(-1).x^{2}x^{3}}=\frac{x^{3}}{y}$.
d) Điều kiện xác định của phân thức là x3 – 4x2 + 4x ≠ 0.
Ta có:
$\frac{x^{2}-2x}{x^{3}-4x^{2}+4x}=\frac{x(x-2)}{x(x^{2}-4x+4)}=\frac{x(x-2)}{x(x-2)^{2}}=\frac{1}{x-2}$
Bài tập 5: Tính giá trị của biểu thức:
a) $A=\frac{x^{5}y^{2}}{(xy)^{3}}$ tại x = 1; y = 2;
b) $B=\frac{-4(x-2)x^{2}}{20(2-x)y^{2}}$ tại x = $\frac{1}{2}$; y = $\frac{1}{5}$.
c) $C=\frac{x^{2}-8x+7}{x^{2}-1}$ tại x = -7;
d) $D=\frac{5x^{2}-10xy+5y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$ tại x = 0,5; y = 0,6.
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $A=\frac{x^{5}y^{2}}{(xy)^{3}}=\frac{x^{2}}{y}$
Thay x = 1; y = 2 vào A, ta có:
$ A=\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{2}$.
Vậy giá trị của A tại x = 1; y = 2 là $A=\frac{1}{2}$.
b) Ta có:
$B=\frac{-4(x-2)x^{2}}{20(2-x)y^{2}}=\frac{4(2-x)x^{2}}{4.5.(2-x)y^{2}}=\frac{x^{2}}{5y^{2}}$
Thay x = $\frac{1}{2}$; y = $\frac{1}{5}$ vào B, ta có:
$ B=\frac{\frac{1}{2}^{2}}{5.\frac{1}{5}^{2}}=\frac{5}{4}$.
Vậy giá trị của B tại x = $\frac{1}{2}$; y = $\frac{1}{5}$ là $B=\frac{5}{4}$.
c) Ta có:
$C=\frac{x^{2}-8x+7}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)(x-7)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-7}{x+1}$
Thay x = -7 vào C, ta có:
$C=\frac{-7-7}{-7+1}=\frac{-14}{-6}=\frac{7}{3}$.
Vậy giá trị của C tại x = -7 là $C=\frac{7}{3}$.
d) Ta có:
$ D=\frac{5x^{2}-10xy+5y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{5x^{2}-5xy-5xy+5y^{2}}{(x-y)(x+y)}=\frac{5x(x-y)-5y(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{5(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{5(x-y)}{x+y}$
Thay x = 0,5; y = 0,6 vào D, ta có:
$D=\frac{5(0,5-0,6)}{0,5+0,6}=\frac{-0,5}{1,1}=\frac{-5}{11}$.
Vậy giá trị của D tại x = 0,5; y = 0,6 là $D=\frac{-5}{11}$.
Bài tập 6: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) $\frac{2}{15x^{3}y^{2}};\frac{y}{10x^{4}z^{3}}$ và $\frac{x}{20y^{3}z}$;
b) $\frac{x}{2x+6}$ và $\frac{4}{x^{2}-9}$;
c) $\frac{2x}{x^{3}-1}$ và $\frac{x-1}{x^{2}+x+1}$;
d) $\frac{x}{1+2x+x^{2}}$ và $\frac{3}{5x^{2}-5}$.
Hướng dẫn trả lời:
a) Chọn mẫu thức chung là: 60x4y3z3.
Nhân tử phụ của các mẫu thức lần lượt là: 4xyz3; 6y3 và 3x4z2.
Vậy: $\frac{2}{15x^{3}y^{2}}=\frac{2.4xyz^{3}}{15x^{3}y^{2}.4xyz^{3}}=\frac{8xyz^{3}}{60x^{4}y^{3}z^{3}}$.
$\frac{y}{10x^{4}z^{3}}=\frac{y.6y^{3}}{10x^{4}z^{3}.6y^{3}}=\frac{6y^{4}}{60x^{4}y^{3}z^{3}}$.
$\frac{x}{20y^{3}z}=\frac{x.3x^{4}z^{2}}{20y^{3}z.3x^{4}z^{2}}=\frac{3x^{5}z^{2}}{60x^{4}y^{3}z^{3}}$
b) Ta có: 2x + 6 = 2(x + 3) và x2 – 9 = (x – 3)(x + 3).
Chọn mẫu thức chung là: 2(x2 – 9).
Nhân tử phụ của các mẫu thức lần lượt là: (x – 3) và 2.
Vậy:
$\frac{x}{2x+6}=\frac{x(x-3)}{2.(x+3)(x-3))}=\frac{x(x-3)}{2(x^{2}-9)}$
$\frac{4}{x^{2}-9}=\frac{4.2}{(x^{2}-9).2}=\frac{8}{2(x^{2}-9)}$.
c) Ta có: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
Chọn mẫu thức chung là: x3 – 1.
Nhân tử phụ của các mẫu thức lần lượt là: 1 và x – 1.
Vậy: $\frac{2x}{x^{3}-1}=\frac{2x.1}{(x^{3}-1).1}=\frac{2x}{x^{3}-1}$.
$\frac{(x-1)(x-1)}{(x^{2}+x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{3}-1}$
d) Ta có: 1 + 2x + x2 = (x + 1)2 và 5x2 – 5 = 5(x – 1)(x + 1).
Chọn mẫu thức chung là: 5(x – 1)(x + 1)2.
Nhân tử phụ của các mẫu thức lần lượt là: 5(x – 1) và (x + 1).
Vậy:
$\frac{x}{1+2x+x^{2}}=\frac{x.5(x-1)}{(x+1)^{2}.5(x-1)}=\frac{5x(x-1)}{5(x-1)(x+1)}$.
$\frac{3}{5x^{2}-5}=\frac{3(x+1)}{(5x^{2}-5)(x+1)}=\frac{3(x+1)}{5(x-1)(x+1)^{2}}$.
Bài tập 7: Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (với a là một số):
a) $\frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)(ax-ay)}$ (a ≠ 0);
b) $\frac{(x+a)^{2}-x^{2}}{2x+a}$.
Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $\frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)(ax-ay)}=\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y).a(x-y)}=\frac{1}{a}$
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Ta có: $ \frac{(x+a)^{2}-x^{2}}{2x+a}=\frac{(x+a-x)(x+a+x)}{2x+a}=\frac{a(2x+a)}{2x+a}=a$
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Bài tập 8: Một miếng bìa có dạng hình vuông với độ dài cạnh là x (cm). Người ta cắt đi ở mỗi góc của miếng bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh là y (cm) với 0 < 2y < x (Hình 2).
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x= 4; y = 1.
Hướng dẫn trả lời:
a) Diện tích của miếng bìa ban đầu là: x (cm2).
Diện tích của phần bìa còn lại sau khi cắt là: x2 – 4y2 (cm2).
Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt là: $\frac{x^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$
b) Giá trị của phân thức $\frac{x^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$ tại x = 4; y = 1 là:
$\frac{4^{2}}{4^{2}-4.1^{2}}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$.