Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 5: Hình chữ nhật

Bài tập 21: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Hình thang có hai góc vuông là hình chữ nhật.

b) Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

d) Tứ giác có hai góc vuông là hình chữ nhật.

Hướng dẫn trả lời:

a) Sai. Hình thang có hai góc vuông là hình thang vuông.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Bài tập 22: Hình 20 mô tả mặt cắt ngang tầng trệt của một ngôi nhà. Biết AB ⊥ BC, CD ⊥ BC và AB = 4 m, CD = 7 m, AD = 11 m. Tính độ dài BC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét).

Hướng dẫn trả lời:

Kẻ AH vuông góc với CD tại H (Hình vẽ).

Tứ giác ABCH có $\widehat{ABC}=\widehat{BCH}=\widehat{CHA}$ = 90° nên ABCH là hình chữ nhật

=> CH = AB = 4 m.

Do đó DH = CD – CH = 3m.

Trong tam giác ADH vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH².

=> AH² = AD² – DH² = 112. Do đó AH = $\sqrt{112}$ m.

Ta có: BC = AH (vì ABCH là hình chữ nhật) nên BC = $\sqrt{112}$ ≈ 10,6 (m).

Bài tập 23: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB, AD. Chứng minh:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật,

b) BD // EF.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi I là giao điểm của AM và EF (Hình vẽ).

a) Tứ giác AEMF có $\widehat{FAE}=\widehat{AEM}=\widehat{MFA}$ = 90° nên AEMF là hình chữ nhật.

b) Do ABCD và AEMF đều là hình chữ nhật nên OA = OB và IA = IE.

=> tam giác OAB cân tại O và tam giác IAE cân tại I.

Do đó $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}$ và $\widehat{IEA}=\widehat{IAE}$ hay $\widehat{OBA}=\widehat{IEA}$.

Mà $\widehat{OBA}$ và $\widehat{IEA}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra BD // EF.

Bài tập 24: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia GB, GC lần lượt lấy các điểm D, E sao cho GD = GB, GE = GC. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

Tứ giác BEDC có hai đường chéo BD và CE cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên BEDC là hình bình hành.

Ta có: AB = AC, AM =C M, AN = BN nên BN = CM.

∆BCM = ∆CBN (c.g.c). => BM = CN.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên: BG = $\frac{2}{3}$BM và CG = $\frac{2}{3}$CN.

Do đó BG = CG. Mà G là trung điểm của BD và CE => BD = CE.

Hình bình hành BEDC có BD = CE nên BEDC là hình chữ nhật.

Bài tập 25: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng AB, AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.

c) Chứng minh khi điểm M thay đổi vị trí trên cạnh BC thì chu vi của tứ giác ADME không đổi.

d) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì DE có độ dài nhỏ nhất? Tính độ dài nhỏ nhất đó, biết AB = 2 cm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác ADME có $\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=\widehat{MDA}$ = 90° nên ADME là hình chữ nhật.

b) Do ADME là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của DE => I là trung điểm của AM.

Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.

c) Do ADME là hình chữ nhật nên DM // AC. => $\widehat{BMD}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ = 45° (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

=> $\widehat{BMD}=\widehat{ABC}$ = 45°. Do đó tam giác BDM cân tại D. => BD = DM.

Chu vi của hình chữ nhật ADME là: 2(AD + DM) = 2(AD + BD) = 2AB.

Mà AB không đổi nên chu vi của tứ giác ADME không đổi.

d) Do ADME là hình chữ nhật nên AM = DE.

=> DE có độ dài nhỏ nhất khi AM có độ dài nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu của A trên đường thẳng BC (hình vẽ).

Trong tam giác ABC vuông cân tại A, ta có:

AC = AB = 2 cm và BC² = AB² + AC² = 8 => BC = $\sqrt{8}$ = 2$\sqrt{2}$ cm.

∆ABM = ∆ACM (cạnh góc vuông - góc nhọn)  => BM = CM = $\frac{BC}{2}$ = $\sqrt{2}$ cm.

Tam giác ABM vuông tại M có $\widehat{ABM}$ = 45° nên $\widehat{BAM}=\widehat{ABM}$ = 45°.

=> tam giác ABM vuông cân tại M.  Do đó AM = BM = $\sqrt{2}$ cm.

Vậy DE = $\sqrt{2}$ cm.