Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 5: Hình chữ nhật

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1 trang 109 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biết số đo mỗi góc của tứ giác ABCD trong hình 47. 

Số đo mỗi góc của tứ giác ABCD trong hình 47 đều bằng 90∘

II. TÍNH CHẤT

Hoạt động 2 trang 109 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) Mỗi hình chữ nhật có là một hình thang cân hay không?

b) Mỗi hình chữ nhật có là một hình bình hành hay không?

a) Mỗi hình chữ nhật có là một hình thang cân.

b) Mỗi hình chữ nhật có là một hình bình hành.

Luyện tập 1 trang 110 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M,N lần lược là hình chiếu của O trên AB, BC. Chứng minh MN = 12 AC.

Tứ giác MBNO có 3 góc vuông là OMB, MBN và ONB nên góc còn lại là NOM cũng là góc vuông. Vậy MBNO là hình chữ nhật. 

=> MO = BN (1)

MO//BN (hay MO//CN) (2)

N là hình chiếu của O trên BC nên NB=NC (3)

Từ (1) và (3) => MO = NC. kết hợp với (2) suy ra OMNC là hình bình hành (tứ giác cócặp cạnh đối song song và bằng nhau)

=> MN = OC. Mà O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên  OC= 12 AC. Vậy MN = 12 AC (đpcm)

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Hoạt động 3 trang 110 sgk Toán 8 tập 1 CD: 

a) Cho hình bình hành ABCD có Aˆ=90∘. ABCD có phải là hình chữ nhật hay không?

b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau (Hình 50).

• Hai tam giác ABC và DCB có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh ABCˆ và DCBˆ.
• ABCD có phải là hình chữ nhật hay không?

a. Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật là hình bình hành có 1 góc vuông nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

b. Hai tam giác ABC và DCB có: 

• AB = DC (2 cạnh đối của hình bình hành ABCD)
• BC chung
• AC = BD (gt)

=> Hai tam giác ABC và DCB bằng nhau (c-c-c). suy ra 2 góc tương ứng ABCˆ = DCBˆ (1)

Trong hình bình hành ABCD có các cặp góc đối bằng nhau nên ABCˆ = ADCˆ và DCBˆ = DABˆ (2)

=> Từ (1) và (2) => ABCˆ = ADCˆ = DCBˆ = DABˆ.

Mặt khác trong một tứ giác tổng các góc sẽ bằng 360∘=> ABCˆ = ADCˆ = DCBˆ = DABˆ= 14.360∘=90∘

=> ABCD là hình chữ nhật.

Luyện tập 2 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OABˆ = ODCˆ. Chứng minh ABC là hình chữ nhật.

Xét 2 tam giác OAB và ODC có:

• OA = OC
• AOBˆ = DOCˆ (2 góc đối đỉnh)
• OB = OD

=> 2 tam giác OAB và ODC bằng nhau (c-g-c)

ABCD là hình bình hành nên OABˆ = OCDˆ (2 góc so le trong)

=> OCDˆ = ODCˆ => Tam giác ODC là tam giác cân tại O

=> OD = OC => AC = DB. Vậy hình bình hành ABCD có 2 đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật. 

III. BÀI TẬP 

Bài tập 1 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, Aˆ=90∘. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

ABCD là hình thang cân và AB//CD nên:

• 2 góc kề đáy AB là Aˆ=Bˆ=90∘=> Cˆ+Dˆ=360∘−(Aˆ+Bˆ)=360∘−(90∘+90∘)=180∘
• 2 góc kề đáy CD là Cˆ=Dˆ=>  Cˆ=Dˆ=12.180∘=90∘

=> Tứ giác ABCD có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật. 

Bài tập 2 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm cúa cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật và AM = 12 BC

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA=> M là trung điểm của AD. Tứ giác ABCD có 2 đường chéo là AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có góc A vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)

=> 2 đường chéo AD = BC. Mà AM = 12 AD nên AM = 12 BC (đpcm )

Bài tập 3 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho AEBˆ = 78∘, EBCˆ = 39∘. Tính số đo của BECˆ và EABˆ.

• Trong tam giác EBC có: BECˆ = 180∘ - (EBCˆ +BCEˆ) = 180∘ - (39∘+90∘)= 51∘. 
• ABEˆ = ABCˆ - EBCˆ = 90∘ - 39∘ = 51∘. 
• Trong tam giác ABE có: EABˆ = 180∘ - (ABEˆ +AEBˆ) = 180∘ - (51∘+78∘)= 51∘

Bài tập 4 trang 111 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông, AB = 400 m, AD = 300 m. Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình 52). Tính khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D.

Tứ giác ABCD có 3 góc A, B, D là góc vuông nên góc C còn lại cũng là góc vuông. Vậy ABCD là hình chữ nhật. Suy ra:

CB = AD = 300m. Khoảng cách từ C đến B là 300m.

CD = AB = 400m. Khoảng cách từ C đến D là 400m. 

Xét tam giác vuông ADC có:

AC=AD2+DC2−−−−−−−−−−√=3002+4002−−−−−−−−−√=500. vậy khoảng cách từ C đến A là 500m.

Bài tập 5 trang 112 sgk Toán 8 tập 1 CD: Bạn Linh có một mảnh giấy dạng hình tròn. Bạn Linh đố bạn Bình: Làm thế nào có thể chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật? Bạn Bình đã làm như sau:

Bước 1: Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Sau đó lại gấp tương tự mảnh giấy đó nhưng theo đường kính mới và đánh dấu hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật (Hình 53).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Bình.

Giải thích: Khi gấp như thế thì giao điểm của 2 đường gấp chính là trọng tâm của hình tròn. Khi đó khoảng cách từ giao điểm đó đến các vị trí đầu mút là bằng nhau. Như vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau (đường kính của hình tròn) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.