Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

I. PHÉP NHÂN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Quy tắc nhân hai phân thức đại số.

Hoạt động 1 trang 44 sgk Toán 8 tập 1 CD: Nêu quy tắc nhân hai phân số

Quy tắc nhân hai phân số: nhân các tử số với nhau, nhân các mẫu số với nhau.

Luyện tập 1 trang 44 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:

a. x3+1x2−2x+1.x−1x2−x+1

b. (x2−4x+4).23x2−6x

a. x3+1x2−2x+1.x−1x2−x+1 = (x3+1)(x−1)(x2−2x+1)(x2−x+1)=(x+1)(x2−x+1)(x−1)(x−1)2(x2−x+1)=x+1x−1

b. (x2−4x+4).23x2−6x = 2(x2−4x+4)3x2−6x=2x2−8x+83x2−6x=2(x2−4x+22)3x(x−2)=2(x−2)23x(x−2)=2(x−2)3x

2. Tính chất của hép nhân phân thức

Hoạt động 2 trang 44 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hãy nêu các tính chất của phếp nhân phân số. 

Các tính chất của phếp nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, phân phối đối với phép cộng

Luyện tập 2 trang 45 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính một cách hợp lí: 

a. y+6x2−4x+4.x2−4x+1.x−2y+6

b. (1x−4+2x+1x2−8x+16).x−42x+1

a. y+6x2−4x+4.x2−4x+1.x−2y+6

= (y+6(x−2)2.x−2y+6).x2−4x+1

= 1x−2.(x−2)(x+2)x+1=x+2x+1

b. (1x−4+2x+1x2−8x+16).x−42x+1

= 1x−4.x−42x+1+2x+1x2−8x+16.x−42x+1

= 12x+1+x−4(x−4)2

= 12x+1+1x−4

= x−4+2x+1(2x+1)(x−4)

= 3x−32x2−8x+x−4

= 3x−32x2−7x−4

II. PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Phép chia phân thức đại số.

Hoạt động 3 trang 46 sgk Toán 8 tập 1 CD: Nêu quy tắc chia hai phân số. 

Quy tắc chia hai phân số: muốn chia phân số a cho phân số b (≠0) ta lấy phân số a nhân vói nghịch đảo của phân số b.

Luyện tập 3 trang 46 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính

a. x+yy−x:x2+xy3x2−3y2

b. x3+y3x−y:(x2−xy+y2)

a. x+yy−x:x2+xy3x2−3y2

= x+yy−x.3x2−3y2x2+xy=x+yy−x.3(x−y)(x+y)x(x+y)=3(x−y)(x+y)x(y−x)=−3(y−x)(x+y)x(y−x)=−3(x+y)x

b. x3+y3x−y:(x2−xy+y2)

= (x+y)(x2−xy+y2)x−y.1x2−xy+y2=x+yx−y

Bài tập 1 trang 47 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:

a. 3x+64x−8.2x−4x+2

b. x2−362x+10.x+56−x

c. 1−y3y+1.5y+5y2+y+1

d. x+2y4x2−4xy+y2.(2x−y)

a. 3x+64x−8.2x−4x+2 = 3(x+2)2(2x−4).2x−4x+2=32

b. x2−362x+10.x+56−x = −(36−x2)2x+10.x+56−x=−(6−x)(6+x)2(x+5).x+56−x=−(6+x)2

c. 1−y3y+1.5y+5y2+y+1 = (1−y)(1+y+y2).5(y+1)(y+1).(y2+y+1)=(1−y).5=5−5y

d. x+2y4x2−4xy+y2.(2x−y) = (x+2y)(2x−y)(2x−y)2=x+2y2x−y

Bài tập 2 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD: Thực hiện phép tính:

a. 20x3y2:(−15x26y)

b. 9x2−y2x+y:3x+y2x+2y

c. x3+y3y−x:x2−xy+y2x2−2xy+y2

d. 9−x2x:(x−3)

a. 20x3y2:(−15x26y) = (−1).20x3y2.6y15x2=−83xy

b. 9x2−y2x+y:3x+y2x+2y = (3x−y)(3x+y)x+y.2(x+y)3x+y=2(3x−y)=6x−2y

c. x3+y3y−x:x2−xy+y2x2−2xy+y2 = (x+3)(x2−xy+y2)y−x.x2−2xy+y2x2−xy+y2

= (x+3)(x−y)2y−x=(x+3)(x−y)2(−1)(x−y)=−(x+3)(x−y)=−x2+xy−3x+3y

d. 9−x2x:(x−3) = (3−x)(3+x)x.1x−3=3+xx

Bài tập 3 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính một cách hợp lí:

a. x2−49x2+5.(x2+5x−7−x2+5x+7)

b. 19x+8x+1975.2000−xx+1945+19x+8x+1975.2x−25x+1945

a. x2−49x2+5.(x2+5x−7−x2+5x+7)

= x2−49x2+5.x2+5x−7−x2−49x2+5.x2+5x+7

=(x−7)(x+7)x2+5.x2+5x−7−(x−7)(x+7)x2+5.x2+5x+7=(x+7)−(x−7)=14

b. 19x+8x+1975.2000−xx+1945+19x+8x+1975.2x−25x+1945 = 19x+8x+1975(2000−xx+1945+2x−25x+1945)

= 19x+8x+1975.2000−x+2x−25x+1945=19x+8x+1975.1975+xx+1945=19x+8x+1945

Bài tập 4 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến. 

a. A = (xxy−y2+2x−yxy−x2).x2y−xy2(x−y)2

b. B = (1x2+4x+4−1x2−4x+4):(1x+2+1x−2).(x2−4)

a. A = (xxy−y2+2x−yxy−x2).x2y−xy2(x−y)2

= (xy(x−y)−2x−yx(x−y)).xy(x−y)(x−y)2

= (x.xy(x−y).x−(2x−y).yx(x−y)y).xyx−y

= x2−2xy+y2y(x−y).x.xyx−y

= (x−y)2.xy(x−y)2.xy=1

Vậy giá trị của A luôn =1 với mọi biến x,y. 

b. B= (1x2+4x+4−1x2−4x+4):(1x+2+1x−2).(x2−4)

= (x2−4x+4(x+2)2.(x−2)2−x2+4x+4(x−2)2(x+2)2):(x−2(x+2)(x−2)+x+2(x+2)(x−2)).(x2−4)

= (−8x(x−2)2(x+2)2):(2x(x+2)(x−2)).(x−2)(x+2)

= −8x.(x+2)(x−2)(x−2)2(x+2)2.2x.(x−2)(x+2)=−4

Vậy giá trị của B luôn = - 4 với mọi biến x,y

Bài tập 5 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo dự định. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Bài tập 5 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo dự định. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định: 120x

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế: 125x−1

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định:

125x−1:120x=125x120x−120

Bài tập 6 trang 48 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi trả hàng tại địa điểm B, xe quay ngược trở lại địa điểm A nhưng thời gian xe chạy về đến A chỉ là x-1 giờ. Biết quãng đường AB dài 160 km, viết phân thức biểu thị theo x:

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B;

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A;

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B: v1=160x

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A: v2=160x−1

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A:

v1v2 = 160x:160x−1=x−1x