Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài tập 14: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{24y^{5}}{7x^{2}}.(-\frac{49x}{12y^{3}})$;

b) $-\frac{36y^{3}}{15x^{4}}.(-\frac{45x^{2}}{9y^{3}})$;

c) $\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}.\frac{x^{4}}{(x+y)^{2}}$;

d) $\frac{x+3}{x^{2}-1}.\frac{1-3x+3x^{2}-x^{3}}{9x+27}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{24y^{5}}{7x^{2}}.(-\frac{49x}{12y^{3}})=-\frac{24y^{5}.49x}{7x^{2}.12y^{3}}=-\frac{14y^{2}}{x}$

b) $ -\frac{36y^{3}}{15x^{4}}.(-\frac{45x^{2}}{9y^{3}})$

= $\frac{36y^{3}.45x^{2}}{15x^{4}.9y^{3}}=\frac{12}{x^{2}}$.

c) $\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}.\frac{x^{4}}{(x+y)^{2}}$

= $\frac{(x-y)(x+y)x^{4}}{x^{2}.(x+y)^{2}}$

= $\frac{x^{2}(x-y)}{x+y}$

d) $ \frac{x+3}{x^{2}-1}.\frac{1-3x+3x^{2}-x^{3}}{9x+27}=\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}.\frac{(1-x)^{3}}{9(x+3)}=\frac{(x+3)(1-x)^{3}}{(x-1)(x+1).9(x+3)}=\frac{(1-x)^{2}}{9(x+1)}$.

Bài tập 15: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x^{2}-x+1}:\frac{x+1}{x-1}$;

b) $\frac{x+y}{2x-y}:\frac{1}{x-y}$;

c) $\frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{4}y}:(x^{2}+y^{2})$;

d) $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-2x+1}:\frac{x^{2}+3x+2}{1-x^{2}}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{1}{x^{2}-x+1}:\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{x^{2}-x+1}.\frac{x-1}{x+1}=\frac{x-1}{x^{3}+1}$.

b) $\frac{x+y}{2x-y}:\frac{1}{x-y}=\frac{x+y}{2x-y}.(x-y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{2x-y}$.

c) $ \frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{4}y}:(x^{2}+y^{2})$

= $\frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{4}y}.\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$

= $\frac{xy(x^{2}+y^{2})}{x^{4}y(x^{2}+y^{2})}$

= $\frac{1}{x^{3}}$

d) $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-2x+1}:\frac{x^{2}+3x+2}{1-x^{2}}$

= $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-2x+1}.\frac{1-x^{2}}{x^{2}+3x+2}$

= $\frac{(x+2)(x^{2}-2x+4).(1-x)(1+x)}{(x-1)^{2}.(x+2)(x+1))}$

= $\frac{x^{2}-2x+4}{1-x}$.

Bài tập 16: Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{9x-20}{x+2022}-\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{8x-2042}{x+2022}$;

b) $\frac{x^{2}-81}{x^{2}+101}.(\frac{x^{2}+101}{x-9}+\frac{x^{2}+101}{x+9})$;

c) $\frac{x^{2}-1}{x+100}.\frac{2x}{x+2}+\frac{1-x^{2}}{x+100}.\frac{x-100}{x+2}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{9x-20}{x+2022}-\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{8x-2042}{x+2022}$

= $\frac{39x+7}{x-2020}.(\frac{9x-20}{x+2022}-\frac{8x-2042}{x+2022})$

= $\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{9x-20-(8x-2042)}{x+2022}$

= $\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{9x-20-8x+2042}{x+2022}$

= $\frac{39x+7}{x-2020}.\frac{x+2022}{x+2022}$

= $\frac{39x+7}{x-2020}$

b) $\frac{x^{2}-81}{x^{2}+101}.(\frac{x^{2}+101}{x-9}+\frac{x^{2}+101}{x+9})$

= $\frac{(x-9)(x+9)}{x^{2}+101}.\frac{x^{2}+101}{x-9}+\frac{(x-9)(x+9)}{x^{2}+101}.\frac{x^{2}+101}{x+9}$

= x + 9 + x – 9

= 2x

c) $\frac{x^{2}-1}{x+100}.\frac{2x}{x+2}+\frac{1-x^{2}}{x+100}.\frac{x-100}{x+2}$

= $\frac{x^{2}-1}{x+100}.(\frac{2x}{x+2}-\frac{x-100}{x+2})$

= $\frac{x^{2}-1}{x+100}.\frac{2x-(x-100)}{x+2}$

= $\frac{x^{2}-1}{x+100}.\frac{2x-x+100}{x+2}$

= $\frac{x^{2}-1}{x+100}.\frac{x+100}{x+2}$

= $\frac{x^{2}-1}{x+2}$

Bài tập 17: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $M=\frac{x-2y}{3x+6y}:\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+4xy+4y^{2}}$;

b) $N=(x-\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y})(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y})$;

c) $ P=(\frac{x^{3}+y^{3}}{x+y}-xy):(x^{2}-y^{2})+\frac{2y}{x+y}$;

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $M=\frac{x-2y}{3x+6y}:\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+4xy+4y^{2}}$

= $\frac{x-2y}{3x+6y}.\frac{x^{2}+4xy+4y^{2}}{x^{2}-4y^{2}}$

= $\frac{(x-2y).(x+2y)^{2}}{3(x+2y).(x-2y)(x+2y)}$

= $\frac{1}{3}$.

Vậy giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) $N=(x-\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y})(\frac{1}{y}+\frac{2}{x-y})$

= $\frac{x(x+y)-(x^{2}+y^{2})}{x+y}.\frac{x-y+2y}{y(x-y)}$

= $\frac{x^{2}+xy-x^{2}-y^{2}}{x+y}.\frac{x+y}{y(x-y)}$

= $\frac{y(x-y).(x+y)}{(x+y).y(x-y)}=1$

Vậy giá trị của biểu thức N không phụ thuộc vào giá trị của biến.

c) $P=(\frac{x^{3}+y^{3}}{x+y}-xy):(x^{2}-y^{2})+\frac{2y}{x+y}$

= $(\frac{x^{3}+y^{3}-xy(x+y)}{x+y}-).\frac{1}{(x^{2}-y^{2})}+\frac{2y}{x+y}$

= $\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})-xy(x+y)}{(x+y).(x-y)(x+y)}+\frac{2y}{x+y}$

= $\frac{(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}-xy)}{(x+y).(x-y)(x+y)}+\frac{2y}{x+y}$

= $\frac{(x+y)(x-y)^{2}}{(x+y).(x-y)(x+y)}+\frac{2y}{x+y}$

= $\frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}$

= $\frac{x-y+2y}{x+y}$

= $\frac{x+y}{x+y}$

= 1.

Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài tập 18: Hai máy bay cùng bay quãng đường 600 km. Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là 300 km/h. Gọi x (km/h) là tốc độ của máy bay thứ nhất (x > 0). Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay;

b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay;

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay.

Hướng dẫn trả lời:

a) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ nhất đã bay là: $\frac{600}{x}$ (giờ).

b) Phân thức biểu thị thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{600}{x+300}$ (giờ).

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là:

$\frac{600}{x}:\frac{600}{x+300}=\frac{600}{x}.\frac{x+300}{600}=\frac{x+300}{x}$

Vậy phân thức biểu thị tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay là: $\frac{x+300}{x}$.

Bài tập 19: Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là

y (m) với x > y > 4, bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như ở Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo x, y:

a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.

b) Tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa.

Hướng dẫn trả lời:

Chiều dài của vườn hoa là: x − 2 − 2 – x − 4 (m).

Chiều rộng của vườn hoa là: y – 2 – 2 = y – 4 (m).

a) Diện tích của mảnh đất là: xy (m²).

Diện tích của vườn hoa là: (x – 4)(y – 4) = xy – 4x – 4y + 16 (m²).

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa là:

$\frac{xy}{xy-4x-4y+16}$

b) Chu vi của mảnh đất là: 2(x + y) (m).

Chu vi của vườn hoa là: 2(x – 4 + y − 4) = 2(x + y − 8)(m).

Phân thức biểu thị tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa là:

$\frac{2(x+y)}{2(x+y-8)}=\frac{x+y}{x+y-8}$.