Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 3: Hình thang cân

I. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1 trang 101 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho biết hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD ở Hình 22 có song song với nhau hay không.

Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD ở Hình 22 có song song với nhau

Hoạt động 2 trang 101 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hai góc C và D cùng kề với đáy CD của hình thang ABCD ở Hình 23. Cho biết hai góc C và D có bằng nhau hay không.

Hai góc C và D có bằng nhau

II. TÍNH CHẤT

Hoạt động 1 trang 101 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD, E là giao điểm của AD và BC (Hình 25).

a) So sánh các cặp góc: EDC và ECD: EAB và EBA.

b) So sánh các cặp đoạn thẳng: EA và EB; ED và EC. Từ đó, hãy so sánh AD và BC.

c) Hai tam giác ADC và BCD có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh AC và BD.

a) Các cặp góc: EDC = ECD; EAB = EBA.

b) Các cặp đoạn thẳng: EA = EB; ED = EC =>  AD = BC.

c) Hai tam giác ADC và BCD có bằng nhau => AC = BD

Luyện tập 1 trang 102 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB//CD. Chứng mình ADBˆ=BCAˆ

ABCD là hình thang cân nên: DABˆ=CBAˆ; AD=BC. Xét 2 tam giác ADB và BCA, ta có:

• AD=BC
• DABˆ=CBAˆ
• AB chung

=> 2 tam giác ADB và BCA bằng nhau => 2 góc tương ứng là ADBˆ=BCAˆ

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

Hoạt động 4 trang 102 sgk Toán 8 tập 1 CD: Quan sát hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có hai đường chéo AC và BD bằng nhau. Kẻ BE song song với AC (E thuộc đường thẳng CD) (Hình 27).

a) Hai tam giác ABC và ECB có bằng nhau hay không?

b) So sánh các cặp góc: BEDˆ và BDEˆ; ACDˆ và BDEˆ.

c) Hai tam giác ACD và BDC có bằng nhau hay không? Từ đó, hãy so sánh ADCˆ và BCDˆ.

d) ABCD có phải là hình thang cân hay không?

a. Vì AB//CD, mà E thuộc đường thẳng CD nên AB//CE

Xét hai tam giác ABC và ECB có: 

• ABCˆ = ECBˆ (2 góc so le trong)
• BC chung
• BCAˆ = CBEˆ (2 góc so le trong)

=> Hai tam giác ABC và ECB bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc 

b. Từ câu a Hai tam giác ABC và ECB bằng nhau nên AC = BE. Mặt khác theo bài toán thì AC = BD

=> BE = BD => DBE là tam giác cân tại B => BEDˆ = BDEˆ

Theo bài toán ta có BE//AC => 2 góc đồng vị ACDˆ = BDEˆ.

c) Xét hai tam giác ACD và BDC: 

• AC = BD (theo bài toán)
• ACDˆ = BDCˆ (cùng bằng với BEDˆ)
• DC chung

=> Hai tam giác ACD và BDC bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. 

=> ADCˆ = BCDˆ (2 góc tương ứng)

d) ABCD có phải là hình thang cân vì có 2 góc kề một đáy bằng nhau là ADCˆ = BCDˆ

Luyện tập 2 trang 103 sgk Toán 8 tập 1 CD: Một ô cửa số có dạng hình chữ nhật với chiêu dài là 120 cm và chiêu rộng là 80 cm. Người ta mở rộng ô cửa số đó bằng cách tăng độ dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên 20 cm (mô tả ở Hình 29). Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình gì? Tính diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng.

Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình thang cân.

Diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng: 120 . 80 + 2.12 . 20 . 120 = 1 200 (cm2)

IV. BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 103 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD và T là giao điểm của AC và BD (Hình 30).

Chứng minh:

a) TADˆ=TBCˆ; TDAˆ=TCBˆ.

b) TA = TB, TD = TC.

c) MN là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD.

a. Xét 2 tam giác ADC và BCD có:

• AC = BD ( 2 đường chéo của hình thang cân)
• AD = BC (ABCD là hình thang cân)
• DC chung

=> 2 tam giác ADC và BCD bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh. 

=> DACˆ=CBDˆ hay TADˆ=TBCˆ. (đpcm)

Xét 2 tam giác ADB và BCA có: 

• AB chung
• AD = BC (ABCD là hình thang cân)
• DB = AC

=> 2 tam giác ADB và BCA bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

=> BDAˆ=ACBˆ  hay  TDAˆ=TCBˆ (đpcm)

b. Xét 2 tam giác ATD và BTC có: 

• TDAˆ=TCBˆ
• 2 góc đối ATDˆ=BTCˆ

=> TADˆ=TBCˆ (1)

AD= BC

CADˆ=DBCˆ (2 tam giác ADC = BDC theo trường hợp c-c-c)

Kết hợp với (1)

=> 2 tam giác ATD và BTC bằng nhau (g-c-g)

=> TA = TB (đpcm)

Lại có : 

AC = BD => AC - AT = BD - BT=> TC = TD (đpcm)

c. M là trung điểm của AB => MA = MB

Xét 2 tam giác AMT và BMT có:

• MA = MB
• MT chung
• AT = BT

=> 2 tam giác AMT và BMT bằng nhau (c-c-c)

=> AMTˆ=BMTˆ mà AMTˆ+BMTˆ = 180∘ (2 góc bù nhau)

=>  AMTˆ=BMTˆ = 90∘

=> MT là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Tương tự với 2 tam giác DTN và CTN (bằng nhau theo trường hợp c-c-c)

=> NT là đường trung trực của đoạn thẳng CD hay MN là đường trung trực của đoạn thẳng CD (3)

Từ (2) và (3) => đpcm

Bài tập 2 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

a. Vì 3 tam giác ABE, BED, BDC là các tam giác đều có cạnh bằng nhau nên:

ABEˆ = DBEˆ => AB//ED

CBDˆ = EBDˆ => BC//ED

Như vậy AB và BC cùng // với ED lại có chung điểm B nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng.(đpcm)

b. Xét tứ giác ACDE có: 

AC // DE=> tứ giác ACDE là hình thang

2 cạnh bên AE = CD (đều = a)

=> ACDE là hình thang cân. 

c. Diện tích của tứ giác ACDE = Tổng diện tích của 3 tam giác ABE, BED, BDC mà 3 tam giác ABE, BED, BDC đều bằng nhau nên ta chỉ cần tính diện tích của một tam giác BED. 

Gọi BM là đường cao của tam giác BED. Khi đó BM = a2−(a2)2−−−−−−−−√=a3√2

Diện tích tam giác BED là: 12.BM.ED=12.a3√2.a=a23√4

=> Diện tích của tứ giác ACDE = 3. a23√4 = a23√.34

Bài tập 3 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = NB < 12AB. Chứng minh tứ giác MNCD là hình thang cân.

Xét 2 tam giác vuông AMD (vuông tại A) và BNC (vuông tại B)

• AD= BC (2 cạnh đối của hình chữ nhật)
• AM = BN (giả thiết)

=> 2 tam giác vuông AMD và BNC bằng nhau => MD = NC

Tứ giác MNCD có:

MN//DC (vì AB//DC)

MD = NC

=> MNCD là hình thang cân

Bài tập 4 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Bài tập 5 trang 104 sgk Toán 8 tập 1 CD: Hình 33a là mặt cắt đứng phần chứa nước của một con mương (Hình 32) khi đây nước có đạng hình thang cân. Người ta mô tả lại bằng hình học mặt cắt đứng của con mương đó ở Hình 33b với BD // AE (B thuộc AC). H là hình chiếu của D trên đường thắng AC.

a) Chứng minh các tam giác BCD, BDE, ABE là các tam giác đều.

b) Tính độ dài của DH, AC.

c) Tính diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước.

a.

• Theo giả thiết BD // AE nên:

BDEˆ=60∘ (2 góc đồng vị)

BC//ED nên :

2 góc so le trong DBCˆ = BDEˆ=60∘ (1)

BCDˆ=60∘ (tính chất 2 góc so le trong)

Xét tam giác BCD có 2 góc BCDˆ= DBCˆ = 60∘ nên góc còn lại BDCˆcũng bằng 60∘. Hay tam giác BCD là tam giác đều.

• EDBˆ= 180∘ - 60∘ - DBCˆ = 180∘ - 60∘ - 60∘ = 60∘

Xét 2 tam giác BDE và BDC có: 

BD chung

EDBˆ = BDCˆ

ED = DC (2m)

=> 2 tam giác BDE và BDC bằng nhau mà tam giác BCD là tam giác đều nên tam giác BED cũng là tam giác đều.

• Theo giả thiết BD // AE nên:

BEDˆ = ABEˆ (2 góc so le trong)

Xét 2 tam giác ABE và DEB có: 

BEDˆ = ABEˆ

EB chung

DBCˆ = BDEˆ=60∘ (1)

=> 2 tam giác ABE và DEB bằng nhau mà tam giác DEB là tam giác đều => ABE cũng là tam giác đều. 

b. Vì tam giác ABE là tam giác đều nên AB = AE = 2m 

Vì tam giác BDC là tam giác đều nên BC = CD = 2m.

=> AC = AB+BC = 2+2 = 4m

Vì H là hình chiếu của D trên đường thắng AC nên HB = HC = 12 BC = 1m 

Xét tam giác vuông CHD có: HD = DC2−HC2−−−−−−−−−−√=22−12−−−−−−√=3–√ (m)

c. Diện tích tam giác đều DBC = 12.BC.HD=12.2.3–√=3–√(m2)

=> Diện tích mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương đó khi đầy nước là: 3.3–√(m2)