Giải chi tiết Toán 8 cánh diều mới bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ
Giải bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ sách Toán 8 cánh diều. Phần đáp án chuẩn, hướng dẫn giải chi tiết cho từng bài tập có trong chương trình học của sách giáo khoa. Hi vọng, các em học sinh hiểu và nắm vững kiến thức bài học.
KHỞI ĐỘNG
Khởi động trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Diện tích của hình vuông MNPQ (Hình 5) có thể được tính theo những cách nào?
Hướng dẫn trả lời:
Diện tích hình vuông MNPQ có thể tính bằng cách:
+ Cộng diện tích các hình nhỏ lại ta thu được kết quả: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
+ Tính cạnh của hình vuông là (a+b) sau đó tính được diện tích của hình vuông là: (a+b)2
Sau bài học hôm nay học sinh sẽ thấy được hai kết quả trên bằng nhau.
I. HẰNG ĐẲNG THỨC
Hoạt động 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Xét hai biểu thức: P = 2(x+y) và Q = 2x+2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:
a) Tại x = 1; y = - 1.
b) Tại x = 2; y = - 3
a) Tại x = 1; y = - 1
P = 2(1-1) = 0
Q = 2.1-2.1 = 0
=> P = Q
b) Tại x = 2; y = - 3
P = 2(2-3) = -2
Q = 2.2+2.(-3) = -2
=> P = Q
Luyện tập 1 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh rằng: x(xy2+y)-y(x2y+x)=0
Ta có: x(xy2+y)-y(x2y+x)
= x.xy2+xy-x2y.y-xy
=x2y2+xy-x2y2-xy=0 (đpcm)
II. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1. Bình phương của một tổng, một hiệu
Hoạt động 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD:
a) Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.
b) So sánh (a+b)2 và a2+2ab+b2.
c) So sánh (a-b)2 và a2-2ab+b2.
a) Diện tích hình vuông MNPQ có thể tính bằng cách:
+ Cộng diện tích các hình nhỏ lại ta thu được kết quả: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
+ Tính cạnh của hình vuông là (a+b) sau đó tính được diện tích của hình vuông là: (a+b)2
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ba+ab+b2=a2+2ab+b2 => Hai cách tính cho kết quả bằng nhau.
b) (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ba+ab+b2=a2+2ab+b2
=> (a+b)2 = a2+2ab+b2
c) (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ba-ab+b2=a2-2ab+b2
=> (a-b)2 = a2-2ab+b2
Luyện tập 2 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:
a) (x+$\frac{1}{2}$)2
b) (2x+y)2
c) (3-x)2
d) (x-4y)2
a) (x+$\frac{1}{2}$)2=x2+2.$\frac{1}{2}$x+$(\frac{1}{2})$2=x2+x+$\frac{1}{4}$
b) (2x+y)2=(2x)2+2.2x.y+y2=4x2+4xy+y2
c) (3-x)2=32-2.3.x+x2=9-6x+x2
d) (x-4y)2=x2-2.x.4y+(4y)2=x2-8xy+16y2
Luyện tập 3 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) y2 + y + 1/4
b) y2+49−14y.
a) y2+y+1/4=y2+2.y.$\frac{1}{2}$+$(\frac{1}{2})$2=(y+$\frac{1}{2}$)2
b) y2+49−14y=y2-2.7.y+72=(y-7)2
Luyện tập 4 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh 492
492=(50-1)2=502-2.50.1+12=2500-100+1=2401
2. Hiệu 2 bình phương
Hoạt động 3 trang 18 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a, b là 2 số thực bất kì. Thực hiện phép tính: (a-b)(a+b)
(a−b)(a+b) = a.a+a.b−b.a−b.b = a2-b2
Luyện tập 5 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 9x2-16;
b) 25-16y2.
a) 9x2-16=(3x-4)(3x+4)
b) 25-16y2=(5-4y)(5+4y)
Luyện tập 6 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:
a) (a-3b) (a+3b)
b) (2x-5) (2x+5)
c) (4y-1) (4y+1)
a) (a-3b) (a+3b) = a2 - (3b)2 =a2 - 9b2
b) (2x-5) (2x+5) = (2x)2−52 = 4x2−25
c) (4y-1) (4y+1) = (4y)2−12 = 16y2−1
Luyện tập 7 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh 48.52
48 . 52 = (50-2)(50+2) = 502−22 = 2 500 - 4 = 2496
3. Lập phương của một tổng, một hiệu.
Hoạt động 4 trang 20 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a,b là 2 số thực bát kì, thực hiện phép tính:
a) (a+b)(a+b)2.
b) (a−b)(a−b)2.
a) (a+b)(a+b)2
= (a+b)(a2+2ab+b2)
= a.a2+2.a.ab+a.b2+b.a2+b.2ab+b.b2
= a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
= a3+3a2b+3ab2+b3
b) (a−b)(a−b)2
= (a−b)(a2−2ab+b2)
= a.a2−2.a.ab+a.b2−b.a2+b.2ab−b.b2
= a3−2a2b+ab2−a2b+2ab2−b3
= a3−3a2b+3ab2−b3
Luyện tập 8 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính:
a) (3+x)3
b) (a+2b)3
c) (2x−y)3
a) (3+x)3
= 33+3.32x+3.3.x2+x3
= x3+9x2+27x+27
b) (a+2b)3
= a3+3.a2.2b+3.a.(2b)2+(2b)3
= a3+6a2b+12ab2+8b3
c) (2x−y)3 = (2x)3−3.(2x)2.y+3.2x.y2−b3
= 8x3−3.4x2.y+6x.y2−b3
= 8x3−12x2y+6xy2−b3
Luyện tập 9 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu: 8x3−36x2y+54xy2−27y3
Hướng dẫn trả lời:
8x3−36x2y+54xy2−27y3 = (2x)3−3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2−(3y)3 = (2x−3y)3
Luyện tập 10 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh: 1013−3.1012+3.101−1
1013−3.1012+3.101−1
= 1013−3.1012.1+3.101.12−13
= (101−1)3 = 1003
= 1 000 000
4. Tổng, hiệu hai lập phương
Hoạt động 5 trang 21 sgk Toán 8 tập 1 CD: Với a,b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính:
a) (a+b)(a2−ab+b2).
b) (a−b)(a2+ab+b2).
a) (a+b)(a2−ab+b2) =a.a2−a.ab+a.b2+b.a2−b.ab+b3
= a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3
= a3+b3
b) (a−b)(a2+ab+b2)
= a.a2+a.ab+a.b2−b.a2−b.ab−b3
= a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3
= a3−b3
Luyện tập 11 trang 22 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 27x3+1
b) 64−8y3
Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 27x3+1 = (3x)3+13=(3x+1)((3x)2−3x.1+12)=(3x+1)(9x2−3x+1)
b) 64−8y3 = 43−8y3 = (4−8y)(42+4.8y+(8y)2) = (4−8y)(16+32y+64y2)
III. BÀI TẬP
Bài tập 1 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 4x2+28x+49
b) 162−8y+1
c) 4a2+20ab+25b2
d) 9x2−6xy+y2
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 4x2+28x+49 = (2x)2+2.2x.7+72 = (2x+7)2
b) 162−8y+1 = (4y)2−2.4y.1+12=(4y−1)2
c) 4a2+20ab+25b2 = (2a)2+2.2a.5b+(5b)2=(2a+5b)2
d) 9x2−6xy+y2 = (3x)2−2.3x.y+y2=(3x−y)2
Bài tập 2 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu
a) a3+12a2+48a+64
b) x3−9x2y+27x−27
c) 8a3−12a2b+6ab2−b3
d) 27x3+54x2y+36xy2+8y3
a) a3+12a2+48a+64
= a3+3.a2.4+3.a.42+43
= (a+4)3
b) x3−9x2y+27x−27
= x3−3.x2.3+3.x.32+33
= (x−3)3
c) 8a3−12a2b+6ab2−b3
= (2a)3−3.(2a)2b+3.2a.b2−b3
= (2a−b)3
d) 27x3+54x2y+36xy2+8y3
= (3x)3+3.(3x)2.2y+3.3x.(2y)2+(2y)3
= (3x+2y)3
Bài tập 3 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:
a) 25x2−16
b) 8x3+1
c) 8x3−125
d) 27x3−y3
e) 16a2−9b2
g) 125x3+27y3
a) 25x2−16
=(5x)2−42
=(5x−4)(5x+4)
b) 8x3+1
= (2x)3+13
= (2x+1)((2x)2−2x.1+12)
= (2x+1)(4x2−2x+1)
c) 8x3−125
= (2x)3−53
=(2x−5)((2x)2+2x.5+52)
=(2x−5)(4x2+10x+25)
d) 27x3−y3
= (3x)3−y3
= (3x−y)((3x)2+3x.y+y2)
= (3x−y)(9x2+3xy+y2)
e) 16a2−9b2
= (4a)2−(3b)2
= (4a−3b)(4a+3b)
g) 125x3+27y3
= (5x)3+(3y)3
= (5x+3y)((5x)2−5x.3y+(3y)2)
= (5x+3y)(25x2−15xy+9y2)
Bài tập 4 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính giá trị của mỗi biểu thức:
a) A = x2+6x+10. tại x = -103
b) B = x3+6x2+12x+12 tại x = 8
a. A = x2+6x+10 = x2+2.x.3+32+1=(x+3)2+1.
Tại x = -103 thì A = (x+3)2+1 = (−103+3)2+1 = (−100)2+1 = 10 001
b. B = x3+6x2+12x+12 = x3+3.x2.2+3.x.22+23+4=(x+2)3+4
Tại x = 8 thì B = (x+2)3+4 = (8+2)3+4 = 1 004
Bài tập 5 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.
a) C = (3x−1)2+(3x+1)2−2(3x−1)(3x+1)
b) D = (x+2)3−(x−2)3−12(x2+1)
c) E = (x+3)(x2−3x+9)−(x−2)(x2+2x+4)
d) G = (2x−1)(4x2+2x+1)−8(x+2)(x2−2x+4)
a) C= (3x−1)2+(3x+1)2−2(3x−1)(3x+1)
= (3x−1)2+(3x+1)2−2(3x−1)(3x+1)
=(3x−1)2−2(3x−1)(3x+1)+(3x+1)2
= (3x−1−3x−1)2
= (−2)2
= 4.
Giá trị của biểu thức C luôn luôn bằng 4 với mọi x
b) D = (x+2)3−(x−2)3−12(x2+1)
= (x+2)3−(x−2)3−12(x2+1)
= (x3+3.x2.2+3.x.22+23)−(x3−3.x2.2+3.x.22−23)−12x2−12
= x3+6x2+12.x+8−x3+6x2−12x+8−12x2−12=−4.
Giá trị của biểu thức D luôn luôn bằng -4 với mọi x
c) E = (x+3)(x2−3x+9)−(x−2)(x2+2x+4)
= (x+3)(x2−3x+9)−(x−2)(x2+2x+4)
= (x.x2−x.3x+9x+3x2−9x+27)−(x.x2+x.2x+4x−2x2−2.2x−2.4)
= (x3−3x2+9x+3x2−9x+27)−(x3+2x2+4x−2x2−4x−8)
=(x3+27)−(x3−8)
= x3+27−x3+8
= 35
Giá trị của biểu thức E luôn luôn bằng 35 với mọi x
d) G = (2x−1)(4x2+2x+1)−8(x+2)(x2−2x+4)
= (2x−1)(4x2+2x+1)−8(x+2)(x2−2x+4)
= (8x3+4x2+2x−4.x2−2x−1)−(8x3−16x2+32x+16x2−32x+64)
= (8x3−1)−(8x3+64)
= 8x3−1−8x3−64
= −65.
Giá trị của biểu thức G luôn luôn bằng -65 với mọi x
Bài tập 6 trang 23 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính nhanh: (0,76)3+(0,24)3+3.0,76.0,24
(0,76)3+(0,24)3+3.0,76.0,24
= (1-0,24)3+(0,24)3+3.0,76.0,24
= 1-3.1.0,24+3.1.(0,24)2-(0,24)3+(0,24)3+3.0,24-3.(0,24)2
= 1