Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 Cánh diều bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Hằng đẳng thức

Bài 1: Xét hai biểu thức: P = 2(x + y) và Q = 2x + 2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:

a. Tại x = 1; y = - 1.

b. Tại x = 2; y = - 3

Hướng dẫn trả lời:

a) Tại x = 1; y = −1, ta có:

+) P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;

+) Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0.

Vậy tại x = 1; y = −1 thì P = Q.

b) Tại x = 2; y = −3, ta có:

+) P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;

+) Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2.

Vậy tại x = 2; y = −3 thì P = Q. 

Bài 2: Chứng minh rằng:…

Hướng dẫn trả lời:

x(xy² + y) – y(x²y + x)

= x . xy² + x . y – y . x²y – y . x

= x²y² + xy – x²y² – xy

= 0 (đpcm) 

II. Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, hiệu

Bài 1: Với a, b là 2 số thức bất kì, thực hiện phép tính:

a. (a + b)(a + b)

b. (a - b)(a - b)

Hướng dẫn trả lời:

a.     (a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a² + 2ab + b²;

Vậy với 2 số thức bất kì (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²

b.    (a – b)(a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a² – 2ab + b².

Vậy với 2 số thức bất kì (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²

Bài 3: Tính:…

Hướng dẫn trả lời:

a) (x + $\frac{1}{2}$)² = x² + 2.x.$\frac{1}{2}$ + ($\frac{1}{2}$)²

= x² + x + $\frac{1}{4}$

b) (2x + y)² 

= (2x)² + 2 . 2x . y + y² 

= 4x² + 4xy + y²;

c) (3 – x)² 

= 3² – 2 . 3 . x + x²

= 9 – 6x + x²;

d) (x – 4y)² 

= x² – 2 . x . 4y + (4y)² 

= x² – 8xy + 16y². 

Bài 4: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

Hướng dẫn trả lời:

a) y² + y + $\frac{1}{4}$

= y² + 2.$\frac{1}{2}$y + ($\frac{1}{2}$)²

= (y + $\frac{1}{2}$)²

b) y² + 49 – 14y

= y² – 2 . 7 . y + 7² 

= (y – 7)².

Bài 5: Tính nhanh 49²

Hướng dẫn trả lời:

49² = (50-1)² = 50² - 250.1 + 1² 

=2500 - 100 + 1 = 2401

2. Hiệu của hai bình phương

Bài 6: Với a, b là 2 số thực bất kì. Thực hiện phép tính: (a - b)(a + b)

Hướng dẫn trả lời:

(a – b)(a + b)

= a . a + a . b – b . a + b . b

= a² – b².

Vậy với a, b là 2 số thực bất kì: (a – b)(a + b) = a² – b²

Bài 7: Viết biểu thức sau dưới dạng tích:…

Hướng dẫn trả lời:

a) 9x² – 16 = (3x)² – 4² = (3x + 4)(3x – 4);

b) 25 – 16y² = 5² – (4y)² = (5 + 4y)(5 – 4y).

Bài 8: Tính:…

Hướng dẫn trả lời:

a) (a – 3b)(a + 3b)

= a² – (3b)² 

= a² – 9b²;

b) (2x + 5)(2x – 5)

= (2x)² – 5² 

= 4x² – 25;

c) (4y – 1)(4y + 1)

= (4y)² – 1

= 16y² – 1.

Bài 9: Tính nhanh 48.52

Hướng dẫn trả lời:

   48 . 52

= (50 – 2)(50 + 2)

= 50² – 2² 

= 2500 – 4

= 2496.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Bài 10: Với a, b là 2 số thực bất kì, thực hiện phép tính:…

Hướng dẫn trả lời:

a) (a + b)(a + b)²

= (a + b)(a² + 2ab + b²)

= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

b) (a – b)(a² – 2ab + b²)

= a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²)

= a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Bài 11: Tính:…

Hướng dẫn trả lời:

a) (3 + x)²

= 3³ + 3 . 3² . x + 3 . 3 . x² + x³ 

= 27 + 27x + 9x² + x³;

b) (a + 2b)³ 

= a³ + 3 . a² . 2b + 3 . a . (2b)² + (2b)³

= a³ + 6a²b + 12ab² + 8b³;

c) (2x – y)³ 

= (2x)³ - 3(2x)².y + 3.2x.y² - y³

= 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³

Bài 12: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu:…

Hướng dẫn trả lời:

    8x³ – 36x²y + 54xy² – 27y³

= (2x)³ – 3 . (2x)² . 3y + 3 . 2x . (3y)² – (3y)³

= (2x – 3y)³. 

Bài 13: Tính nhanh...

Hướng dẫn trả lời:

101³ – 3 . 101² + 3 . 101 – 1

= 101³ – 3 . 101² . 1 + 3 . 101 . 1² – 1³

= (101 – 1)³ = 100³ = 1 000 000. 

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Bài 14:  Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính: …

Hướng dẫn trả lời:

 a) (a + b)(a² – ab + b²)

= a . a² – a . ab + a . b² + b . a² – b . ab + b . b²

= a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ 

= a³ + b³.

b) (a – b)(a² + ab + b²)

= a . a² + a . ab + a . b² – b . a² – b . ab – b . b²

= a³ + a²b + a²b – a²b – a²b – b³ 

= a³ – b³. 

Bài 15: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:…

Hướng dẫn trả lời:

a) 27x³ + 1

= (3x)³ + 1³ 

= (3x + 1)[(3x)² – 3x . 1 + 1²]

b) 64 – 8y³ 

= 4³ – (2y)³ 

= (4 + 2y)(4 – 2y). 

III. Bài tập

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:…

Hướng dẫn trả lời:

a)    4x² + 28x + 49

= (2x)² + 2 . 2x . 7 + 7² 

= (2x + 7)²;

b)    4a² + 20ab + 25b²

= (2a)² + 2.2a.5b + (5b)²

= (2a+5b) ²;

c)    16y² – 8y + 1

= (4y)² – 2 . 4y . 1 + 1² 

= (4y – 1)²;

d)    9x² − 6xy + y² 

= (3x) ² − 2.3x.y + y²

= (3x−y)² 

Bài 2: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu…

Hướng dẫn trả lời:

a) a³ +12a² + 48a + 64 = (a + 4)³;

b) 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³ = (3x+2y)³;

c) x³ – 9x² + 27x – 27 = (x – 3)³;

d) 8a³ − 12a²b + 6ab² − b³ = (2a − b)³ 

Bài 3: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:…

Hướng dẫn trả lời:

a) 25x² – 16

= (5x)² – 4² 

= (5x + 4)(5x – 4);

b) 8x³ + 1

= (2x)³ + 1

= (2x + 1)(4x² – 2x + 1);

c) 8x³ – 125

= (2x)³ – 5³ 

= (2x – 5)(4x² + 10x + 25);

d) 27x³ – y³ 

= (3x)³ – y³ 

= (3x – y)(9x² + 3xy + y²)

e) 16a² – 9b² 

= (4a)² – (3b)² 

= (4a + 3b)(4a – 3b);

g) 125x³ + 27y³ 

= (5x)³ + (3y)³ 

= (5x + 3y)(25x² – 15xy + 9y²); 

Bài 4: Tính giá trị của mỗi biểu thức:

Hướng dẫn trả lời:

a) A = x² + 6x + 10

= x² + 6x + 9 + 1

= (x + 3)² + 1.

Thay x = -103 vào biểu thức A:

A = (−103 + 3)² + 1 = (−100)² + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.

Vậy A = 10 001 tại x = −103.

b) B = x³ + 6x² + 12x + 12

= x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² + 2³ + 4

= (x + 2)³ + 4.

Thay x = 8 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 + 2)³ + 4 = 10³ + 4 = 1004.

Vậy B = 1004 tại x = 8.

Bài 5: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x…

Hướng dẫn trả lời:

a) C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

= [(3x – 1) – (3x + 1)]²

= (3x – 1 – 3x – 1)²

= (– 1 – 1)²

= (–2)² = 4.

Vậy C không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²] – 12(x² + 1)

= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)² + x² – 2² + (x – 2)²] – 12x² – 12

= 4(x² + 4x + 4 + x² – 4 +x²– 4x + 4) – 12x² – 12

= 4(3x² + 4) – 12x² – 12

= 12x² + 16 – 12x² – 12 = 4.

Vậy D không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

= (x³ + 3³) – (x³ – 2³)

= x³ + 27 – x³ + 8

= 35.

Vậy E không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

= [(2x)³ – 1³] – 8(x³ + 2³)

= (8x³ – 1) – 8(x³ + 8)

= 8x³ – 1 – 8x³ – 64

= – 65.

Vậy G không phụ thuộc vào biến x.

Bài 6: Tính nhanh:

Hướng dẫn trả lời:

(0,76)³ + (0,24)³ + 3 . 0,76 . 0,24

= (0,76 + 0,24)³ – 3 . 0,76 . 0,24 . (0,76 + 0,24) + 3 . 0,76 . 0,24

= 1³ – 3 . 0,76 . 0,24 . 1 + 3 . 0,76 . 0,24 = 1