Bài 1: Xét hai biểu thức: P = 2(x + y) và Q = 2x + 2y. Tính giá trị của mỗi biểu thức P và Q rồi so sánh hai giá trị đó trong mỗi trường hợp sau:
a. Tại x = 1; y = - 1.
b. Tại x = 2; y = - 3
Hướng dẫn trả lời:
a) Tại x = 1; y = −1, ta có:
+) P = 2 . [1 + (−1)] = 2 . 0 = 0;
+) Q = 2 . 1 + 2 . (−1) = 2 – 2 = 0.
Vậy tại x = 1; y = −1 thì P = Q.
b) Tại x = 2; y = −3, ta có:
+) P = 2 . [2 + (−3)] = 2 . (−1) = −2;
+) Q = 2 . 2 + 2 . (−3) = 4 – 6 = −2.
Vậy tại x = 2; y = −3 thì P = Q.
Bài 2: Chứng minh rằng:…
Hướng dẫn trả lời:
x(xy2 + y) – y(x2y + x)
= x . xy2 + x . y – y . x2y – y . x
= x2y2 + xy – x2y2 – xy
= 0 (đpcm)
1. Bình phương của một tổng, hiệu
Bài 1: Với a, b là 2 số thức bất kì, thực hiện phép tính:
a. (a + b)(a + b)
b. (a - b)(a - b)
Hướng dẫn trả lời:
a. (a + b)(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a2 + 2ab + b2;
Vậy với 2 số thức bất kì (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
b. (a – b)(a – b) = a . a – a . b – b . a + b . b = a2 – 2ab + b2.
Vậy với 2 số thức bất kì (a - b)(a - b) = a2 - 2ab + b2
Bài 3: Tính:…
Hướng dẫn trả lời:
a) (x + $\frac{1}{2}$)2 = x2 + 2.x.$\frac{1}{2}$ + ($\frac{1}{2}$)2
= x2 + x + $\frac{1}{4}$
b) (2x + y)2
= (2x)2 + 2 . 2x . y + y2
= 4x2 + 4xy + y2;
c) (3 – x)2
= 32 – 2 . 3 . x + x2
= 9 – 6x + x2;
d) (x – 4y)2
= x2 – 2 . x . 4y + (4y)2
= x2 – 8xy + 16y2.
Bài 4: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
Hướng dẫn trả lời:
a) y2 + y + $\frac{1}{4}$
= y2 + 2.$\frac{1}{2}$y + ($\frac{1}{2}$)2
= (y + $\frac{1}{2}$)2
b) y2 + 49 – 14y
= y2 – 2 . 7 . y + 72
= (y – 7)2.
Bài 5: Tính nhanh 492
Hướng dẫn trả lời:
492 = (50-1)2 = 502 - 250.1 + 12
=2500 - 100 + 1 = 2401
2. Hiệu của hai bình phương
Bài 6: Với a, b là 2 số thực bất kì. Thực hiện phép tính: (a - b)(a + b)
Hướng dẫn trả lời:
(a – b)(a + b)
= a . a + a . b – b . a + b . b
= a2 – b2.
Vậy với a, b là 2 số thực bất kì: (a – b)(a + b) = a2 – b2
Bài 7: Viết biểu thức sau dưới dạng tích:…
Hướng dẫn trả lời:
a) 9x2 – 16 = (3x)2 – 42 = (3x + 4)(3x – 4);
b) 25 – 16y2 = 52 – (4y)2 = (5 + 4y)(5 – 4y).
Bài 8: Tính:…
Hướng dẫn trả lời:
a) (a – 3b)(a + 3b)
= a2 – (3b)2
= a2 – 9b2;
b) (2x + 5)(2x – 5)
= (2x)2 – 52
= 4x2 – 25;
c) (4y – 1)(4y + 1)
= (4y)2 – 1
= 16y2 – 1.
Bài 9: Tính nhanh 48.52
Hướng dẫn trả lời:
48 . 52
= (50 – 2)(50 + 2)
= 502 – 22
= 2500 – 4
= 2496.
3. Lập phương của một tổng, một hiệu
Bài 10: Với a, b là 2 số thực bất kì, thực hiện phép tính:…
Hướng dẫn trả lời:
a) (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2 + 2ab + b2)
= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
b) (a – b)(a2 – 2ab + b2)
= a(a2 – 2ab + b2) – b(a2 – 2ab + b2)
= a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Bài 11: Tính:…
Hướng dẫn trả lời:
a) (3 + x)2
= 33 + 3 . 32 . x + 3 . 3 . x2 + x3
= 27 + 27x + 9x2 + x3;
b) (a + 2b)3
= a3 + 3 . a2 . 2b + 3 . a . (2b)2 + (2b)3
= a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3;
c) (2x – y)3
= (2x)3 - 3(2x)2.y + 3.2x.y2 - y3
= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
Bài 12: Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu:…
Hướng dẫn trả lời:
8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3
= (2x)3 – 3 . (2x)2 . 3y + 3 . 2x . (3y)2 – (3y)3
= (2x – 3y)3.
Bài 13: Tính nhanh...
Hướng dẫn trả lời:
1013 – 3 . 1012 + 3 . 101 – 1
= 1013 – 3 . 1012 . 1 + 3 . 101 . 12 – 13
= (101 – 1)3 = 1003 = 1 000 000.
4. Tổng và hiệu của hai lập phương
Bài 14: Với a, b là hai số thực bất kì, thực hiện phép tính: …
Hướng dẫn trả lời:
a) (a + b)(a2 – ab + b2)
= a . a2 – a . ab + a . b2 + b . a2 – b . ab + b . b2
= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3
= a3 + b3.
b) (a – b)(a2 + ab + b2)
= a . a2 + a . ab + a . b2 – b . a2 – b . ab – b . b2
= a3 + a2b + a2b – a2b – a2b – b3
= a3 – b3.
Bài 15: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:…
Hướng dẫn trả lời:
a) 27x3 + 1
= (3x)3 + 13
= (3x + 1)[(3x)2 – 3x . 1 + 12]
b) 64 – 8y3
= 43 – (2y)3
= (4 + 2y)(4 – 2y).
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:…
Hướng dẫn trả lời:
a) 4x2 + 28x + 49
= (2x)2 + 2 . 2x . 7 + 72
= (2x + 7)2;
b) 4a2 + 20ab + 25b2
= (2a)2 + 2.2a.5b + (5b)2
= (2a+5b) 2;
c) 16y2 – 8y + 1
= (4y)2 – 2 . 4y . 1 + 12
= (4y – 1)2;
d) 9x2 − 6xy + y2
= (3x) 2 − 2.3x.y + y2
= (3x−y)2
Bài 2: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu…
Hướng dẫn trả lời:
a) a3 +12a2 + 48a + 64 = (a + 4)3;
b) 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 = (3x+2y)3;
c) x3 – 9x2 + 27x – 27 = (x – 3)3;
d) 8a3 − 12a2b + 6ab2 − b3 = (2a − b)3
Bài 3: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tích:…
Hướng dẫn trả lời:
a) 25x2 – 16
= (5x)2 – 42
= (5x + 4)(5x – 4);
b) 8x3 + 1
= (2x)3 + 1
= (2x + 1)(4x2 – 2x + 1);
c) 8x3 – 125
= (2x)3 – 53
= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25);
d) 27x3 – y3
= (3x)3 – y3
= (3x – y)(9x2 + 3xy + y2)
e) 16a2 – 9b2
= (4a)2 – (3b)2
= (4a + 3b)(4a – 3b);
g) 125x3 + 27y3
= (5x)3 + (3y)3
= (5x + 3y)(25x2 – 15xy + 9y2);
Bài 4: Tính giá trị của mỗi biểu thức:
Hướng dẫn trả lời:
a) A = x2 + 6x + 10
= x2 + 6x + 9 + 1
= (x + 3)2 + 1.
Thay x = -103 vào biểu thức A:
A = (−103 + 3)2 + 1 = (−100)2 + 1 = 10 000 + 1 = 10 001.
Vậy A = 10 001 tại x = −103.
b) B = x3 + 6x2 + 12x + 12
= x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 + 4
= (x + 2)3 + 4.
Thay x = 8 vào biểu thức B, ta được:
B = (8 + 2)3 + 4 = 103 + 4 = 1004.
Vậy B = 1004 tại x = 8.
Bài 5: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x…
Hướng dẫn trả lời:
a) C = (3x – 1)2 + (3x + 1)2 – 2(3x – 1)(3x + 1)
= [(3x – 1) – (3x + 1)]2
= (3x – 1 – 3x – 1)2
= (– 1 – 1)2
= (–2)2 = 4.
Vậy C không phụ thuộc vào biến x.
b) D = (x + 2)3 – (x – 2)3 – 12(x2 + 1)
= [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)2 + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)2] – 12(x2 + 1)
= (x + 2 – x + 2)[(x + 2)2 + x2 – 22 + (x – 2)2] – 12x2 – 12
= 4(x2 + 4x + 4 + x2 – 4 +x2– 4x + 4) – 12x2 – 12
= 4(3x2 + 4) – 12x2 – 12
= 12x2 + 16 – 12x2 – 12 = 4.
Vậy D không phụ thuộc vào biến x.
c) E = (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (x – 2)(x2 + 2x + 4)
= (x3 + 33) – (x3 – 23)
= x3 + 27 – x3 + 8
= 35.
Vậy E không phụ thuộc vào biến x.
d) G = (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) – 8(x + 2)(x2 – 2x + 4)
= [(2x)3 – 13] – 8(x3 + 23)
= (8x3 – 1) – 8(x3 + 8)
= 8x3 – 1 – 8x3 – 64
= – 65.
Vậy G không phụ thuộc vào biến x.
Bài 6: Tính nhanh:
Hướng dẫn trả lời:
(0,76)3 + (0,24)3 + 3 . 0,76 . 0,24
= (0,76 + 0,24)3 – 3 . 0,76 . 0,24 . (0,76 + 0,24) + 3 . 0,76 . 0,24
= 13 – 3 . 0,76 . 0,24 . 1 + 3 . 0,76 . 0,24 = 1