Soạn mới giáo án Toán 11 CTST bài Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1

+ GV chiếu lại hình vẽ và mô tả: Khi x càng dần đến 1 thì f(x) càng dần đến 4, hay có thể nói : “Hàm số y = f(x) có giới hạn là 4 khi x dần đến 1”.

- GV hướng dẫn: Ta có thể sử dụng khái niệm giới hạn dãy số đã học để định nghĩa về khái niệm giới hạn hàm số.

- GV giới thiệu về khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Lưu ý: viết khoảng K thay có các khoảng

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 1

+ Tìm tập xác định của hàm số.

+ Để tính giới hạn hàm số khi x dần tiến tới -2, ta xét dãy số  thỏa mãn điều kiện rồi tính giới hạn  khi

- GV đặt câu hỏi:

+ Tính ;

+ Từ đó khái quát với trường hợp tổng quát

- HS thực hiện Thực hành 1.

- GV dẫn dắt: ta đã học các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số, liệu với giới hạn hữu hạn của hàm số thì sao?

- HS thực hiện HĐKP 2 theo nhóm đôi.

Từ kết quả trên, tương tự HS có thể khái quát về các phép toán giới hạn hữu hạn của hàm số.

+ GV chú ý điều kiện với các giới hạn  và

 và

thì  và .

- GV đặt câu hỏi:

+ Áp dụng định nghĩa và các phép toán hãy tính

k là số nguyên dương;

+ Hãy chứng minh

 nếu tồn tại

- GV hướng dẫn Ví dụ 2 và Ví dụ 3.

+ VD2: sử dụng phép toán tổng hiểu, tích, thương để đưa về các giới hạn cơ bản hơn.

+ VD3: nhận thấy các giới hạn đều có dạng .

Muốn tính được phải khử mẫu, tức khử nhân tử chứa .

+ Các cách thông thường để khử mẫu là phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân liên hợp để khử mẫu.

- HS áp dụng làm Thực hành 2. GV yêu cầu HS nêu cách làm, giải thích.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

HĐKP 1

a) Khi  càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4 .

b) Điểm  càng gần đến điểm  trên trục tung khi điểm  càng gần về điểm  trên trục hoành.

*) Sử dụng giới hạn dãy số

Lấy dãy số  bất kì sao cho ta có

Do đó,

Ta nói hàm số   có giới hạn là 4 khi x dần tới 1.

Kết luận:

Cho điểm  thuộc khoảng K và hàm số  xác định trên K hoặc . Ta nói hàm số  có giới hạn là số  khi  dần tới  nếu với dãy số  bất kì,  và , thì , kí hiệu  hay
 khi .

Ví dụ 1 (SGK -tr.72)

Nhận xét

Thực hành 1

a) Giả sử  là dãy số bất kì, thoả mãn  với mọi  và . Ta có

Vậy .

b) Giả sử  là dãy số bất kì, thoả mãn  với mọi  và  khi . Ta có

Vậy .

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

HĐKP 2

a) Ta có

.

b) Vì  

nên .

Ta có:

.

Do đó .

Từ (1) và (2) suy ra

.

Kết luận

+ Cho  và . Khi đó

+ Nếu  và

thì  và .

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng tìm giới hạn,

Nhận xét:

a) k là số nguyên dương;

b)  nếu tồn tại

Ví dụ 2 (SGK -tr.73)

Ví dụ 3 (SGK -tr.73)

Thực hành 2

a)

.

b)

.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

Từ kết quả của HĐKP 3, ta nhận thấy giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tiến tới hai phía khác nhau của giá trị x = 1 là hai giá trị giới hạn khác nhau.

- GV giới thiệu về giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số khi x dần .

- GV chú ý cho HS các kết quả.

+ Sử dụng kết quả này để tính xét sự tồn tại của giới hạn tại một điểm với một số hàm số.

+ Khi tính giới hạn một phía vẫn sử dụng các phép toán về giới hạn đã học ở mục 2.

- GV hướng dẫn HS đọc hiểu Ví dụ 4

+ Với hàm số đã cho để xét sự tồn tại của giới hạn hàm số tại x = 0 phải tính giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của 0.

+ Xác định hàm số tương ứng khi  và từ đó tính giới hạn.

+ GV chú ý: Để tính giới hạn của hàm số này tại các điểm   không cần tính giới hạn một phía.

- HS luyện tập làm Thực hành 3, thực hiện cách làm tương tự Ví dụ 4.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

3. Giới hạn một phía

HĐKP 3:

a) Khi  thì  nên .

b) Khi  thì  nên .

c) Ta thấy, mặc dù  nhưng .

Kết luận

- Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói  có giới hạn bên phải là số L khi  nếu với dãy số  bất kì thoả mãn  và , thì , kí hiệu .

- Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói  có giới hạn bên trái là số L khi  nếu với dãy số  bất kì thoả mãn  và , thì , kí hiệu .

Chú ý:

a)

 và  khi và chỉ khi

Nếu  thì không tồn tại

b) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi ta thay  bằng  hoặc .

Ví dụ 4 (SGK -tr.74)

Thực hành 3

Cách 1: Sử dụng dãy số như định nghĩa.

Cách 2: (Sử dụng biểu thức xác định hàm số trên từng khoảng)

Với  nên

.

Với  nên

  .

Do  nên .

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 4.

Từ hàm phân thức đã cho HS quan sát và nhận thấy giới hạn hàm số khi x dần tới  và khi  dần tới .

- GV giới thiệu cách sử dụng giới hạn dãy số để tính giới hạn hàm số tại vô cực.

- GV nêu khái niệm giới hạn hàm số tại vô cực.

- GV hướng dẫn HS làm Ví dụ 5.

Các cách tính giới hạn hàm số tại vô cực như cách làm với giới hạn dãy số.

+ Với các hàm số ta cần xác định được tập xác định của hàm số.

- GV yêu cầu HS tính

Từ đó khái quát tính chất.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

HĐKP 4

a)

Giá trị của  dần về 0 khi  dần tới .

b)

Giá trị của  dần về 0 khi  dần tới .

*) Sử dụng giới hạn dãy số

Xét hàm số . Lấy dãy số  bất kì sao cho  và Khi đó

Kết luận

- Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói hàm số  có giới hạn hữu hạn là số  khi  nếu với dãy số  bất kì,  a và , ta có ,

kí hiệu  hay  khi .

- Cho hàm số  xác định trên khoảng . Ta nói hàm số  có giới hạn là số  khi  nếu với dãy số  bất kì,  và , ta có , kí hiệu  hay  khi .

Ví dụ 5 (SGK -tr.76)

Chú ý

- Với  là hằng số,  là một số nguyên dương ta có:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.