Soạn mới giáo án Toán 11 CTST bài Chương 7 Bài 1: Đạo hàm

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Thông qua việc xét bài toán chuyển động rơi của vật, HS nhận biết khái niệm và cách tính vận tốc tức thời thông qua giới hạn của tốc độ trung bình của chuyển động. Qua đó, HS bước đầu làm quen với khái niệm đạo hàm.

-     Từ kết quả của hoạt động trên, GV mở rộng bài toán giới thiệu giới hạn  được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm , kí hiệu . Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số

Kí hiệu:

-    GV giới thiệu định nghĩa đạo hàm.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 1.

+ Áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm.

-    GV chú ý cho HS.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 2.

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại .

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại hàm số  với .

- Áp dụng đinh nghĩa hoàn thành phần Thực hành 1.

-    GV đưa chú ý

-     GV đặt câu hỏi mở rộng: “Vậy đạo hàm có ý nghĩa gì trong vật lí?”

- HS làm Vận dụng 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc .

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Đạo hàm

HĐKP 1:

Quãng đường rơi tự do của vật biểu diễn bởi công thức:

a) Kết quả: (Bảng dưới)

Khi  càng gần  thì giá trị của  càng gần về .

b) Tại , ta có:

.

c) .

Định nghĩa

Cho hàm số  xác định trên khoảng  và .

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

Thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại , kí hiệu là  hoặc .

Vậy: .

Ví dụ 1 (SGK – tr.38)

Chú ý

Cho hàm số  xác định trên khoảng . Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm  thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng , kí hiệu  hoặc .

Ví dụ 2 (SGK – tr.38)

Thực hành 1

Với bất kì  ta có:

Vậy .

Chú ý

Cho hàm số  xác định trên khoảng , có đạo hàm tại .

a) Đại lượng  gọi là số gia của biến tại . Đại lượng  gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó,  và

b) Tỉ số  biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ  đến ; còn  biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng  tại thời điểm .

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

-  Nếu hàm số  biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian  thì  biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm .

-  Nếu hàm số  biểu thị nhiệt độ  theo thời gian  thì  biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm .

Vận dụng 2

Vậy tại thời điểm  vận tốc tức thời của chuyển động là

Khoảng thời gian

[5;6]

[5; 5,1]

[5; 5,05]

[5; 5,01]

[5; 5,001]

[4,999; 5]

[4,99; 5]

53,9

49,49

49,245

49,049

48,9951

48,9951

48,951

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 2.

-    GV nhận xét về vị trí tương đối của d và đồ thị (C): “Khi đó đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị  tại điểm .”

-    GV giới thiệu bài toán mở rộng, đặt câu hỏi cho HS:

+ Hệ số góc của cát tuyến  được tính bằng công thức nào?

+ Khi  dần tới  thì điểm M di chuyển như thế nào?

+ Khi đó, nói cát tuyến  là tiếp tuyến của  được không? Vì sao?

+ Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bằng công thức gì?

-    GV tổng quát, giới thiệu phương trình tiếp tuyến.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 3.

+ Áp dụng công thức viết phươn trình tiếp tuyến tại M.

-     GV cho HS thực hiện HĐTH 2 độc lập, mời 1 HS lên bảng trình bày.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

HĐKP 2:

a)

Ta có:

b) Ta có:  đi qa  và có hệ số góc bằng  nên:

Ta có hình vẽ sau:

Nhận xét: Đường thẳng  cắt đồ thị hàm số  tại duy nhất một điểm .

Trong mặt phẳng tọa độ , cho đồ thị  của hàm số  và điểm  thuộc . Xét  là một điểm di chuyển trên .

-  Hệ số góc của cát tuyến  được tính bởi công thức

-  Khi cho  dần tới  thì  di chuyển trên  tới .

-  Giả sử cát tuyến  có vị trí giới hạn là  thì  được gọi là tuyến tuyến của

tại  và  được gọi là tiếp điểm.

-  Hệ số góc của tiếp tuyến  là:

Phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số  xác định trên khoảng  và có đạo hàm tại . Gọi  là đồ thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số  tại điểm  là hệ số góc của tiếp tuyến  của  tại điểm

Tiếp tuyến   có phương trình là

Ví dụ 3 (SGK – tr.40)

HĐTH 2

Ta có:

.

Phương trình tiếp tuyến của  tại điểm  là:

.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

+ Tính tổng số tiền gửi và tiền lãi sau một năm nếu gửi theo kì hạn là 1 năm.

+ Tính tổng số tiền gửi và tiền lãi sau một năm nếu gửi theo kì hạn là tháng.

-   GV đặt câu hỏi gợi mở: “Hãy thiết lập công thức tính số tiền vốn và lãi sau một năm nếu gửi theo hình thức lãi 1 ngày, 1 giờ , 1 phút,..”

-   GV yêu cầu học sinh nêu công thức tính tổng quát.

-  GV giới thiệu về số .

- HS đọc, giải thích Ví dụ 4.

-  GV cho HS thực hiện HĐTH 3 độc lập, mời 1 HS lên bảng trình bày.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

3. Số

HĐKP 3:

a) Nếu người gửi với kì hạn một năm số tiền lãi sau một năm là A.r.

Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là:

b) Nếu người gửi với kì hạn một tháng thì số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: .

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là:

-  Số tiền lãi sau than thứ hai là: .

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là:

Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm là:

.

Tiền lãi và vốn tính theo kì hạn tương ứng là: ;

;

;...

Tổng quát, nếu một năm được chia thành  kì hạn thì

(với .

Khi kì hạn càng ngắn thì càng lớn, do đói  càng lớn. Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn

(với  là số vô tỉ và

Khi kì hạn trở nên rất ngắn (m dần đến ) thì  dần đến , và do đó dần đến .

Ví dụ 4 (SGK – tr.41)

Thực hành 3

a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:

 (đồng).

b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:

 (đồng).