Giải sách bài tập Toán 8 cánh diều bài 1: Định lí Pythagore

Bài tập 1: Tính độ dài x, y, z, t ở các hình 3a, 3b, 3c, 3d (độ dài ở các hình là cùng đơn vị đo):

Hướng dẫn trả lời:

a) Do tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí pythagore ta có:

$x^{2}=(\sqrt{17})^{2}+(\sqrt{19})^{2}$ = 17 + 19 = 36.

Hay x = 6 (đơn vị độ dài).

b) Do tam giác DEG vuông tại G nên theo định lí pythagore ta có:

$10^{2}=6^{2}+y^{2}$ => $y^{2}=10^{2}-6^{2}$ = 64.

Hay y = 8 (đơn vị độ dài).

c) Do tam giác HIK vuông cân tại H nên theo định lí pythagore ta có:

$z^{2}=3^{2}+3^{2}$ = 18 hay z = 3$\sqrt{2}$ (đơn vị độ dài).

d) Do tam giác MQN vuông tại Q nên theo định lí pythagore ta có:

$3^{2}+MQ^{2}=9^{2}$ => $MQ^{2}=9^{2}-3^{2}$

Do tam giác MQP vuông tại Q nên theo định lí pythagore ta có:

$t^{2}+MQ^{2}=11^{2}$ => $t^{2}=11^{2}-MQ^{2}$ = $11^{2}-(9^{2}-3^{2})$ = 49

Hay t = 7 (đơn vị độ dài).

Bài tập 2: Hình 4 mô tả một chiếc thước của người thợ sử dụng khi xây móng nhà để kiểm tra xem hai phần móng nhà có vuông góc với nhau hay không. Trên hình, ta đo được AB = 4 dm, AC = 3 dm và BC = 5 dm. Em hãy giải thích vì sao hai cạnh của chiếc thước đó vuông góc với nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 5² = 25; 4² + 3² = 25 nên 5² = 4² + 3².

Do đó tam giác ABC vuông tại A (theo định lí pythagore đảo).

Vậy hai cạnh của chiếc thước đó vuông góc với nhau.

Bài tập 3: Tính chu vi của tứ giác ABCD ở Hình 5 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét). Biết rằng độ dài cạnh mỗi ô vuông là 1 cm.

Hướng dẫn trả lời:

Ta vẽ thêm các điểm M, N, P như hình sau.

Ta có: AM = 5 cm, BM = 2 cm, BN = 4 cm, CN  = 2 cm, CD = 2 cm, DP = 1 cm, AP = 6 cm.

AB² = AM² + BM² = 5² + 2² = 29 => AB = $\sqrt{29}$ cm.

BC² = BN² + CN² = 4² + 2² = 20 => AB = $\sqrt{20}$ cm.

DA² = DP² + AP² = 1² + 6² = 37 => AB = $\sqrt{37}$ cm.

Chu vi của tứ giác ABCD là:

$\sqrt{29}+\sqrt{20}+2+\sqrt{37}$ ≈ 17,94 (cm).

Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có độ dài cạnh góc vuông AB và AC là 4 cm. Kẻ đường cao AD của tam giác ABC.

a) Tính độ dài cạnh đáy BC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét).

b) Tính độ dài đường cao AD (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimét).

Hướng dẫn trả lời:

a) Do tam giác ABC vuông cân tại A nên theo định lí pythagore ta có:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=4^{2}+4^{2}$ = 32.

=> BC = $\sqrt{32}\approx$ 5,66 cm.

b) Ta có: ∆ABD =  ∆ACD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

=> BD = CD => D là trung điểm BC.

=> BD = CD = $\frac{BC}{2}$ ≈ 2,83 cm.

Do tam giác ACD vuông tại D nên theo định lí pythagore ta có:

$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=>AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=4^{2}-2,83^{2}\approx 7,99$

=> AD = $ \sqrt{7,99}\approx$ 2,83 cm.

Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì sao cho đường thẳng d không cắt đoạn thẳng BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng d. Chứng minh AD² + AE² không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.

Hướng dẫn trả lời:

Tam giác ABD vuông tại D => $\widehat{BAD}+\widehat{ABD}$ = 90^o (1).

Ta có: $ \widehat{BAD}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=180^{o}$

=> $\widehat{BAD}+\widehat{CAE}=180^{o}-\widehat{BAC}=180^{o}-90^{o}=90^{o}$

=> $\widehat{BAD}+\widehat{CAE}=90^{o}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{ABD}+\widehat{CAE}$

Xét ∆ABD và ∆CAE ta có:

AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

$\widehat{ABD}+\widehat{CAE}$ (cmt).

=> ∆ABD = ∆CAE (canh huyền – góc nhọn).

=> AD = CE.

Do đó AD² + AE² = CE² + AE² = AC² (tam giác CAE vuông tại E).

Vậy AD² + AE² không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.