Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 Cánh diều bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số

I. Phép nhân các phân thức đại số

1. Quy tắc nhân hai phân thức.

Bài 1: Nêu quy tắc nhân hai phân số

Đáp án:

Quy tắc phép nhân hai phân số:

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

Bài 2: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

a) $\frac{x^3 + 1}{x^2 - 2x + 1}.\frac{x - 1}{x^2 - x + 1}$

= $\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)^2}.\frac{x - 1}{x^2 - x + 1}$ 

= $\frac{x + 1}{x - 1}$ 

b) $(x^2 - 4x + 4). \frac{2}{3x^2 - 6x}$ = $(x - 2)^2 . \frac{2}{3x(x - 2)}$ 

= $\frac{2(x - 2)}{3x} = \frac{2x - 4}{3x}$ 

2. Tính chất của phép nhân phân thức.

Bài 3: Hãy nêu các tính chất của phép nhân phân số. 

Đáp án:

Phép nhân phân số có các tính chất: giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng, nhân với 1.

Với các số a, b, c, d, e, g (b, d, g 0), ta có:

Giao hoán: $\frac{a}{b} . \frac{c}{d} = \frac{c}{d}.\frac{a}{b}$

Kết hợp: $(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}).\frac{e}{g} = \frac{a}{b}.(\frac{c}{d}.\frac{e}{g})$

Phân phối đối với phép cộng: $\frac{a}{b}.(\frac{c}{d} + \frac{e}{g}) = \frac{a}{b}.\frac{c}{d} + \frac{a}{b}.\frac{e}{g}$  

Nhân với 1: $\frac{a}{b}.1 = 1.\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$.

Bài 4: Tính một cách hợp lí:…

Đáp án:

a) $\frac{y + 6}{x^2 - 4x + 4}.\frac{x^2 - 4}{x + 1}.\frac{x - 2}{y + 6}$

= $\frac{y + 6}{(x - 2)^2}.\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 1}.\frac{x - 2}{y + 6}$ 

= $\frac{x + 2}{x + 1}$ 

b) $(\frac{2x + 1}{x - 3} + \frac{2x + 1}{x + 3} . \frac{x^2 - 9}{2x + 1}$

= $\frac{(2x + 1)(x + 3) + (2x + 1)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}.\frac{(x + 3)(x - 3)}{2x + 1}$

= $\frac{(2x + 1)(x + 3 + x - 3)}{(x + 3)(x - 3)}.\frac{(x + 3)(x - 3)}{2x + 1} = 2x$  

II. Phép chia các phân thức đại số

1. Phân thức nghịch đảo

2. Phép chia phân thức

Bài 1: Nêu quy tắc chia hai phân số. 

Đáp án:

Quy tắc chia hai phân số: Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

Bài 2: Thực hiện phép tính…

Đáp án:

a) $\frac{x + y}{y - x}:\frac{x^2 + xy}{3x^2 - 3y^2}$

= $\frac{x + y}{y - x}:\frac{x(x + y)}{3(x + y)(x - y)}$ = $-\frac{x + y}{x - y}:\frac{x}{3(x - y)}$ 

= $-\frac{x + y}{x - y}.\frac{3(x - y)}{x}$ = $-\frac{3(x + y)}{x}$ 

b) $\frac{x^3 + y^3}{x - y}:(x^2 - xy + y^2)$

= $\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x - y} . \frac{1}{x^2 - xy + y^2}$

= $\frac{x + y}{x - y}$ 

III. Bài tập

Bài 1: Thực hiện phép tính:…

Đáp án:

a) $\frac{3x + 6}{4x - 8}.\frac{2x - 4}{x + 2} = \frac{3(x + 2)}{4(x - 2)}.\frac{2(x - 2)}{x + 2} = \frac{3}{2}$

b) $\frac{x^2 - 36}{2x + 10}.\frac{x + 5}{6 - x} = -\frac{x^2 - 36}{2x + 10}.\frac{x + 5}{x - 6} = -\frac{(x + 6)(x - 6)}{2x + 5} . \frac{x + 5}{x - 6} = -\frac{x + 6}{2}$

c) $\frac{1 - y^3}{y + 1}.\frac{5y + 5}{y^2 + y + 1} = -\frac{(y^3 - 1)(5y + 5}{(y + 1)(y^2 + y + 1)} = -\frac{5(y - 1)(y + 1)(y^2 + y + 1)}{(y + 1)(y^2 + y + 1)} = 5 - 5y$

d) $\frac{x + 2y}{4x^2 - 4xy + y^2} . (2x - y) = \frac{x + 2y}{(2x - y)^2} . (2x - y) = \frac{x + 2y}{2x - y}$

Bài 2: Thực hiện phép tính:…

Đáp án: 

a) $\frac{20x}{3y^2}:(-\frac{15x^2}{6y}) = -\frac{20x}{3y^2} : \frac{5x^2}{2y} = -\frac{20x}{3y^2} . \frac{2y}{5x^2} = \frac{-8}{3xy}$

b) $\frac{9x^2 - y^2}{x + y}:\frac{3x + y}{2x + 2y} = \frac{(3x + y)(3x - y)}{x + y} . \frac{2(x + y)}{3x + y} = 2(3x - y) = 6x - 2y$

c) $\frac{x^3 + y^3}{y - x}:\frac{x^2 - xy + y^2}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{y - x}:\frac{x^2 - xy + y^2}{(x - y)^2}$

= $-\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x - y}.\frac{(x - y)^2}{x^2 - xy + y^2}$

= $-(x + y)(x - y) = y^2 - x^2$

d) $\frac{9 - x^2}{x} : x-3 = -\frac{x^2 - 9}{x} . \frac{1}{x - 3} = -\frac{(x + 3)(x - 3)}{x(x - 3)} = -\frac{x + 3}{x}$

Bài 3: Tính một cách hợp lí:…

Đáp án:

a) $\frac{x^2 - 49}{x^2 + 5} . (\frac{x^2 + 5}{x - 7} - \frac{x^2 + 5}{x + 7})$

= $\frac{x^2 - 49}{x^2 + 5} . \frac{x^2 + 5}{x - 7} - \frac{x^2 - 49}{x^2 + 5} . \frac{x^2 + 5}{x + 7}$ 

= $\frac{(x + 7)(x - 7)}{x - 7} - \frac{(x + 7)(x - 7)}{x + 7}$ = $(x + 7) - (x - 7) = 14$ 

b) $\frac{19x + 8}{x + 1975} . \frac{2000 - x}{x + 1945} + \frac{19x + 8}{x + 1975} . \frac{2x - 25}{x + 1945}$

= $\frac{19x + 8}{x + 1975} . (\frac{2000 - x}{x + 1945} + \frac{2x - 25}{x + 1945})$ 

= $\frac{19x + 8}{x + 1975} . \frac{x + 1975}{x + 1945}$ 

= $\frac{19x + 8}{x + 1945}$ 

Bài 4: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến…

Đáp án:

a)$A = (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1})(x - \frac{1}{x})$

= $(\frac{x + 1 + x - 1}{(x - 1)(x + 1)})(\frac{x^2 - 1}{x})$ 

= $\frac{2x}{(x - 1)(x + 1)} . \frac{(x - 1)(x + 1)}{x}$ = $2$

Vậy A = 2 với mọi giá trị x nên biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) $B = (\frac{x}{xy - y^2} + \frac{2x - y}{xy - x^2}) . \frac{x^2y - xy^2}{(x - y)^2}$

= $(\frac{x}{y(x - y)} + \frac{2x - y}{x(y - x)} . \frac{xy(x - y)}{(x - y)^2}$

= $\frac{x^2 - y(2x - y)}{xy(x - y)} . \frac{xy}{x - y}$

= $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)^2}{(x - y)^2} = 1$

Vậy B = 1 với mọi giá trị x nên biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 5: Một xí nghiệp theo kế hoạch cần phải sản xuất 120 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do cải tiến kĩ thuật nên xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và làm thêm được 5 tấn hàng. Gọi x là số ngày xí nghiệp cần làm theo dự định. Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định;

b) Số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế;

c) Tỉ số của số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế và số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định.

Đáp án:

a) Ta có, phân thức biểu thị số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là $\frac{120}{x}$ tấn hàng.

b) Trên thực tế, xí nghiệp hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 ngày: $x – 1$ (ngày) 

Xí nghiệp làm thên được 5 tấn hàng: $120 + 5 = 125$ (tấn hàng)

Vậy, phân thức biểu thị số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày theo thực tế là $\frac{125}{x - 1}$ tấn hàng.

c) Tỉ số tấn hàng xí nghiệp làm trong 1 ngày trên thực tế so với dự định là:

$\frac{120}{x} : \frac{125}{x - 1} = \frac{120}{x} . \frac{x - 1}{125} = \frac{24(x - 1)}{25x} = \frac{24x - 24}{25x}$ 

Bài 6: Một xe ô tô chở hàng đi từ địa điểm A đến địa điểm B hết x giờ. Sau khi trả hàng tại địa điểm B, xe quay ngược trở lại địa điểm A nhưng thời gian xe chạy về đến A chỉ là x - 1 giờ. Biết quãng đường AB dài 160 km, viết phân thức biểu thị theo x:

a) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B;

b) Tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A;

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B và tốc độ xe ô tô khi chạy từ B về A.

Đáp án:

a) Phân thức biểu thị tốc độ khi di chuyển quãng đường từ A đến B là $\frac{160}{x} (km/h)$.

b) Phân thức biểu thị tốc độ khi chạy quãng đường từ B về A là $\frac{160}{x - 1} (km/h)$.

c) Tỉ số của tốc độ xe ô tô khi chạy từ A đến B so với khi chạy từ B về A là:

$\frac{160}{x} : \frac{160}{x - 1} = \frac{160}{x} . \frac{x - 1}{160} = \frac{x - 1}{x}$