Giải Toán 8 sách VNEN bài 1: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 

a) Đọc và thực hiện

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Gọi A và B là hai điểm bất kì thuộc đường thẳng a. AH và BK là các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng b (Hình 3).

Đo độ dài AH và BK. Nêu nhận xét.

Trả lời:

Sau khi đo AH và BK, ta thấy hai đoạn thẳng này có độ dài bằng nhau.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

c) Cho tứ giác ABKH có bốn góc vuông, AH = b và AB = a (Hình 5).

Khi đó AB // HK và AH // BK.

Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và HK chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng HK bằng AH và bằng b.

Tương tự hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và BK.

Trả lời:

Vì AH // BK nên suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và BK chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BK bằng AB và bằng a.

2. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về tính chất khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

a) Đọc và thực hiện

Cho đường thẳng b. Gọi a và a' là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cùng cách đường thẳng b một khoảng bằng 5cm (Hình 6). Gọi (I) và (II) là các nửa mặt phẳng đối nhau có bờ b. Gọi M và M' là các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng 5cm, trong đó M thuộc nửa mặt phẳng (I), M' thuộc nửa mặt phẳng (II). Kiểm tra xem điểm M có thuộc đường thẳng a không, điểm M' có thuộc đường thẳng a' không?

Trả lời: 

Sau khi kiểm tra, ta thấy M có thuộc đường thẳng a, điểm M' có thuộc đường thẳng a'.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Các điểm cách đường thẳng b một khoảng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng h.

3. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu về các đường thẳng song song cách đều

a) Đọc nội dung sau và trả lời câu hỏi

• Các dòng kẻ được tô màu như hình 1 có phải là các đường thẳng song song cách đều không?

• Từ hoạt động khởi động, em có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng được tạo ra khi các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng?

Trả lời:

• Các dòng kẻ được tô màu như hình 1 có là các đường thẳng song song cách đều.
• Từ hoạt động khởi động, em có thể nhận xét đưa ra nhận xét sau: "Các đoạn thẳng được tạo ra khi các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng có độ dài bằng nhau".

b) Đọc kĩ nội dung sau

c) Tính độ dài đoạn thẳng AE biết đoạn BC dài 7cm (Hình 9).

Trả lời:

Ta có: AH, BI, CJ, DK, EL cùng vuông góc với HL và khoảng cách giữa AH và BI, BI và CJ, CJ và DK, DK và EL lại bằng nhau nên AH, BI, CJ, DK, EL là các đoạn thẳng song song cách đều nhau.

Từ đó suy ra AB = BC = CD = DE.

Như vậy, ta có: AE = AB + BC + CD + DE = 4.BC = 4.7 = 28 (cm).

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 64 toán VNEN 8 tập 1

Thực hành

Để vẽ hình cho đề bài toán: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB. Gọi M là trung điểm của AC. Gọi I là trung điểm của BM và CE. Chứng minh I là trung điểm của BM, Lan đã thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Kẻ đoạn thẳng AB sao cho A và B nằm trên các dòng kẻ ngang mà giữa chúng có 5 dòng kẻ ngang khác.

Bước 2: Lấy điểm C cùng nằm trên một dòng kẻ với B. Nối các đoạn thẳng CA và CB.

Bước 3: Đánh dấu D, E lần lượt là giao điểm của AB với dòng kẻ thứ 3 và thứ 5 tính từ dòng kẻ chứa A về phía C.

Bước 4: Đánh dấu M là giao điểm của AC với dòng kẻ thứ 4 tính từ dòng kẻ chứa A về phía C.

Bước 5: Nối BM, CE và được hình vẽ (hình 10) như yêu cầu bài toán.

Đố em biết hình vẽ của Lan có chính xác không? Lan đã sử dụng kiến thức gì để vẽ?

Trả lời:

Hình vẽ của Lan là chính xác. Lan đã sử dụng kiến thức về các đường thẳng song song cách đều, cụ thể là tính chất: Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.

Câu 2: Trang 65 toán VNEN 8 tập 1

Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì. Trên tia Ax lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Kẻ đoạn thẳng EB. Qua C, D kẻ các đường thẳng song song với EB lần lượt cắt AB lần lượt tại C', D'. Chứng minh: AC' = C'D' = D'B.

Trả lời:

Xét tam giác ADD', có:

• C là trung điểm AD (AC = CD, C thuộc AD)
• CC' // DD' (//BE) 
• C' thuộc AD' (CC' cắt AD' tại C')

Suy ra C' là trung điểm AD' hay AC' = C'D' (1)

Xét hình thang CC'BE (CC' // BE), có:

• D' là trung điểm BC' 
• DD' // BE // CC' (cmt)
• D' thuộc BC' (DD' cắt BC' tại D')

Suy ra D' là trung điểm BC' hay BD' = C'D' (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC' = C'D' = D'B.

Câu 3: Trang 65 toán VNEN 8 tập 1

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d và cách d một khoảng 2cm. Lấy điểm B bất kì thuộc đường thẳng d. Gọi C là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho BC = BA. Khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường thẳng nào?

Trả lời:

Kẻ AH và CE vuông góc với đường thẳng d.

Xét $\Delta$AHB và $\Delta$CEB, có:

• $\widehat{ABH}$ = $\widehat{EBC}$ (đối đỉnh)
• AB = CB (gt)
• $\widehat{AHB}$ = $\widehat{BEC}$ (= 90$^{0}$)

$\Rightarrow$ $\Delta$AHB = $\Delta$CEB (g.c.g)

$\Rightarrow$ CE = AH = 2cm

Như vậy, điểm C cách đường thẳng d cố định một khoảng cách bằng 2cm không đôi nên khi điểm B di chuyển trên đường thẳng d thì điểm C di chuyển trên đường thẳng m song song với d và cách d một khoảng bằng 2cm.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 65 toán VNEN 8 tập 1

Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Oy, OA = 2cm. Lấy điểm B là một điểm bất kì thuộc tia Ox. Gọi C là trung điểm của AB. Bằng cách vẽ hình hoặc sử dụng phần mềm Sketchpad, em hãy cho biết khi B di chuyển trên tia Ox thì điểm C di chuyển trên đường thẳng nào?

Trả lời:

Kẻ CH vuông góc với Ox

Ta có: CB = CA (gt) và CH // AO (cùng vuông góc với Ox)

$\Rightarrow$ CH = $\frac{1}{2}$AO = $\frac{1}{2}$.2 = 1 (cm)

Điểm C cách tia Ox cố định một khoảng không đổi 1cm nên điểm C di chuyển trên đường thẳng m song song với Ox và cách Ox một khoảng bằng 1cm.

Câu 2: Trang 65 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC. Gọi MD là đường vuông góc kẻ từ M đến AB, ME là đường vuông góc kẻ từ M đến AC, O là giao điểm của AM và DE.

a) Chứng minh $\Delta$ADM = $\Delta$MEA.

b) Chứng minh O là trung điểm của AM và DE.

c) Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì AM có độ dài nhỏ nhất?

Trả lời:

a) Vì MD $\perp$ AB và AC $\perp$ AB (gt) nên MD // AC

$\Rightarrow$ $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (so le trong)

Xét $\Delta$ADM và $\Delta$MEA, có: 

• $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (cmt)
• AM chung
• $\widehat{DAM}$ = $\widehat{MEA}$ (= 90$^{0}$)

$\Rightarrow$ $\Delta$AMD = $\Delta$MEA (g.c.g)

b) Vì $\Delta$AMD = $\Delta$MEA (cmt) $\Rightarrow$ DM = AE

Vì MD // AC (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{EDM}$ = $\widehat{DEA}$ (so le trong)

Xét $\Delta$DMO và $\Delta$EAO, có: 

• $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MAE}$ (cmt)
• DM = EA (cmt)
• $\widehat{ODM}$ = $\widehat{OEA}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$DMO = $\Delta$EAO (g.c.g)

$\Rightarrow$ OM = OA $\Rightarrow$ O là trung điểm AM

$\Rightarrow$ OD = OE $\Rightarrow$ O là trung điểm DE

c) Kẻ AH vuông góc với BC

Trường hợp M trùng H $\Rightarrow$ AM = AH (1)

Trường hợp M không trùng H

Xét tam giác AHM vuông tại H (AH vuông góc với BC)

$\Rightarrow$ AM > AH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM $\geqslant$ AH

Như vậy AM có độ dài nhỏ nhất khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.