Giải Toán 8 sách VNEN bài 10: Ôn tập chương I

C. Hoạt động luyện tập

Trả lời các câu hỏi sau

a) Phát biểu các quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đơn thức.

b) Viết bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

c) Khi nào thì đơn thức A chia hết cho đơn thức B?

d) Khi nào thì đa thức A chia hết cho đơn thức B?

e) Khi nào thì đa thức A chia hết cho đa thức B?

f) Nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

g) Phát biểu các quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức.

Trả lời:

a) Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

b) Bình phương của một tổng: (A + B)$^{2}$ = A$^{2}$ + 2AB + B$^{2}$;

Bình phương của một hiệu: (A – B)$^{2}$ = A$^{2}$ - 2AB + B$^{2}$;

Hiệu hai bình phương: A$^{2}$ - B$^{2}$ = (A + B)(A – B);

Lập phương của một tổng: (A + B)$^{3}$ = A$^{3}$ + 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ + B$^{3}$;

Lập phương của một hiệu: (A – B)$^{3}$ = A$^{3}$ - 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ - B$^{3}$;

Tổng hai lập phương: A$^{3}$ + B$^{3}$ = (A + B)(A$^{2}$ - AB + B$^{2}$);

Hiệu hai lập phương: A$^{3}$ - B$^{3}$ = (A – B)(A$^{2}$ + AB + B$^{2}$).

c) Cho A và B là hai đơn thức, B $\neq$ 0. Ta nói đơn thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A = B.Q.

Kí hiệu: Q = A : B hay Q = $\frac{A}{B}$.

d) Cho A là một đa thức và B là một đơn thức, B $\neq$ 0. Ta nói đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu tìm được một đa thức Q sao cho A = B.Q.

Kí hiệu: Q = A : B hay Q = $\frac{A}{B}$.

e) Cho A và B là hai đa thức, B $\neq$ 0. Ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B nếu tìm được một đa thức Q sao cho A = B.Q.

Kí hiệu: Q = A : B hay Q = $\frac{A}{B}$.

f) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là:

- Phương pháp đặt nhân tử chung.

- Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

- Phương pháp nhóm hạng tử.

- Phối hợp nhiều phương pháp.

g) Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Làm các bài tập sau

Câu 1: Trang 31 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện phép nhân:

a) 3x$^{2}$(5x$^{2}$ - 7x + 4);                                  b) xy$^{2}$(2x$^{2}$y – 5xy + y);

c) (2x$^{2}$ - 5x)(3x$^{2}$ - 2x + 1);                        d) (x – 3y)(2xy + y$^{2}$ + x).

Trả lời:

a) 3x$^{2}$(5x$^{2}$ - 7x + 4) = 15x$^{4}$ - 21x$^{3}$ + 12x$^{2}$; 

b) xy$^{2}$(2x$^{2}$y – 5xy + y) = 2x$^{3}$y$^{3}$ - 5x$^{2}$y$^{3}$ + xy$^{3}$;

c) (2x$^{2}$ - 5x)(3x$^{2}$ - 2x + 1) = 6x$^{4}$ - 4x$^{3}$ + 2x$^{2}$ - 15x$^{3}$ + 10x$^{2}$ - 5x = 6x$^{4}$ - 19x$^{3}$ + 12x$^{2}$ - 5x;

d) (x – 3y)(2xy + y$^{2}$ + x) = 2x$^{2}$y + xy$^{2}$ + x$^{2}$ - 6xy$^{2}$ - 3y$^{3}$ - 3xy = 2x$^{2}$y – 5xy$^{2}$+ x$^{2}$ - 3y$^{3}$ - 3xy.

Câu 2: Trang 31 toán VNEN 8 tập 1

Tính nhanh giá trị của biểu thức:

a) A = x$^{2}$ + 9y$^{2}$ - 6xy tại x = 19 và y = 3

b) B = x$^{3}$ - 6x$^{2}$y + 12xy$^{2}$ - 8y$^{3}$ tại x = 12 và y = -4.

Trả lời:

a) Có: A = x$^{2}$ + 9y$^{2}$ - 6xy = (x – 3y)$^{2}$.

Thay x = 19 và y = 3 vào A, ta được: A = (19 – 3.3)$^{2}$ = 10$^{2}$ = 100.

b) Có: B = x$^{3}$ - 6x$^{2}$y + 12xy$^{2}$ - 8y$^{3}$ = (x – 2y)$^{3}$.

Thay x = 12 và y = -4 vào B, ta được: B = [12 – 2.(-4)]$^{3}$ = 20$^{3}$ = 8000.

Câu 3: Trang 31 toán VNEN 8 tập 1

Rút gọn biểu thức:

a) 3(x – y)$^{2}$ - 2(x + y)$^{2}$ - (x – y)(x + y);

b) 2(2x + 5)$^{2}$ - 3(4x + 1)(1 – 4x);

c) (x – 4)$^{2}$ - 2(x – 4)(x + 5) + (x + 5)$^{2}$.

Trả lời:

a) 3(x – y)$^{2}$ - 2(x + y)$^{2}$ - (x – y)(x + y)

= 3(x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$) – 2(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$) – (x$^{2}$ - y$^{2}$)

= 3x$^{2}$ - 2x$^{2}$ - x$^{2}$ + 3y$^{2}$ - 2y$^{2}$ + y$^{2}$ - 6xy – 4xy = 2y$^{2}$ - 10xy.

b) 2(2x + 5)$^{2}$ - 3(4x + 1)(1 – 4x)

= 2(4x$^{2}$ + 20x + 25) + 3(16x$^{2}$ - 1)

= 8x$^{2}$ + 40x + 50 + 48x$^{2}$ - 3 = 56x$^{2}$ + 40x + 47.

c) (x – 4)$^{2}$ - 2(x – 4)(x + 5) + (x + 5)$^{2}$

= [(x – 4) – (x – 5)]$^{2}$ = 1$^{2}$ = 1.

Câu 4: Trang 32 toán VNEN 8 tập 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x$^{2}$ - 9 + (x – 3)$^{2}$;

b) x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 4x - xy$^{2}$;

c) x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 12x – 27;

d) 3x$^{2}$ - 7x – 10;

e) 5x$^{3}$ - 5x$^{2}$y – 10x$^{2}$ + 10xy; 

f) 3x$^{2}$ - 6xy + 3y$^{2}$ - 12z$^{2}$.

Trả lời:

a) x$^{2}$ - 9 + (x – 3)$^{2}$ = (x – 3)(x + 3) + (x – 3)$^{2}$ = (x – 3)[(x + 3) + (x – 3)] = 2x(x – 3);            

b) x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 4x - xy$^{2}$ = x(x$^{2}$ - 4x + 4 - y$^{2}$) = x[(x – 2)$^{2}$ - y$^{2}$] = x(x – 2 – y)(x – 2 + y);

c) x$^{3}$ - 4x$^{2}$ + 12x – 27 = x$^{3}$ - 3x$^{2}$ - x$^{2}$ + 3x + 9x – 27

                                    = x$^{2}$(x – 3) – x(x – 3) + 9(x - 3) = (x – 3)(x$^{2}$ - x + 9);                                  

d) 3x$^{2}$ - 7x – 10 = 3x$^{2}$ + 3x – 10x – 10 = 3x(x + 1) – 10(x + 1) = (x + 1)(3x – 10);

e) 5x$^{3}$ - 5x$^{2}$y – 10x$^{2}$ + 10xy = 5x$^{2}$(x – y) – 10x(x – y) = (x – y)(5x$^{2}$ - 10x);               

f) 3x$^{2}$ - 6xy + 3y$^{2}$ - 12z$^{2}$ = 3(x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$ - 4z$^{2}$) = 3[(x – y)$^{2}$ - (2z) $^{2}$] = 3(x – y – 2)(x – y + 2).

Câu 5: Trang 32 toán VNEN 8 tập 1

Làm tính chia:

a) (6x$^{3}$ - 7x$^{2}$ - x + 2) : (2x + 1);

b) (2x$^{4}$ - 10x$^{3}$ - x$^{2}$ + 15x – 3) : (2x$^{2}$ - 3);

c) (x$^{2}$ - y$^{2}$ + 6y – 9) : (x – y + 3).

Trả lời:

a)

b)

c) (x$^{2}$ - y$^{2}$ + 6y –9) : (x – y +3) = [x$^{2}$ - (y –3)$^{2}$] : (x – y +3) = [(x – y +3)(x + y -3)] : (x – y +3) = x + y –3.

Câu 6: Trang 32 toán VNEN 8 tập 1

Tìm x, biết:

a) x(4x$^{2}$ - 1) = 0;                                        b) 3(x – 1)$^{2}$ - 3x(x – 5) – 2 = 0;

c) x$^{3}$ - x$^{2}$ - x + 1 = 0;                                 d) 2x$^{2}$ - 5x – 7 = 0.

Trả lời:

a) x(4x$^{2}$ - 1) = 0

$\Leftrightarrow$ x(2x – 1)(2x + 1) = 0

$\Leftrightarrow$  x = 0 hoặc x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{-1}{2}$.

Vậy x = 0 hoặc x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = $\frac{-1}{2}$.

b) 3(x – 1)$^{2}$ - 3x(x – 5) – 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 3(x$^{2}$ - 2x + 1) – (3x$^{2}$ - 15x) – 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ - 6x + 3 – 3x$^{2}$ + 15x – 2 = 0

$\Leftrightarrow$ 9x + 1 = 0

$\Leftrightarrow$ x = $\frac{-1}{9}$.

Vậy x = $\frac{-1}{9}$.

c) x$^{3}$ - x$^{2}$ - x + 1 = 0; 

$\Leftrightarrow$ x$^{2}$(x – 1) – (x – 1) = 0

$\Leftrightarrow$ (x – 1)(x$^{2}$ - 1) = 0

$\Leftrightarrow$ (x – 1)$^{2}$(x + 1) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = -1.

Vậy x = 1 hoặc x = -1.

d) 2x$^{2}$ - 5x – 7 = 0.

$\Leftrightarrow$ 2x$^{2}$ + 2x – 7x – 7 = 0

$\Leftrightarrow$ 2x(x + 1) – 7(x + 1) = 0

$\Leftrightarrow$ (x + 1)(2x – 7) = 0

$\Leftrightarrow$ x = -1 hoặc x = $\frac{7}{2}$.

Vậy x = -1 hoặc x = $\frac{7}{2}$.

Câu 7: Trang 32 toán VNEN 8 tập 1

Chứng minh rằng:

a) x$^{2}$ - 4xy + 4y$^{2}$ + 3 > 0 với mọi số thực x và y;

b) 2x – 2x$^{2}$ - 1 < 0 với mọi số thực x.

Trả lời:

a) Ta có: x$^{2}$ - 4xy + 4y$^{2}$ + 3 = (x – 2y)$^{2}$ + 3

Vì (x – 2y)$^{2}$ $\geq$ 0 với mọi số thực x, y nên (x – 2y)$^{2}$ + 3 > 0 với mọi số thực x và y.

Như vậy x$^{2}$ - 4xy + 4y$^{2}$ + 3 > 0 với mọi số thực x và y.

b) Ta có: 2x – 2x$^{2}$ - 1 = -(2x$^{2}$ - 2x + 1) = -(x$^{2}$ - 2x + 1 + x$^{2}$) = [(x – 1)$^{2}$ + x$^{2}$] = -(x – 1)$^{2}$ - x$^{2}$

Vì -(x – 1)$^{2}$ < 0 và -x$^{2}$ < 0 với mọi số thực x nên -(x – 1)$^{2}$ - x$^{2}$ < 0 với mọi số thực x.

Như vậy 2x – 2x$^{2}$ - 1 < 0 với mọi số thực x.

Câu 8: Trang 32 toán VNEN 8 tập 1

Tìm các giá trị nguyên của n để 10n$^{3}$ - 23n$^{2}$ + 14n – 5 chia hết cho 2n – 3.

Trả lời:

Như vậy, để biểu thức 10n$^{3}$ - 23n$^{2}$ + 14n – 5 chia hết cho 2n – 3 thì -2 $\vdots$ 2n - 3 hay 2n - 3 $\in$ Ư(2).

Mà n là số nguyên nên n $\in$ {1; 2}.

D. Hoạt động vận dụng

Giả sử x = y

Nhân cả hai vế với x, ta được x$^{2}$ = xy;

Trừ cả hai vế cho y$x^{2}$, ta được: x$x^{2}$ - y$x^{2}$ = xy - y$x^{2}$;

Phân tích thành nhân tử cả hai vế, ta được: (x + y)(x - y) = y(x - y)

Chi cả hai vế cho (x - y), ta được: x + y = y.

Vì x = y, do đó 2y = y.

Chia cả hai vế cho y, ta có: 2 = 1.

Có phải 2 = 1 không? Em có thể tìm ra lỗi trong các bước của trình bày không?

Trả lời:

• 2 = 1 là không bao giờ xảy ra.
• Cách trình bày trên sai từ bước chia cả hai vế cho x - y ta được: x + y = y; vì x = y nên x - y = 0, không thể thực hiện phép chia.