Giải Toán 8 sách VNEN bài 10: Ôn tập chương II

C. Hoạt động luyện tập

Thực hiện các yêu cầu sau

Câu 1: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Định nghĩa phân thức đại số. Một đa thức có phải là phân thức đại số không? Một số thực bất kì có phải là một phân thức đại số không?

Trả lời:

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0.

Một đa thức bất kì  là phân thức đại số có mẫu bằng 1.

Tương tự, một số thực bất kì là một phân thức đại số có mẫu bằng 1.

Câu 2: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Định nghĩa hai phân thức đại số bằng nhau.

Trả lời:

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C với B, D khác 0.

Câu 3: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Phát biểu các tính chất cơ bản của phân thức đại số. Viết dạng tổng quát.

Trả lời:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}$ = $\frac{A.M}{B.M}$ (M là một đa thức khác đa thức 0).

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}$ = $\frac{A:N}{B:N}$ (N là một nhân tử chung của A và B).

Câu 4: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Phát biểu các quy tắc: cộng hai phân thức cùng mẫu thức, cộng hai phân thức khác mẫu thức. Viết công thức tổng quát.

Trả lời:

- Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{B}$ + $\frac{C}{B}$ = $\frac{A + C}{B}$.

- Muốn cộng hai phân thức khác mẫu thức, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được:

$\frac{A}{B}$ + $\frac{C}{D}$ = $\frac{AD}{BD}$ + $\frac{BC}{BD}$ = $\frac{AD + BC}{BD}$.

Câu 5: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Phát biểu các quy tắc: trừ hai phân thức cùng mẫu thức, trừ hai phân thức khác mẫu thức. Viết công thức tổng quát.

Trả lời:

- Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{B}$ - $\frac{C}{B}$ = $\frac{A - C}{B}$.

- Muốn trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được:

$\frac{A}{B}$ - $\frac{C}{D}$ = $\frac{AD}{BD}$ - $\frac{BC}{BD}$ = $\frac{AD - BC}{BD}$.

Câu 6: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Phát biểu quy tắc nhân hai phân thức đại số.

Trả lời:

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\frac{A}{B}$. $\frac{C}{D}$ = $\frac{A.C}{B.D}$ (B, D khác đa thức 0).

Câu 7: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Phát biểu quy tắc chia hai phân thức đại số.

Trả lời:

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$:

$\frac{A}{B}$ : $\frac{C}{D}$ = $\frac{A}{B}$. $\frac{D}{C}$ (với $\frac{C}{D}$ khác 0).

Câu 8: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Giả sử $\frac{A(x)}{B(x)}$ là một phân thức của biến x. Hãy nêu điều kiện của biến để giá trị của phân thức được xác định. 

Trả lời:

Để giá trị của phân thức được xác định thì mẫu thức phải khác 0 hay B(x) khác 0.

Làm các bài tập trắc nghiệm

Khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng:

Câu 1: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

A. $\frac{1}{x}$ = $\frac{x^{2}}{x}$;                B. $\frac{7x}{5}$ = $\frac{5}{7x}$;                C. $\frac{4x + 1}{9}$ = $\frac{9x + 1}{4}$;                D. $\frac{x^{2} - 25}{5x - x^{2}}$ = $\frac{x + 5}{-x}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là D vì $\frac{x^{2} - 25}{5x - x^{2}}$ = $\frac{(x + 5)(x – 5)}{-x(x – 5)}$ = $\frac{x + 5}{-x}$.

Câu 2: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Đa thức M trong đẳng thức $\frac{(1 – x)^{3}}{M}$ = $\frac{x^{2} + x + 1}{x}$ là:

A. x – 1;                   B. x(1 – x);                  C. x(x + 1);                    D. x + 1.

Trả lời:

Đáp án đúng là B vì $\frac{(1 – x)^{3}}{x(1 – x)}$ = $\frac{(1 – x)(x^{2} + x + 1)}{x(1 – x)}$ = $\frac{x^{2} + x + 1}{x}$.

Câu 3: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Kết quả của phép tính $\frac{3x + 8}{x + 7}$ - $\frac{x - 3}{x + 7}$ là:

A. $\frac{2x - 5}{x + 7}$;                    B. $\frac{2x + 11}{x + 7}$;                      C. $\frac{2x - 11}{x + 7}$;                     D. $\frac{4x + 5}{x + 7}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là B vì $\frac{3x + 8}{x + 7}$ - $\frac{x - 3}{x + 7}$ = $\frac{3x + 8 – (x – 3)}{x + 7}$ = $\frac{2x + 11}{x + 7}$.

Câu 4: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Kết quả của phép tính $\frac{27 - y^{3}}{y + 3}$.$\frac{y^{2} - 9}{y^{2} – 6y + 9}$ là:

A. $\frac{9 + 3y + y^{2}}{y - 3}$;                       B. –(9 + 3y + y$^{2}$);                     C. 9 + 3y + y$^{2}$;                      D. $\frac{-(9 + 3y + y^{2})}{y + 3}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là B vì $\frac{27 - y^{3}}{y + 3}$.$\frac{y^{2} - 9}{y^{2} – 6y + 9}$ = $\frac{-(y – 3)(9 + 3y + y^{2})}{y + 3}$.$\frac{(y – 3)(y + 3)}{(y – 3)^{2}}$ = -(9 + 3y + y$^{2}$).

Câu 5: Trang 59 toán VNEN 8 tập 1

Kết quả của phép tính $\frac{3 – 3z}{(1 + z)^{2}}$ : $\frac{6z^{2} - 6}{z + 1}$ là:

A. $\frac{1}{(z + 1)^{2}}$;                     B. $\frac{-1}{2(z + 1)}$;                      C. $\frac{1}{2(z + 1)^{2}}$;                  D. $\frac{-1}{2(z + 1)^{2}}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là vì $\frac{3 – 3z}{(1 + z)^{2}}$ : $\frac{6z^{2} - 6}{z + 1}$ = $\frac{-3(z – 1)}{(1 + z)^{2}}$ : $\frac{6(z – 1)(z + 1)}{z + 1}$ = $\frac{-3(z – 1)}{(1 + z)^{2}}$.$\frac{z + 1}{6(z – 1)(z + 1)}$ = $\frac{-1}{2(z + 1)^{2}}$.

Làm các bài tập tự luận

Câu 1: Trang 60 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện các phép tính sau:

a) ($\frac{2x + 1}{2x – 1}$ - $\frac{2x – 1}{2x + 1}$) : $\frac{4x}{10x – 5}$;                    b) ($\frac{1}{x^{2} + 1}$ - $\frac{2 – x}{x + 1}$) : ($\frac{1}{x}$ + x – 2);

c) $\frac{1}{x – 1}$ - $\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ . ($\frac{1}{x^{2} – 2x + 1}$ - $\frac{1}{1 - x^{2}}$);

d) ($\frac{x^{2} + xy}{x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3}}$ + $\frac{y}{x^{2} + y ^{2}}$) : ($\frac{1}{x – y}$ - $\frac{2xy}{x^{3} - x^{2}y + xy^{2} – y^{3}}$).

Trả lời:

a) ($\frac{2x + 1}{2x – 1}$ - $\frac{2x – 1}{2x + 1}$) : $\frac{4x}{10x – 5}$ = $\frac{(2x + 1)^{2} – (2x – 1)^{2}}{(2x – 1)(2x + 1)}$ : $\frac{4x}{5(2x – 1)}$ = $\frac{8x}{(2x – 1)(2x + 1)}$ . $\frac{5(2x – 1)}{4x}$ = $\frac{10}{2x + 1}$;                   

b) ($\frac{1}{x^{2} + 1}$ - $\frac{2 – x}{x + 1}$) : ($\frac{1}{x}$ + x – 2) = $\frac{x + 1 – (2x^{2} - x^{3} + 2 - x}{(x^{2} + 1)(x + 1)}$ : $\frac{1 + x^{2} – 2x}{x}$ = $\frac{x^{3} – 2x^{2} + 2x - 1}{(x^{2} + 1)(x + 1)}$ . $\frac{x}{(x – 1)^{2}}$

= $\frac{(x – 1)^{3}}{(x^{2} + 1)(x + 1)}$ . $\frac{x}{(x – 1)^{2}}$ = $\frac{x(x – 1)}{(x^{2} + 1)(x + 1)}$;

c) $\frac{1}{x – 1}$ - $\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ . ($\frac{1}{x^{2} – 2x + 1}$ - $\frac{1}{1 - x^{2}}$) = $\frac{1}{x - 1}$ - $\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$.$\frac{1 - x^{2} + x^{2} – 2x + 1}{(x – 1)^{2}.(1 - x^{2})}$ = $\frac{1}{x - 1}$ - $\frac{2(x – 1)}{(x – 1)^{2}.(x^{2} – 1)}$.$\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$

= $\frac{1}{x – 1}$  - $\frac{2(x – 1)}{(x – 1)^{2}.(x^{2} – 1)}$ . $\frac{x(x^{2} – 1)}{x^{2} + 1}$ = $\frac{1}{x - 1}$ - $\frac{2x}{(x – 1)(x^{2} + 1)}$ = $\frac{x^{2} + 1 – 2x}{(x – 1)(x^{2} + 1)}$ = $\frac{x – 1}{x^{2} + 1}$.

d) ($\frac{x^{2} + xy}{x^{3} + x^{2}y + xy^{2} + y^{3}}$ + $\frac{y}{x^{2} + y ^{2}}$) : ($\frac{1}{x – y}$ - $\frac{2xy}{x^{3} - x^{2}y + xy^{2} – y^{3}}$) = ($\frac{x(x + y)}{(x^{2} + y^{2})(x + y)}$ + $\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$) : ($\frac{1}{x - y}$ -  $\frac{2xy}{(x – y)(x^{2} + y^{2})}$)

= $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ : $\frac{(x – y)^{2}}{(x – y)(x^{2} + y^{2})}$ = $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ . $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$ = $\frac{x + y}{x - y}$.

Câu 2: Trang 60 toán VNEN 8 tập 1

Cho biểu thức ($\frac{x + 1}{2x - 2}$ + $\frac{3}{x^{2} - 1}$ - $\frac{x + 3}{2x + 2}$).$\frac{4x^{2} - 4}{5}$.

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Trả lời:

a) Để giá trị của biểu thức được xác định thì 2x – 2 $\neq$ 0; x$^{2}$ – 1 $\neq$ 0; 2x + 2 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ 1 và x $\neq$ -1.

b) ($\frac{x + 1}{2x - 2}$ + $\frac{3}{x^{2} - 1}$ - $\frac{x + 3}{2x + 2}$).$\frac{4x^{2} - 4}{5}$ = ($\frac{x + 1}{2(x – 1)}$ + $\frac{3}{(x – 1)(x + 1)}$ - $\frac{x + 3}{2(x + 1)}$).$\frac{4(x – 1)(x + 1)}{5}$

= $\frac{x^{2} + 2x + 1 + 6 - x^{2} – 2x + 3}{2(x – 1)(x + 1)}$.$\frac{4(x – 1)(x + 1)}{5}$ = $\frac{10}{2(x – 1)(x + 1)}$.$\frac{4(x – 1)(x + 1)}{5}$ = 4.

Câu 3: Trang 60 toán VNEN 8 tập 1

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Tìm các giá trị của x để giá trị của phân thức $\frac{x^{2} – 10x + 25}{x^{2} – 5}$ bằng 0.

Trả lời:

Điều kiện xác định: x$^{2}$ - 5 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ $\pm$$\sqrt{5}$.

$\frac{x^{2} – 10x + 25}{x^{2} – 5}$ = 0 $\Rightarrow$ x$^{2}$ – 10x + 25 = 0 $\Leftrightarrow$ (x – 5)$^{2}$ = 0 $\Leftrightarrow$ x = 5.

Vậy với x = 5 thì giá trị của phân thức bằng 0.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 60 toán VNEN 8 tập 1

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức ($\frac{5x + 2}{x - 10}$ + $\frac{5x - 2}{x + 10}$).$\frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 4}$ được xác định. Tính giá trị của biểu thức tại x = 2016.

Trả lời:

Để phân thức được xác định thì x – 10 $\neq$ 0 và x + 10 $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ x $\neq$ $\pm$10.

($\frac{5x + 2}{x - 10}$ + $\frac{5x - 2}{x + 10}$).$\frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 4}$ = $\frac{(5x + 2)(x + 10) + (5x – 2)(x – 10)}{x^{2} - 100}$.$\frac{x^{2} – 100}{x^{2} + 4}$ = $\frac{10x^{2} + 40}{x^{2} - 100}$.$\frac{x^{2} - 100}{x^{2} + 4}$ = $\frac{10(x^{2} + 4)}{x^{2} + 4}$ =10.

Vì giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x nên tại x = 2016, giá trị của biểu thức vẫn bằng 10.

Câu 2: Trang 60 toán VNEN 8 tập 1

Viết mỗi phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số, tìm giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức cũng là số nguyên.

a) $\frac{3x^{2} – 4x – 17}{x + 2}$;                                       b) $\frac{x^{2} – x + 2}{x – 3}$.

Trả lời:

a) Ta có: $\frac{3x^{2} – 4x – 17}{x + 2}$ = 3x – 10 + $\frac{3}{x + 2}$. 

Để phân thức là số nguyên thì $\frac{3}{x + 2}$ phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x).

Để $\frac{3}{x + 2}$ nguyên thì x + 2 phải là ước của 3.

Các ước của 3 là  $\pm$1, $\pm$3. Do đó:

x + 2= $\pm$1 $\Rightarrow$ x = –1, x = –3

x + 2= $\pm$3 $\Rightarrow$ x = 1, x = –5

Vậy x = –5; –3; –1; 1.

b) Ta có: $\frac{x^{2} – x + 2}{x – 3}$ = x + 2 + $\frac{8}{x – 3}$. 

Để phân thức là số nguyên thì $\frac{8}{x – 3}$ phải là số nguyên (với giá trị nguyên của x).

Để $\frac{8}{x – 3}$ nguyên thì x – 3 phải là ước của 8.

Các ước của 8 là $\pm$1, $\pm$2, $\pm$4, $\pm$8. Do đó 

x – 3 = $\pm$1 $\Rightarrow$ x = 4; x = 2

x – 3 = $\pm$2 $\Rightarrow$ x = 5; x = 1

x – 3 = $\pm$4 $\Rightarrow$ x = 7; x = -1

x – 3 = $\pm$8 $\Rightarrow$ x = 11; x = -5

Vậy x = -5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11.

Câu 3: Trang 60 toán VNEN 8 tập 1

Tính giá trị của phân thức $\frac{x^{2} – 10x + 25}{x^{2} – 5x}$ tại x = 1,12 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba.

Trả lời:

$\frac{x^{2} – 10x + 25}{x^{2} – 5x}$ = $\frac{(x – 5)^{2}}{x(x - 5)}$ = $\frac{x - 5}{x}$.

Tại x = 1,12, ta có: $\frac{1,12 - 5}{1,12}$ = -3,464.