Giải Toán 8 sách VNEN bài 2: Diện tích hình tam giác
Giải chi tiết, cụ thể toán 8 VNEN bài 2: Diện tích hình tam giác. Tất cả bài tập được trình bày cẩn thận, chi tiết. Mời các em cùng tham khảo để học tốt môn học này
A. Hoạt động khởi động
Một bạn hỏi, một bạn trả lời, sau đó đổi vai cho nhau:
a) Một đường chéo của hình chữ nhật chia nó thành hai tam giác như thế nào?
b) Quan sát hình 104, so sánh diện tích hình chữ nhật KNOL với diện tích tam giác vuông NOL.
c) Quan sát hình 104, so sánh diện tích hình chữ nhật KIML với diện tích tam giác vuông NLM.
Trả lời:
a) Một đường chéo của hình chữ nhật chia nó thành hai tam giác bằng nhau.
b) Từ hình 104, dễ dàng nhận thấy diện tích hình chữ nhật KNOL bằng hai lần diện tích tam giác vuông NOL.
c) Từ hình 104, dễ dàng nhận thấy diện tích hình chữ nhật KIML bằng hai lần diện tích tam giác vuông NLM.
B. Hoạt động hình thành kiến thức
1. a) Có thể tìm diện tích tam giác vuông dựa vào diện tích hình chữ nhật không?
Quan sát hình 105 và cho biết:
- Diện tích hình chứ nhật UVXT bằng bao nhiêu cm$^{2}$?
- Diện tích tam giác vuông TUV có liên hệ gì với diện tích hình chữ nhật UVXT?
Trả lời:
SUVXT = 1.3.1.5 = 15 (cm$^{2}$)
STUV = $\frac{1}{2}$SUVXT
c) Luyện tập
- Nếu tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 4cm và 3cm thì diện tích của nó bằng bao nhiêu cm$^{2}$.
- Trên cùng lưới ô vuông, một bạn đã vẽ các hình như ở hình 106 và cho rằng chúng có cùng diện tích. Theo em, bạn đó nói đúng hay sai? Vì sao?
Trả lời:
- Nếu tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 4cm và 3cm thì diện tích của nó bằng 6cm$^{2}$.
- Bạn đó nói đúng bởi nếu cắt ghép lại các hình tam giác và hình bình hành, ta đều được một hình chữ nhật có chiều dài bằng 4 đơn vị và chiều rộng bằng 3 đơn vị.
2. Luyện tập
i) Bạn Hùng đã vẽ các tam giác như ở hình 110 và cho rằng chúng không bằng nhau như có chung diện tích. Theo em, bạn Hùng nói vậy là đúng hay sai? Vì sao?
Trả lời:
Dễ dàng nhận thấy các tam giác ở hình 110 không bằng nhau nhưng vì có chung chiều cao và cạnh đáy nên có diện tích bằng nhau.
ii) Hãy quan sát hình 111, giải thích tại sao diện tích tam giác NLM bằng nửa diện tích hình chữ nhật IKLM? Có thể dựa vào đó nêu cách tính diện tích tam giác hay không?
Trả lời:
Ta có:
S$_{NLM}$ = $\frac{1}{2}$NO.ML = $\frac{1}{2}$KL.ML (Vì NO = KL)
S$_{IKLM}$ = KL.ML
Như vậy diện tích tam giác NLM bằng nửa diện tích hình chữ nhật IKLM.
C. Hoạt động luyện tập
Câu 1: Trang 124 toán VNEN 8 tập 1
a) Em hãy cắt tờ giấy mỏng để có hai hình tam giác vuông bằng nhau. Sau đó, hãy ghép hai tam giác đó để tạo thành: một hình bình hành, một hình chữ nhật, một tam giác vuông.
b) Diện tích của mỗi hình trên có bằng nhau không? Vì sao?
Trả lời:
a)
b) Các hình trên bằng nhau vì chúng đều được ghép từ hai hình tam giác vuông bằng nhau.
Câu 2: Trang 125 toán VNEN 8 tập 1
Quan sát hình 113. Nếu chọn mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích thì:
a) Những tam giác nào có diện tích bằng nhau?
b) Tam giác nào có diện tích nhỏ nhất?
c) Tam giác nào có diện tích lớn nhất?
Trả lời:
S$_{1}$ = $\frac{1}{2}$.4.2 = 4 (đơn vị diện tích)
S$_{2}$ = $\frac{1}{2}$.3.2 = 3 (đơn vị diện tích)
S$_{3}$ = $\frac{1}{2}$.4.2 = 4 (đơn vị diện tích)
S$_{4}$ = $\frac{1}{2}$.5.2 = 5 (đơn vị diện tích)
S$_{5}$ = $\frac{1}{2}$.3.3 = $\frac{9}{2}$ (đơn vị diện tích)
S$_{6}$ = $\frac{1}{2}$.4.2 = 4 (đơn vị diện tích)
S$_{7}$ = $\frac{1}{2}$.7.1 = $\frac{7}{2}$ (đơn vị diện tích)
S$_{8}$ = $\frac{1}{2}$.3.2 = 3 (đơn vị diện tích)
a) Tam giác 1, 3, 6 có diện bằng nhau (bằng 4 đơn vị diện tích); tam giác 2 và 8 có diện tích bằng nhau (bằng 3 đơn vị diện tích).
b) Tam giác 2 và 8 có diện tích nhỏ nhất.
c) Tam giác 4 có diện tích lớn nhất.
Câu 3: Trang 125 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy AB, BC, CA làm cạch dựng các hình vuông ACDE, BCGH, ABIK (hình 114).
Trả lời:
Ta có: S$_{BCGH}$ = BC$^{2}$;
S$_{ACDE}$ = AC$^{2}$;
S$_{ABIK}$ = AB$^{2}$.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pi-ta-go, ta có: BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$
$\Rightarrow$ S$_{BCGH}$ = S$_{ACDE}$ + S$_{ABIK}$ (đpcm).
Câu 4: Trang 125 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác FDE vuông tại D, có đường cao DG (hình 115).
a) Chứng minh rằng: DE.DF = DG.FE;
b) Chứng minh rằng: $\frac{1}{DG^{2}}$ = $\frac{1}{DE^{2}}$ + $\frac{1}{DF^{2}}$.
Trả lời:
a) Có S$_{DEF}$ = $\frac{1}{2}$.DE.DF
Lại có S$_{DEF}$ = $\frac{1}{2}$.DG.EF
$\Rightarrow$ DE.DF = DG.FE (đpcm). (1)
b) Vì tam giác DEF vuông tại D nên theo định lí Pi-ta-go, ta có: FE$^{2}$ = DF$^{2}$ + DE$^{2}$ (2)
Có: VP = $\frac{1}{DE^{2}}$ + $\frac{1}{DF^{2}}$ = $\frac{ DE^{2} + DF^{2}}{(DE.DF)^{2}}$ (3)
Thay (1), (2) vào (3), ta được: VP = $\frac{ FE^{2}}{(DG.FE)^{2}}$ = $\frac{1}{DG^{2}}$ = VT.
Câu 5: Trang 125 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác đều ABC cạnh a và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Gọi H, K, T tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: MH + MK + MT = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trả lời:
Từ A kẻ đường thẳng AD. Vì ABC là tam giác đều nên AD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC $\Rightarrow$ BD = $\frac{BC}{2}$.
Theo định lí Pi-ta-go, ta có: AD = $\sqrt{AB^{2} - BD^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} – (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Khi đó: S$_{ABC}$ = $\frac{AD.BC}{2}$ = $\frac{a.a\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ (1).
Mặt khác, ta có: S$_{ABC}$ = S$_{MAB}$ + S$_{MAC}$ + S$_{MBC}$ = $\frac{MT.AB}{2}$ + $\frac{MK.AC}{2}$ + $\frac{MH.BC}{2}$
$\Rightarrow$ S$_{ABC}$ = $\frac{a.(MK + MT + MH)}{2}$ (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\frac{a.(MK + MT + MH)}{2}$ = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ hay MH + MK + MT = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đpcm).
D. Hoạt động vận dụng
Câu 2: Trang 126 toán VNEN 8 tập 1
a) Cho tam giác HIJ có đường cao HM, tam giác KIJ có đường cao KL (hình 117). Chứng minh rằng: $\frac{S_{HIJ}}{S$_{KIJ}}$ = $\frac{HM}{KL}$.
b) Cho tam giác ABC với các đường cao AH, BI, CK (hình 118). Chứng minh rằng: AH.BC = BI.CA = CK.AB.
Trả lời:
a) Ta có: S$_{HIJ}$ = $\frac{HM.IJ}{2}$ và S$_{KIJ}$ = $\frac{KL.IJ}{2}$.
Như vậy: $\frac{S_{HIJ}}{S$_{KIJ}}$ = $\frac{\frac{HM.IJ}{2}}{\frac{KL.IJ}{2}}$ = $\frac{HM.IJ}{2}$ . $\frac{2}{KL.IJ}$ = $\frac{HM}{KL}$ (đpcm).
b) Vì AH, BI, CK đều là đường cao của tam giác ABC nên ta có:
S$_{ABC}$ = $\frac{AH.BC}{2}$ = $\frac{BI.AC}{2}$ = $\frac{CK.AB }{2}$
$\Rightarrow$ AH.BC = BI.CA = CK.AB (đpcm).
Câu 3: Trang 126 toán VNEN 8 tập 1
a) Cho tam giác đều cạnh a. Hãy tính diện tích tam giác này theo a.
b) Cho tam giác cân có cạnh đáy là a, cạnh bên là b. Hãy tính diện tích tam giác này theo a và b.
Trả lời:
a)
Xét tam giác ABC đều có cạnh bằng a, đường cao AH.
Vì tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow$ BH = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{a}{2}$.
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AH = $\sqrt{AB^{2} - BH^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} – (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Như vậy: S$_{ABC}$ = $\frac{AH.BC}{2}$ = $\frac{1}{2}$.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$.a = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$.
b)
Xét tam giác DEF cân tại D có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b, đường cao DK.
Vì tam giác DEF cân tại D nên đường cao DK đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow$ DK = $\frac{EF}{2}$ = $\frac{a}{2}$.
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác DKE vuông tại K, ta có:
DK = $\sqrt{DE^{2} - EK^{2}}$ = $\sqrt{b^{2} – (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\sqrt{b^{2} – \frac{a^{2}}{4}}$.
Như vậy: S$_{DEF}$ = $\frac{DK.EF}{2}$ = $\frac{1}{2}$.($\sqrt{b^{2} – \frac{a^{2}}{4}}$).b = $\frac{b\sqrt{b^{2} – \frac{a^{2}}{4}}}{2}$.
Câu 4: Trang 126 toán VNEN 8 tập 1
Một mảnh ruộng có dạng một tam giác vuông. Biết rằng tổng độ dài hai cạnh góc vuông của nó là 350m và độ dài cạnh góc vuông thứ nhất gấp 4 lần cạnh góc vuông thứ 2. Diện tích mảnh ruộng trên bằng bao nhiêu m$^{2}$?
Trả lời:
Gọi x là độ dài cạnh góc vuông thứ hai.
$\Rightarrow$ Độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là 4x.
Theo đề bài, ta có phương trình:
4x + x = 350 $\Rightarrow$ 5x = 350 $\Rightarrow$ x = 70
$\Rightarrow$ Độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là 4.70 = 280.
Như vậy diện tích của mảnh ruộng là: 280.70 = 19600(m$^{2}$).
Câu 5: Trang 127 toán VNEN 8 tập 1
Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE, CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K.Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T. Chứng minh rằng $\frac{MH}{AD}$ + $\frac{MK}{BE}$ + $\frac{MT}{CF}$ = 1.
Trả lời:
Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S$_{1}$, S$_{2}$, S$_{3}$.
Ta có: S = S$_{1}$ + S$_{2}$ + S$_{3}$.
Trong đó: S = $\frac{AD.BC}{2}$ = $\frac{BE.AC}{2}$ = $\frac{CF.AB}{2}$;
S$_{1}$ = $\frac{MT.AB}{2}$; S$_{2}$ = $\frac{MK.AC}{2}$; S$_{3}$ = $\frac{MH.BC}{2}$.
Lại có:
$\frac{S_{1}}{S}$ = $\frac{\frac{MT.AB}{2}}{\frac{CF.AB}{2}}$ = $\frac{MT}{CF}$
$\frac{S_{2}}{S}$ = $\frac{\frac{MK.AC}{2}}{\frac{BE.AC}{2}}$ = $\frac{MK}{BE}$
$\frac{S_{3}}{S}$ = $\frac{\frac{MH.CB}{2}}{\frac{AD.CB}{2}}$ = $\frac{MH}{AD}$
$\Rightarrow$ $\frac{MH}{AD}$ + $\frac{MK}{BE}$ + $\frac{MT}{CF}$ = $\frac{S_{1}}{S}$ + $\frac{S_{2}}{S}$ + $\frac{S_{3}}{S}$ = $\frac{S_{1} + S_{2} + S_{3}}{S}$ = $\frac{S}{S}$ = 1 (đpcm).
E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng
Câu 1: Trang 127 sách Toán Vnen 8 tập 1
a) Có thể dùng kéo cắt theo một đường thẳng để chia một hình tam giác bằng giấy (hay bìa mỏng) thành hai phần có diện tích bằng nhau không? Giải thích cách làm của em.
b) Có thể dùng kéo cắt hai đường thẳng để chia một hình tam giác bằng giấy (hay bìa mỏng) thành ba phần có diện tích bằng nhau hay không? Giải thích cách làm của em.
Trả lời:
a) Có thể
- Ví dụ: Cắt tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau
- Ta lấy M là trung điểm của BC
- Nối A với M
- Dùng kéo căt theo đường AM ta được hai tam giác có diện tích bằng nhau (Chung đường cao và hai cạnh đáy bằng nhau)
b) Có thể
Tương tự như phần a
Lấy Trên cạnh BC lấy điểm M và N sao cho BM = MN = NC
Nối AN, AM
- Dùng kéo cắt theo đường AM và AN ta được 3 tam giác có diện tích bằng nhau.
Câu 2: Trang 127 sách Toán Vnen 8 tập 1
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. A và B là hai điểm cố định trên đường thẳng a. Còn C là điểm di động trên đường thẳng b. Chứng tỏ rằng: Diện tích tam giác ABC không thay đổi khi C chạy trên b.
Trả lời:
- Kẻ CH vuông góc với AB => CH là đường cao của tam giác CAB
SCAB = $\frac{1}{2}$.CH.AB (1)
- Độ dài AB không đổi (2)
- a // b, CH $\perp $ b => CH $\perp $ a
=> Khi C di động trên b thì độ dài CH là không đổi (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra khi C chạy trên b thì diện tích tam giác ABC không thay đổi.
Câu 3: Trang 127 sách Toán Vnen 8 tập 1
Một mảnh sân có dạng hình tam giác mà độ dài cạnh đáy của nó đo được 15m. Người ta đã mở rộng mảnh sân này, bằng cách kéo dài cạnh đáy của tam giác đó thêm 10m, khi đó diện tích sân tằng thêm 150m$^{2}$. Hãy tính diện tích mảnh sân ban đầu.
Trả lời:
Gọi a là chiều cao của mảnh sân hình tam giác.
Khi tăng cạnh đáy lên 10m thì diện tích tăng thêm là:
$\frac{1}{2}$.a.10 = 150 (m$^{2}$)
=> a = 30m
- Diện tích mảnh sân ban đầu là:
$\frac{1}{2}$.30.15 = 225 (m$^{2}$)