Giải Toán 8 sách VNEN bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

A. Hoạt động khởi động

Câu 1: Trang 47 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện theo các yêu cầu

a) Làm tính trừ các phân số sau:       i) $\frac{4}{5}$ - $\frac{3}{5}$;        ii) $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{4}$.

b) Phát biểu quy tắc trừ hai phân số có cùng mẫu và trừ hai phân số không cùng mẫu.

c) Tương tự trên, em hãy phát biểu quy tắc cộng hai phân thức có cùng mẫu và cộng hai phân thức không cùng mẫu.

Trả lời:

a) i) $\frac{4}{5}$ - $\frac{3}{5}$ = $\frac{4 – 3}{5}$ = $\frac{1}{5}$;       

    ii) $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{12}$ - $\frac{3}{12}$ = $\frac{8 – 3}{12}$ = $\frac{5}{12}$.

b) Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu số, ta trừ các tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

     Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi trừ các phân số có cùng mẫu số vừa tìm được.

c) Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

    Muốn trừ hai phân thức không cùng mẫu thức, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Đọc kĩ nội dung sau

• Muốn trừ các phân thức cho một phân thức khác có cùng mẫu thức, ta trừ các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

$\frac{A}{B}-\frac{C}{B}=frac{A-C}{B}$

• Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Câu 1: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện phép tính

a) $\frac{3}{x – 4}$ - $\frac{2}{4 – x}$;             

b) $\frac{x + 2}{x – 1}$ - $\frac{x – 9}{1 – x}$ - $\frac{x – 9}{1 – x}$;              

c) $\frac{x + 3}{x^{2} - 1}$ - $\frac{x + 1}{x^{2} – x}$.

Trả lời:

a) $\frac{3}{x – 4}$ - $\frac{2}{4 – x}$ = $\frac{3}{x - 4}$ - $\frac{-2}{x - 4}$ = $\frac{3 – (-2)}{x - 4}$ = $\frac{5}{x - 4}$;             

b) $\frac{x + 2}{x – 1}$ - $\frac{x – 9}{1 – x}$ - $\frac{x – 9}{1 – x}$ = $\frac{-(x + 2)}{1 - x}$ - $\frac{x – 9}{1 – x}$ - $\frac{x – 9}{1 – x}$ = $\frac{-x – 2 – (x – 9) – (x – 9)}{1 – x}$ = $\frac{-3x + 16}{1 – x}$;              

c) $\frac{x + 3}{x^{2} - 1}$ - $\frac{x + 1}{x^{2} – x}$ = $\frac{x + 3}{(x – 1)(x + 1)}$ - $\frac{x + 1}{x(x – 1)}$ = $\frac{x(x + 3)}{x(x – 1)(x + 1)}$ - $\frac{(x + 1)(x + 1)}{x(x – 1)(x + 1)}$

= $\frac{x^{2} + 3x – (x^{2} + 2x + 1)}{x(x – 1)(x + 1)}$ = $\frac{x - 1}{x(x – 1)(x + 1)}$ = $\frac{1}{x(x + 1)}$.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Xem xét các biến đổi sau đúng hay sai và giải thích:

a) -$\frac{2x}{x – 1}$ = $\frac{2x}{x + 1}$;                b) $\frac{1 – x}{1 + x}$ = $\frac{x - 1}{x + 1}$;                 c) $\frac{x - 4}{x - 1}$ = $\frac{4 - x}{1 - x}$;

d) $\frac{x - 4}{x - 1}$ - $\frac{3x}{1 - x}$ = $\frac{x - 4}{x - 1}$ + $\frac{3x}{x - 1}$ = $\frac{4x - 4}{x - 1}$ = 4

Trả lời:

a) Sai vì –(x – 1) = 1 – x không bằng x + 1.

b) Sai vì 1 – x không bằng x – 1.

c) Đúng vì $\frac{4 - x}{1 - x}$ = $\frac{-(x – 4)}{-(x – 1)}$ = $\frac{x - 4}{x - 1}$.

d) Đúng.

Câu 2: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Tính:

a) $\frac{7}{x - 3}$ - $\frac{4}{3 - x}$;             b) $\frac{3}{x + 5}$ - $\frac{2}{x + 2}$;              c) $\frac{9}{x - 5}$ - $\frac{6}{x^{2} - 25}$.

Trả lời:

a) $\frac{7}{x - 3}$ - $\frac{4}{3 - x}$ = $\frac{7}{x - 3}$ + $\frac{4}{x - 3}$ = $\frac{11}{x - 3}$; 

b) $\frac{3}{x + 5}$ - $\frac{2}{x + 2}$ = $\frac{3(x + 2)}{(x + 5)(x + 2)}$ - $\frac{2(x + 5)}{(x + 2)(x + 5)}$ = $\frac{3x + 6 – 2x – 10}{(x + 5)(x + 2)}$ = $\frac{x - 4}{(x + 5)(x + 2)}$;

c) $\frac{9}{x - 5}$ - $\frac{6}{x^{2} - 25}$ = $\frac{9}{x - 5}$ - $\frac{6}{(x – 5)(x + 5)}$ = $\frac{9(x + 5)}{(x + 5)(x – 5)}$ - $\frac{6}{(x + 5)(x – 5)}$ = $\frac{9x + 39}{(x + 5)(x – 5)}$.

Câu 3: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Làm tính trừ các phân thức sau:

a) $\frac{3}{2y + 4}$ - $\frac{1}{3y + 6}$;                  b) $\frac{1}{2x - 3}$ - $\frac{1}{2x + 3}$;             

c) $\frac{1}{xy - x^{2}}$ - $\frac{1}{y^{2} - xy}$;              d) $\frac{x + 1}{x + 4}$ - $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 16}$.

Trả lời:

a) $\frac{3}{2y + 4}$ - $\frac{1}{3y + 6}$ = $\frac{3}{2(y + 2)}$ - $\frac{1}{3(y + 2)}$ = $\frac{3.3}{6(y + 2)}$ - $\frac{2}{6(y + 2)}$ = $\frac{9 - 2}{6(y + 2)}$ = $\frac{7}{6(y + 2)}$;

b) $\frac{1}{2x - 3}$ - $\frac{1}{2x + 3}$ = $\frac{2x + 3}{(2x – 3)(2x + 3)}$ - $\frac{2x - 3}{(2x + 3)(2x – 3)}$ = $\frac{2x + 3 – (2x – 3)}{(2x + 3)(2x – 3)}$ = $\frac{6}{(2x + 3)(2x – 3)}$;             

c) $\frac{1}{xy - x^{2}}$ - $\frac{1}{y^{2} - xy}$ = $\frac{1}{x(y – x)}$ - $\frac{1}{y(y – x)}$ = $\frac{y}{xy(y – x)}$ - $\frac{x}{xy(y – x)}$ = $\frac{y - x}{xy(y – x)}$ = $\frac{1}{xy}$;

d) $\frac{x + 1}{x + 4}$ - $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 16}$ = $\frac{x + 1}{x + 4}$ - $\frac{x^{2} - 4}{(x + 4)(x – 4)}$

= $\frac{(x + 1)(x – 4)}{(x + 4)(x – 4)}$ - $\frac{x^{2} - 4}{(x + 4)(x – 4)}$ = $\frac{x^{2} – 3x – 4 - x^{2} + 4}{(x + 4)(x – 4)}$ = $\frac{-3x}{(x – 4)(x + 4)}$.

Câu 4: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Chứng tỏ rằng mỗi hiệu sau đây bằng một phân thức có tử bằng 1:

a) $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{x + 1}$;             b) $\frac{1}{xy - x^{2}}$ - $\frac{1}{y^{2} - xy}$.    

Trả lời:

a) $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{x + 1}{x(x + 1)}$ - $\frac{x}{x(x + 1)}$ = $\frac{x + 1 - x}{x(x + 1)}$ = $\frac{1}{x(x + 1)}$;

b) $\frac{1}{xy - x^{2}}$ - $\frac{1}{y^{2} - xy}$ = $\frac{1}{x(y – x)}$ - $\frac{1}{y(y – x)}$ = $\frac{y}{xy(y – x)}$ - $\frac{x}{xy(y – x)}$ = $\frac{y - x}{xy(y – x)}$ = $\frac{1}{xy}$.

Câu 5: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Dùng quy tắc đổi dấu rồi thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{4x + 13}{5x(x – 7)}$ - $\frac{x - 48}{5x(7 – x)}$;             b) $\frac{1}{x – 5x^{2}}$ - $\frac{25x - 15}{25x^{2} - 1}$.

Trả lời:

a) $\frac{4x + 13}{5x(x – 7)}$ - $\frac{x - 48}{5x(7 – x)}$ = $\frac{4x + 13}{5x(x – 7)}$ + $\frac{x - 48}{5x(x – 7)}$ = $\frac{4x + 13 + x - 48}{5x(x – 7)}$ = $\frac{5x - 35}{5x(x – 7)}$ = $\frac{5(x – 7)}{5x(x – 7)}$ = $\frac{1}{x}$;  

b) $\frac{1}{x – 5x^{2}}$ - $\frac{25x - 15}{25x^{2} - 1}$ = $\frac{-1}{x(5x – 1)}$ - $\frac{25x - 15}{(5x + 1)(5x – 1)}$ = $\frac{-1(5x + 1)}{x(5x + 1)(5x – 1)}$ - $\frac{x(25x – 15)}{x(5x – 1)(5x + 1)}$

= $\frac{-5x – 1 – (25x^{2} – 15x)}{x(5x + 1)(5x – 1)}$ = $\frac{-25x^{2} + 10x - 1}{x(5x + 1)(5x – 1)}$ = $\frac{-(5x – 1)x^{2}}{x(5x + 1)(5x – 1)}$ = $\frac{-5x + 1}{x(5x + 1)}$.

Câu 6: Trang 48 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện các phép tính:

a) $\frac{x + 3}{x}$ - $\frac{x}{x - 3}$ + $\frac{9}{x^{2} – 3x}$;             b) $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{6x}{x^{3} - 8}$ + $\frac{x – 2}{x^{2} + 2x + 4}$.            

Trả lời:

a) $\frac{x + 3}{x}$ - $\frac{x}{x - 3}$ + $\frac{9}{x^{2} – 3x}$ = $\frac{x + 3}{x}$ - $\frac{x}{x - 3}$ + $\frac{9}{x(x – 3)}$

= $\frac{(x + 3)(x – 3)}{x(x – 3)}$ - $\frac{x.x}{x(x – 3)}$ + $\frac{9}{x(x – 3)}$ = $\frac{x^{2} – 9 - x^{2} + 9}{x(x – 3)}$ = $\frac{0}{x(x – 3)}$ = 0;

b) $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{6x}{x^{3} - 8}$ + $\frac{x – 2}{x^{2} + 2x + 4}$ = $\frac{1}{x - 2}$ - $\frac{6x}{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}$ + $\frac{x - 2}{x^{2} + 2x + 4}$

= $\frac{x^{2} + 2x + 4}{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}$ - $\frac{6x}{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}$ - $\frac{(x – 2)^{2}}{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}$

= $\frac{x^{2} + 2x + 4 – 6x + x^{2} – 4x + 4}{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}$ = $\frac{2x^{2} – 8x + 8}{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}$ = $\frac{2(x – 2)}{x^{2} + 2x + 4}$.   

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 49 toán VNEN 8 tập 1

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{3}{2x + 6}$ - $\frac{x – 6}{2x^{2} + 6x}$;             b) x$^{2}$ + 1 - $\frac{x^{4} – 3x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$.

Trả lời:

a) $\frac{3}{2x + 6}$ - $\frac{x – 6}{2x^{2} + 6x}$ = $\frac{3}{2(x + 3)}$ - $\frac{x - 6}{2x(x + 3)}$ = $\frac{3x}{2x(x + 3)}$ - $\frac{x - 6}{2x(x + 3)}$ = $\frac{3x – x + 6}{2x(x + 3)}$ = $\frac{2x + 6}{2x(x + 3)}$ = $\frac{1}{x}$;

b) x^{2} + 1 - $\frac{x^{4} – 3x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$ = $\frac{(x^{2} + 1)(x^{2} – 1)}{x^{2} - 1}$ - $\frac{x^{4} – 3x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{4} – 1 – (x^{4} – 3x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ = $\frac{3x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ = 3.

Câu 2: Trang 49 toán VNEN 8 tập 1

Một công ti may phải sản xuất 10 000 sản phẩm trong x ngày. Khi thực hiện không những đã làm xong sớm một ngày mà còn làm thêm được 80 sản phẩm.

a) Hãy biểu diễn qua x:

- Số sản phẩm công ti may phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch.

- Số sản phẩm thực tế công ti may đã làm được trong một ngày.

- Số sản phẩm công ti may phải làm thêm trong một ngày.

b) Tính số sản phẩm công ti may làm thêm trong một ngày với x = 25.

Trả lời:

a) Số sản phẩm phải sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch là $\frac{10000}{x}$ (sản phẩm).

Số sản phẩm thực tế đã làm được trong 1 ngày là  $\frac{10080}{x - 1}$ (sản phẩm).

Số sản phẩm làm thêm trong 1 ngày là $\frac{10080}{x - 1}$ - $\frac{10000}{x}$ (sản phẩm).

b) Với x = 25, biểu thức $\frac{10080}{x - 1}$ - $\frac{10000}{x}$ có giá trị bằng:

$\frac{10080}{25 - 1}$ - $\frac{10000}{25}$ = 420 – 400 = 20 (sản phẩm).

Câu 3: Trang 49 toán VNEN 8 tập 1

Biểu diễn phân thức $\frac{2x + 6}{x^{2} - 4}$ dưới dạng tổng (hoặc hiệu) của hai phân thức có mẫu là đa thức bậc nhất.

Trả lời:

$\frac{2x + 6}{x^{2} - 4}$ = $\frac{2x + 6}{(x – 2)(x + 2)}$ = $\frac{4x + 12}{2(x – 2)(x + 2)}$ = $\frac{5x + 10 – x + 2}{2(x – 2)(x + 2)}$ = $\frac{5(x + 2) – (x – 2)}{2(x – 2)(x + 2)}$ = $\frac{5}{2(x – 2)}$ - $\frac{1}{2(x + 2)}$.