Giải Toán 8 sách VNEN bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Thực hiện các yêu cầu:

- Với a và b là hai số bất kì, tính (a + b)(a + b).

- Với a > 0; b > 0, hãy tính tích (a + b)(a + b) thông qua việc tính diện tích hình vuông ABCD theo hai cách.

Trả lời:

- Với a ,b là hai số bất kì, ta có:

(a + b)(a + b) = a$^{2}$ + ab + ba + b$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$.

- Với a > 0; b > 0, ta có thể tính diện tích ABCD theo hai cách như sau:

Cách 1: S$_{ABCD}$ = (a + b)(a + b)

Cách 2: S$_{ABCD}$ = a$^{2}$ + ab + ba + b$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$

Như vậy, qua việc tính diện tích hình vuông ABCD theo hai cách như trên, ta có thể suy ra tích

(a + b)(a + b) = a$^{2}$ + ab + ba + b$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Bình phương của một tổng:

• Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)$^{2}$ = A$^{2}$ + 2AB + B$^{2}$

c) Thực hiện các yêu cầu:

- Tính (2b + 1)$^{2}$.

- Điền chữ, số thích hợp vào chỗ chấm để viết biểu thức x$^{2}$ + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng: x$^{2}$ + 4x + 4 = x$^{2}$ + 2.x.2 + 2$^{2}$ = ……………………………..

- Tính nhanh 401$^{2}$.

Trả lời:

- Có: (2b + 1)$^{2}$ = (2b)$^{2}$ + 2.2b.1 + 1$^{2}$ = 4b$^{2}$ + 4b + 1.

- Có: x$^{2}$ + 4x + 4 = x$^{2}$ + 2.x.2 + 2$^{2}$ = …(x + 2)$^{2}$ …

- 401$^{2}$ = (400 + 1)$^{2}$ = 400$^{2}$ + 2.400.1 + 1$^{2}$ = 160000 + 800 + 1 = 160801.

2. a) Với a, b là hai số bất kì, hãy điền vào chỗ chấm để tính (a – b)$^{2}$ theo hai cách:

Cách 1: (a – b)$^{2}$ = [a + (-b)]$^{2}$ = a$^{2}$ + 2.a.(-b) + (-b)$^{2}$ = ……………………;

Cách 2: (a – b)(a – b) = ……………………… = ………………………………

Trả lời:

Cách 1: (a – b)$^{2}$ = [a + (-b)]$^{2}$ = a$^{2}$ + 2.a.(-b) + (-b)$^{2}$ = a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$;

Cách 2: (a – b)(a – b) = a$^{2}$ - ab - ba + b$^{2}$ = a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Bình phương của một hiệu:

• Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A - B)$^{2}$ = A$^{2}$ - 2AB + B$^{2}$

c) Thực hiện các yêu cầu:

- Tính (2x – y)$^{2}$.

- Tính nhanh 999$^{2}$.

Trả lời:

- Có: (2x – y)$^{2}$ = (2x)$^{2}$ - 2.2x.y + y$^{2}$ = 4x$^{2}$ - 4xy + y$^{2}$.

- Có: 999$^{2}$ = (1000 – 1)$^{2}$ = 1000$^{2}$ - 2.1000.1 + 1$^{2}$ = 1000000 – 2000 + 1 = 998001.

3. a) Với a, b bất kì, tính (a + b)(a – b).

Trả lời:

(a + b)(a – b) = a$^{2}$ - ab + ba - b$^{2}$ = a$^{2}$ - b$^{2}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Hiệu hai bình phương:

• Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A$^{2}$ - B$^{2}$ = (A + B)(A - B)

c) Thực hiện các yêu cầu:

- Tính (x – 2y)(x + 2y).

- Tính nhanh 77.83.

Trả lời:

- Có: (x – 2y)(x + 2y) = x$^{2}$ - (2y)$^{2}$ = x$^{2}$ - 4y$^{2}$.

- Có: 77.83 = (80 – 3)(80 + 3) = 80$^{2}$ - 3$^{2}$ = 6400 – 9 = 6391.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 12 toán VNEN 8 tập 1

Hãy phát biểu bằng lời các hằng đẳng thức: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương.

Trả lời:

- Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương số thứ hai.

- Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương số thứ hai.

- Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng hai số đó với hiệu của hai số đó.

Câu 2: Trang 12 toán VNEN 8 tập 1

Tính:

a) (3 + xy$^{2}$)$^{2}$;                 b) (10 – 2m$^{2}$n)$^{2}$;               c) (a - b$^{2}$)(a + b$^{2}$).

Trả lời:

a) (3 + xy$^{2}$)$^{2}$ = 3$^{2}$ + 2.3.xy$^{2}$ + (xy$^{2}$)$^{2}$ = 9 + 6xy$^{2}$ + x$^{2}$y$^{4}$; 

b) (10 – 2m$^{2}$n)$^{2}$ = 10$^{2}$ - 2.10.2m$^{2}$n + (2m$^{2}$n)$^{2}$ = 100 – 40m$^{2}$n + 4m$^{4}$n$^{2}$;

c) (a - b$^{2}$)(a + b$^{2}$) = a$^{2}$ - (b$^{2}$)$^{2}$ = a$^{2}$ - b$^{4}$.

Câu 3: Trang 12 toán VNEN 8 tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 4x$^{2}$ + 4xy + y$^{2}$;                              b) 9m$^{2}$ + n$^{2}$ - 6mn;

c) 16a$^{2}$ + 25b$^{2}$ + 40ab;                     d) x$^{2}$ - x + $\frac{1}{4}$.

Trả lời:

a) 4x$^{2}$ + 4xy + y$^{2}$ = (2x)$^{2}$ + 2.2x.y + y$^{2}$ = (2x + y)$^{2}$;

b) 9m$^{2}$ + n$^{2}$ - 6mn = (3m)$^{2}$ + n$^{2}$ - 2.3m.n = (3m – n)$^{2}$;

c) 16a$^{2}$ + 25b$^{2}$ + 40ab = (4a)$^{2}$ + (5b)$^{2}$ + 2.4a.5b = (4a + 5b)$^{2}$;

d) x$^{2}$ - x + $\frac{1}{4}$ = x$^{2}$ - 2.x.$\frac{1}{2}$ +($\frac{1}{2}$)$^{2}$ = (x - $\frac{1}{2}$)$^{2}$.

Câu 4: Trang 12 toán VNEN 8 tập 1

Hãy tìm cách giúp bạn Huy khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x$^{2}$ + 6xy + …… = (…… + 3y)$^{2}$;                       b) (…… - ……)$^{2}$ = a$^{2}$ - …… + 4b$^{4}$;

c) (…… + ……)$^{2}$ = …… + m + $\frac{1}{4}$;                       d) …… - 4n$^{4}$ = (m + ……)(m - ……).

Trả lời:

a) x$^{2}$ + 6xy + …9y$^{2}$… = (…x… + 3y)$^{2}$;                              b) (…a… - …2b…)$^{2}$ = a$^{2}$ - …4ab… + 4b$^{4}$;

c) (…m… + …$\frac{1}{2}$m…)$^{2}$ = …m$^{2}$… + m + $\frac{1}{4}$;                       d) …m$^{2}$… - 4n$^{4}$ = (m + …2n$^{2}$…)(m - …2n$^{2}$…).

Câu 5: Trang 12 toán VNEN 8 tập 1

Tính nhanh:

a) 301$^{2}$;                 b) 499$^{2}$;                  c) 68.72.

Trả lời:

a) 301$^{2}$ = (300 + 1)$^{2}$ = 300$^{2}$ + 2.300.1 + 1$^{2}$ = 90000 + 600 + 1 = 90601;

b) 499$^{2}$ = (500 – 1)$^{2}$ = 500$^{2}$ - 2.500.1 + 1$^{2}$ = 250000 - 1000 + 1 = 249001;

c) 68.72 = (70 – 2)(70 + 2) = 70$^{2}$ - 2$^{2}$ = 4900 – 4 = 4896.

Câu 6: Trang 12 toán VNEN 8 tập 1

Bình viết: x$^{2}$ - 12x + 36 = (x – 6)$^{2}$.

Minh viết: x$^{2}$ - 12x + 36 = (6 – x)$^{2}$.

Hương nêu nhận xét: Minh viết sai, Bình viết đúng.

Sơn nói: Qua ví dụ trên, mình rút ra một hằng đẳng thức rất đẹp!

Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào?

Trả lời:

Trong trường hợp trên, nhận xét của hai bạn Hương và Sơn đều đúng.

Hằng đẳng thức ta rút ra được từ ví dụ trên là: (A – B)$^{2}$ = (B – A)$^{2}$.

D. Hoạt động vận dụng

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh a - b (cho a > b). Diện tich phần còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Trả lời:

Diện tích miếng tôn ban đầu: (a + b)$^{2}$= a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$

Diện tích miếng tôn cắt đi: (a - b)$^{2}$ = a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$

Diện tích phần còn lại: a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ - (a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$) = 4ab

Diện tích phần còn lại không phụ thuộc vào vị trí cắt.

E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng

1. Hãy tính diện tích của hình vuông ABCD (hình dưới) theo hai cách để kết luận rằng:

(a - b)$^{2}$ = a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$ với mọi giá trị của a và b.

2. Em có nhận xét thế nào về diện tich của hình ABCDEF và hình HIJK dưới đây?

Hãy chứng minh:

+ Diện tích của hình ABCDEF bằng a$^{2}$ - b$^{2}$;

+ Diện tích của hình HIJK bằng (a + b)(a - b) để kết luận rằng: a$^{2}$ - b$^{2}$ = (a + b)(a - b) với mọi giá trị của a và b.

Trả lời:

1.

Cách 1: S_ABCD = AB.BC = a$^{2}$ (1)

Cách 2: S_ABCD = S_AMIT + S_MBPI + S_TIDN + S_NIPC

                         = AM.AT + MI.MB + TD.TI + NI.IP

                         = b.(a - b) + (a - b).(a - b) + b.b + b.(a - b)

                         = (a - b)$^{2}$ + 2ab - b$^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) => a$^{2}$ = (a - b)$^{2}$ + 2ab - b$^{2}$ 

=> (a - b)$^{2}$ = a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$ 

2. 

Nhận xét: S_ABCDEF = S_AHIJK  vì cùng bằng a.(a - b) + a.b 

S_ABCDEF = S_ABGF - S_DCGE = a$^{2}$  - b$^{2}$ 

S_AHIJK = HK.KJ = (a - b)(a + b)

=> a$^{2}$  - b$^{2}$ = (a - b)(a + b)