Giải Toán 8 sách VNEN bài 12: Ôn tập chương I

C. Hoạt động luyện tập

1. Đọc và làm theo để hình dung về hệ thống kiến thức đã học

Câu 1: Trang 111 toán VNEN 8 tập 1

Em hãy nhớ lại các kiến thức đã học ở chương này và trả lời các câu hỏi sau đây.

(1) Thế nào là đường trung bình của tam giác? Đường trung bình của tam giác có những tính chất gì?

(2) Thế nào là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?

(3) Thế nào là đường thẳng song song cách đều?

(4) Thế nào là tứ giác? Thế nào là tứ giác lồi?

(5) Thế nào là hình có trục đối xứng? Thế nào là hình có tâm đối xứng? Cho ví dụ.

(6) Thế nào là hình thang? Hình thang cân? Hình thang vuông?

(7) Thế nào là hình bình hành? Với điều kiện nào thì một tứ giác trở thành hình bình hành?

(8) Thế nào là hình chữ nhật? Với điều kiện nào thì một tứ giác trở thành hình chữ nhật?

(9) Thế nào là hình thoi? Với điều kiện nào thì một tứ giác trở thành hình thoi?

(10) Thế nào là hình vuông? Với điều kiện nào thì một tứ giác trở thành hình vuông?

(11) Hình nào trong các hình: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông là hình có tâm đối xứng? Hình có trục đối xứng?

Trả lời:

(1) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

(2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

(3) Các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Ta gọi chúng là các đường thẳng song song cách đều.

(4) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi là một tứ giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của tứ giác đó.

(5) Hình H có trục đối xứng là đường thẳng d nếu điểm đối xứng của mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H. Ví dụ: hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,…

Hình H có điểm O là tâm đối xứng nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. Ví dụ: hình tròn, hình vuông, hình tam giác đều,…

(6) Hình thang là tứ giác có một cặp đối song song với nhau.

Hình thang vuông là hình thang có một góc  vuông.

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một cạnh đáy bằng nhau.

(7) Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau.

Với những điều kiện sau thì một tứ giác trở thành hình vuông:

- Các cặp cạnh đối song song.

- Các cặp cạnh đối bằng nhau.

- Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

- Các cặp góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

(8) Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Với những điều kiện sau thì một tứ giác trở thành hình chữ nhật:

- Có ba góc vuông.

- Hình thang cân có một góc vuông.

- Hình bình hành có một góc vuông.

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

(9) Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Với những điều kiện sau thì một tứ giác trở thành hình thoi:

- Có bốn cạnh bằng nhau.

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh.

(10) Hình vuông là một tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

Với những điều kiện sau thì một tứ giác trở thành hình vuông:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh.

- Hình thoi có một góc vuông.

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.

(11) Hình nào trong các hình: hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông là hình có tâm đối xứng? Hình có trục đối xứng?

Hình có tâm đối xứng là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Hình có trục đối xứng là hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

Câu 2: Trang 112 toán VNEN 8 tập 1

Em hãy nhớ lại các kiến thức đã học ở chương này và điền vào các chỗ trống sau đây để được phát biểu đúng.

(1) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì ……………… với cạnh thứ ba.

(2) Các điểm cách đường thẳng b một khoảng các h nằm trên ……………… song song với b và cách b một khoảng bằng h.

(3) Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn liên tiếp ……………….

(4) Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn liên tiếp bằng nhau thì chúng ………………

(5) Đường trung bình của hình thang thì song song với ……………… và bằng nửa tổng ………………

(6) Tổng các góc của một tứ giác bằng ………………

(7) Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng ………………

(8) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên ………………, hai cạnh đáy ………………

(9) Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên ……………… và ………………

Trả lời:

(1) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì ………song song……… với cạnh thứ ba.

(2) Các điểm cách đường thẳng b một khoảng cách h nằm trên ………hai đường thẳng……… song song với b và cách b một khoảng bằng h.

(3) Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn liên tiếp ……………….

(4) Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn liên tiếp bằng nhau thì chúng ………song song cách đều………

(5) Đường trung bình của hình thang thì song song với ………hai đáy……… và bằng nửa tổng ………hai đáy………

(6) Tổng các góc của một tứ giác bằng ………360$^{0}$………

(7) Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng ………nửa cạnh huyền………

(8) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên ………bằng nhau………, hai cạnh đáy ………bằng nhau………

(9) Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên ………song song……… và ………bằng nhau………

2. Vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập sau

Câu 1: Trang 113 toán VNEN 8 tập 1

Hình nào sau đây có tâm đối xứng? có trục đối xứng?

Trả lời:

Cả hai hình này vừa là hình có trục đối xứng, vừa là hình có tâm đối xứng.

Câu 2: Trang 113 toán VNEN 8 tập 1

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

a) Gọi E, F, G, H tương ứng là trung điểm các cạnh AB,BC, CD, DA. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

b) Gọi I, J, K, L tương ứng là trung điểm các cạnh EF, FG, GH, HE nói ở câu a). Chứng minh rằng IJKL là hình thoi.

c) Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm các cạnh IJ, JK, KL, LI nói ở câu b). Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

a) E là trung điểm AB (gt) và H là trung điểm AD (gt) $\Rightarrow$ EH là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow$ EH // BD, EH = $\frac{BD}{2}$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: FG là đường trung bình của tam giác BDC

$\Rightarrow$ FG // BD, FG = $\frac{BD}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ HE // FG, HE = FG

$\Rightarrow$ EFGH là hình bình hành.

Lại  có: H là trung điểm AD (gt); G là trung điểm DC (gt) $\Rightarrow$ HG là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow$ HG // AC.

Mà AC vuông góc với BD (gt) $\Rightarrow$ HG vuông góc với BD.

Lại có: BD // HE (cmt) $\Rightarrow$ HG vuông góc với HE.

Hình bình hành EFGH có $\widehat{EHG}$ =90$^{0}$ (cmt)

$\Rightarrow$ EFGH là hình chữ nhật.

b) Nối E với G, F với H.

Ta có: L là trung điểm EH (gt); I là trung điểm EF (gt) $\Rightarrow$ IL là đường trung bình của tam giác EFH

$\Rightarrow$ IL // HF, IM = $\frac{HF}{2}$ (3)

Chứng minh tương tự, ta được: JK là đường trung bình của tam giác HGF

$\Rightarrow$ JK // HF , JK = $\frac{HF}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ IL // JK, IL = JK $\Rightarrow$ ILKJ là hình bình hành.

Lại có: EFGH là hình chữ nhật $\Rightarrow$ HG = EF.

Và: K là trung điểm HG (gt); I là trung điểm EF (gt) $\Rightarrow$ HK = EI

Xét tam giác LHK vuông tại H và tam giác LEI vuông tại E, có:

LH = LE (L là trung điểm HE )

HK = EI (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$LHK = $\Delta$LEI $\Rightarrow$ KL = LI.

Xét ILKJ là hình bình hành có: KL = LI (cmt) $\Rightarrow$ ILKJ là hình thoi.

c) Q là trung điểm IL (gt) và M là trung điểm IJ (gt) $\Rightarrow$ QM là đường trung bình của tam giác ILJ

$\Rightarrow$ QM // LJ, QM = $\frac{LJ}{2}$ (5)

Chứng minh tương tự, ta có: PN là đường trung bình của tam giác LJK

$\Rightarrow$ PN // LJ, PN = $\frac{LJ}{2}$ (6)

Từ (5) và (6) $\Rightarrow$ QM = PN, QM // PN.

$\Rightarrow$ MNPQ là hình bình hành.

Lại có: Q là trung điểm LI (gt); P là trung điểm LK (gt) $\Rightarrow$ QP là đường trung bình của tam giác LIK

$\Rightarrow$ QP // IK.

Mà IK vuông góc với LJ (tính chất hình thoi) $\Rightarrow$ QP vuông góc với LJ.

Lại có: LJ // PN (cmt) $\Rightarrow$ QP vuông góc PN.

Hình bình hành MNPQ có $\widehat{QPN}$ =90$^{0}$ (cmt)

$\Rightarrow$ MNPQ là hình chữ nhật.

d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là các hình vuông.

Câu 3: Trang 114 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi M là đối xứng của H qua AB, gọi N là đối xứng của H qua AC. Chứng minh rằng:

a) AM = AN;

b) M là đối xứng của N qua A;

c) MHN là tam giác vuông tại H;

d) MN vuông góc CN;

e) BMNC là hình thang vuông.

Trả lời:

a) Vì M đối xứng với H qua AB $\Rightarrow$ AH = AM

Và N đối xứng với N qua AC $\Rightarrow$ AH = AN

Do đó: AM = AN (4) (= AH).

b) Xét $\Delta$ABM và $\Delta$ABH, có:

AM = AH (H đối xứng với M qua AB)

BM = BH (H đối xứng với M qua AB)

AB chung

$\Rightarrow$ $\Delta$ABM = $\Delta$ABH (c−c−c).

$\Rightarrow$ $\widehat{MAB}$ = $\widehat{BAH}$ (1)

Tương tự, ta có: $\Delta$ACN = $\Delta$ACH $\Rightarrow$ $\widehat{NAC}$ = $\widehat{CAH}$ (2)

Mà $\widehat{BAH}$ + $\widehat{CAH}$ = 90$^{0}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $\widehat{MAB}$ + $\widehat{BAH}$ + $\widehat{NAC}$ + $\widehat{CAH}$ = 2$\widehat{BAH}$ +2$\widehat{HAC}$ = 2.90$^{0}$ = 180$^{0}$

$\Rightarrow$ M, N, A thẳng hàng. (5)

Từ (4) và (5) $\Rightarrow$ M đối xứng với N qua A.

c) Xét $\Delta$MHN, có: AH = MA = NA (cmt)

$\Rightarrow$ AH = $\frac{MA + NA}{2}$ = $\frac{MN}{2}$ $\Rightarrow$ $\Delta$MHN vuông tại H.

d) Do $\Delta$ACH = $\Delta$ACN (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{AHC}$ = $\widehat{ANC}$ = 90$^{0}$  $\Rightarrow$ MN $\perp$ CN.

e) Do $\Delta$ABM = $\Delta$ABH (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AHB}$ = 90$^{0}$.

Xét tứ giác BMNC, có: $\widehat{NMB}$ = $\widehat{MNC}$ = 90$^{0}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow$ BMNC là hình thang

Mà hai góc đó cùng bằng 90$^{0}$

$\Rightarrow$ BMNC là hình thang vuông.

Câu 4: Trang 114 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình thang ABCD có BC // AD và AB = BC = CD = a, AD = 2a. Gọi E là trung điểm của AD.

a) Cho biết số đo các góc của hình thang đó.

b) Chứng minh rằng ABCE và BCDE là các hình thoi.

c) Chứng minh rằng ACD và ABD là các tam giác vuông.

d) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AE và ED. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật.

Trả lời:

a) E là trung điểm AD => DE = EA = a

- Tứ giác ABCE có: BC // AE và BC = AE = a => ABCE là hình bình hành 

- Mà BC = AB = a => ABCE là hình thoi.

=> CE = CB = a (Tính chất của hình thoi). (1)

- Chứng minh tương tự có tứ giác BCDE là hình thoi => BE = BC = a. (2)

- Từ (1) và (2) => CE = BE (= BC = a)

- Xét tam giác CEB có CE = CB = EB = a => $\Delta $CEB đều => $\widehat{CEB}=\widehat{CBE}=\widehat{ECB}=60^{0}$

- Xét tam giác CDE có CD = CE = DE = a => $\Delta $CDE đều => $\widehat{CDE}=\widehat{CED}=\widehat{ECD}=60^{0}$

- Tương tự ta có $\Delta $BEA đều (BE = AB = EA = a) => $\widehat{BEA}=\widehat{BAE}=\widehat{EBA}=60^{0}$

=> Số đo các góc của hình thang:

$\widehat{CDA}=\widehat{BAE}= 60^{0}$;

$\widehat{DCB}=\widehat{ABC}=\widehat{ECB}+\widehat{ECD}= 60^{0}+ 60^{0}= 120^{0}$

b) Theo chứng minh ở phần a ta có: Tứ giác ABCE và BCDE là hình thoi.

c) ABCE là hình thoi có AC là đường chéo => AC là tia phân giác của góc BAE => $\widehat{BAC}=\widehat{EAC}=30^{0}$

Xét tam giác ACD có: $\widehat{DAC}+\widehat{ACD}+\widehat{CDE}=180^{0}$

=> $\widehat{ACD}=180^{0}-\widehat{DAC}-\widehat{CDE}=180^{0}-30^{0}-60^{0}=90^{0}$

=> Tam giác ACD vuông tại C.

Chứng minh tương tự ta được tam giác ABD vuông tại B.

d) M là trung điểm của AE, N là trung điểm của ED => NE = EM = $\frac{a}{2}$ => NM = a => NM = BC (= a)

Tứ giác CBMN có: NM = BC và NM // BC => CBNM là hình bình hành. 

Ta có tam giác CDE là tam giác đều (chứng minh phần a) => CN là đường trung tuyến => CN cũng là đường phân giác của góc DCE

=> $\widehat{DCN}=\widehat{NCE}=\frac{\widehat{ECD}}{2}=30^{0}$

Xét tam giác ECN có: $\widehat{ECN}+\widehat{CNE}+\widehat{NEC}=180^{0}$ 

=> $\widehat{CNE}=180^{0}-\widehat{ECN}-\widehat{NEC}=180^{0}-30^{0}-60^{0}=90^{0}$ 

Hình bình hành CBNM có $\widehat{CNE}=90^{0}$ (có một góc vuông)=> CBMN là hình chữ nhật