Giải Toán 8 sách VNEN bài 4: Diện tích hình thoi

A. Hoạt động khởi động 

Hình ảnh sau gồm nhiều chiếc diều, có dạng tứ giác mà hai đường chéo vuông góc với nhau.

Nếu coi mỗi chiếc diều là tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau (hình 129) thì chỉ dựa vào độ dài hai đường chéo ta có thể tính được diện tích của nó hay không?

Trả lời:

Nếu coi mỗi chiếc diều là tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì chỉ dựa vào độ dài hai đường chéo ta có thể tính được diện tích của nó.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Có thể tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc dựa vào diện tích tam giác hay không?

Trả lời:

Tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD.

S$_{ABCD}$ = S$_{ADB}$ + S$_{DBC}$ = $\frac{1}{2}$AE.BD + $\frac{1}{2}$CE.BD = $\frac{1}{2}$(AE + CE).BD = $\frac{1}{2}$AC.BD.

Như vậy, ta có thể tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc dựa vào diện tích tam giác.

2. Có thể dựa vào diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc để tính diện tích hình thoi hay không?

Em hãy quan sát hình 132.

- Hai đường chéo hình thoi UVXY có tính chất gì?

- Có thể dựa vào kết quả trên để suy ra S$_{UVXY}$ = $\frac{1}{2}$VY.XU hay không?

Trả lời:

- Hai đường chéo hình thoi UVXY vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Có thể dựa theo tính chất trên để suy ra S$_{UVXY}$ = $\frac{1}{2}$VY.XU như đã chứng minh ở phần 1.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 136 toán VNEN 8 tập 1

Trên cùng lưới ô vuông, bạn Hùng đã vẽ các hình như ở hình 134. Em hãy cho biết diện tích của mỗi hình đó, nếu chọn mỗi ô vuông làm một đơn vị diện tích.

Trả lời:

S$_{1}$ = $\frac{1}{2}$.5.6 = 15 (đơn vị diện tích);

S$_{2}$ = $\frac{1}{2}$.3.7 = 10,5 (đơn vị diện tích);

S$_{3}$ = $\frac{1}{2}$.5.6 = 15 (đơn vị diện tích);

S$_{4}$ = $\frac{1}{2}$.2.6 = 6 (đơn vị diện tích);

S$_{5}$ = $\frac{1}{2}$.6.6 = 18 (đơn vị diện tích);

S$_{6}$ = $\frac{1}{2}$.2.2 = 2 (đơn vị diện tích);

S$_{7}$ = $\frac{1}{2}$.6.4 = 12 (đơn vị diện tích);

S$_{8}$ = $\frac{1}{2}$.3.7 = 10,5 (đơn vị diện tích).

Câu 2: Trang 136 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình chữ nhật MNPQ có các cạnh là 6cm và 10cm. Gọi G, H, I, K tương ứng là trung điểm của các cạnh MN, NP, PQ, QM.

a) Tứ giác GHIK là hình gì? Vì sao?

b) Diện tích tứ giác GHIK bằng bao nhiêu cm$^{2}$?

Trả lời:

a)

Xét $\Delta$MNP, có: G là trung điểm MN và H là trung điểm NP

$\Rightarrow$ GH là đường trung bình của $\Delta$MNP $\Rightarrow$ GH = $\frac{1}{2}$MP. (1)

Xét $\Delta$MQP, có: K là trung điểm MQ và I là trung điểm QP

$\Rightarrow$ KI là đường trung bình của $\Delta$MPQ $\Rightarrow$ KI = $\frac{1}{2}$MP. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ GH = KI = $\frac{1}{2}$MP. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: KG = HI = $\frac{1}{2}$QN. (**)

Mà MNPQ là hình chữ nhật nên MP = QN.(***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ GHIK là hình thoi.

b) S$_{GHIK}$ = $\frac{1}{2}$GI.KH = $\frac{1}{2}$MN.NP = $\frac{1}{2}$.6.10 = 30 (cm$^{2}$).

Câu 3: Trang 136 toán VNEN 8 tập 1

Bạn Chung đã vẽ hình thoi ABCD, có hai đường chéo AC = m, BD = n. Qua các điểm A và C vẽ các đường thẳng a và c song song với BD. Qua các điểm B và D vẽ các đường thẳng b và d song song với AC. Các đường thẳng a, b, c, d cắt nhau tương ứng tại các điểm E, F, G, H (hình 135).

Bạn Chung cho rằng: EFGH là hình chữ nhật và

- hai tam giác vuông ABO và BAE bằng nhau;

- hai tam giác vuông CBO và BCF bằng nhau;

- hai tam giác vuông ADO và DAH bằng nhau;

- hai tam giác vuông CDO và DCG bằng nhau.

Từ đó suy ra diện tích hình chữ nhật EFGH gấp đôi diện tích hình thoi ABCD.

Do diện tích hình chữ nhật EFGH là S$_{EFGH}$ = EH.HG = mn, nên có S$_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$mn.

Theo em, cách lập luận trên của bạn Chung là đúng hay sai? Vì sao?

Có thể xem cách mà bạn Chung làm như một cách tìm ra công thức tính diện tích hình thoi theo độ dài hai đường chéo hay không?

Trả lời:

Vì EF//HG//AC và EH//BD//FG mà BD $\perp$ AC nên EF $\perp$ FG, FG $\perp$ GH, GH $\perp$ EH, EH $\perp$ EF, hay EFGH là hình chữ nhật.

Xét $\Delta$ABO vuông tại O và $\Delta$BAE vuông tại E, có:

• AB chung
• $\widehat{BAO}$ = $\widehat{ABE}$ (so le trong)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABO = $\Delta$BAE (cạnh huyền – góc nhọn).

Chứng minh tương tự, ta có: $\Delta$CBO = $\Delta$BCF; $\Delta$ADO = $\Delta$DAH; $\Delta$CDO = $\Delta$DCG.

Từ đó, suy ra: S$_{EFGH}$ = 2S$_{ABCD}$.

Do diện tích hình chữ nhật EFGH là S$_{EFGH}$ = EH.HG = mn, nên có S$_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$mn.

Như vậy, cách lập luận cảu bạn Chung là đúng. Có thể xem cách mà bạn Chung làm như một cách tìm ra công thức tính diện tích hình thoi theo độ dài hai đường chéo.

Câu 4: Trang 137 toán VNEN 8 tập 1

Một hình thoi có cạnh bằng a và có một đường chéo bằng c. Tính theo a và c diện tích hình thoi đó.

Trả lời:

Xét hình thoi ABCD, có AB = a và AC = c.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABI vuông tại I, có: BI = $\sqrt{a^{2} – (\frac{c}{2})^{2}}$

$\Rightarrow$ BD = 2$\sqrt{a^{2} – (\frac{c}{2})^{2}}$

Như vậy, S$_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$.c.2$\sqrt{a^{2} – (\frac{c}{2})^{2}}$ = c. $\sqrt{a^{2} – (\frac{c}{2})^{2}}$.

Câu 5: Trang 137 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ AB = 6cm, đáy lớn CD = 12cm và cạnh bên AD = 5cm (hình 136). Gọi M, N, E, G tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC, AB, CD.

a) Chứng minh rằng MENG là hình thoi.

b) Diện tích hình thoi MENG bằng bao nhiêu cm$^{2}$?

Trả lời:

a) Xét $\Delta$ACD, có: M là trung điểm AD và G là trung điểm DC

$\Rightarrow$ MG là đường trung bình của $\Delta$ACD $\Rightarrow$ MG = $\frac{1}{2}$AC. (1)

Xét $\Delta$ABC, có: E là trung điểm AB và N là trung điểm BC

$\Rightarrow$ EN là đường trung bình của $\Delta$ABC $\Rightarrow$ EN = $\frac{1}{2}$AC. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ MG = EN = $\frac{1}{2}$AC. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: EM = GN = $\frac{1}{2}$BD. (**)

Mà ABCD là hình thang cân nên AC = BD.(***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ MENG là hình thoi (đpcm).

b) S$_{MENG}$ = $\frac{1}{2}$EG.MN = $\frac{1}{2}$AH. $\frac{1}{2}$.(AB + CD) = $\frac{1}{2}$.4. $\frac{1}{2}$.(6 + 12) = 18 (cm$^{2}$).

D. Hoạt động vận dụng

Câu 2: Trang 137 toán VNEN 8 tập 1

Bạn Dũng đã nghĩ ra cách tính diện tích hình thoi ABCD bằng cách đo độ dài một cạnh AD và độ dài đường cao BH như hình 137.

Theo em cách làm này của bạn Dũng có đúng không? Vì sao?

Trả lời:

Cách làm này của bạn Dũng là đúng vì hình thoi cũng là hình bình hành mà diện tích hình bình hành lại bằng tích của một cạnh và chiều cao ứng với cạnh đó.

Câu 3: Trang 137 toán VNEN 8 tập 1

Có thể cắt một hình thoi bằng giấy để chia nó thành bốn phần và ghép thành một hình chữ nhật hay không? Vì sao?

Có thể dựa theo cách này để suy ra cách tính diện tích hình thoi dựa vào độ dài hai cạnh đường chéo của nó hay không?

Trả lời: