Giải Toán 8 sách VNEN bài 8: Hình bình hành - Hình chữ nhật

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. a) Quan sát, nhận xét

Em hãy quan sát hình 62.

Dựa vào các dữ kiện đã cho (về cạnh và góc) có thể kết luận các cặp đối của tứ giác ABCD song song với nhau hay không?

Trả lời:

Có $\widehat{DAB}$ và $\widehat{ADC}$ là hai góc trong cùng phía bù nhau nên AB // DC.

Có $\widehat{BCD}$ và $\widehat{ADC}$ là hai góc trong cùng phía bù nhau nên BC // AD.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau.

Chú ý: Hình bình hành cũng là một hình thang đặc biệt.

d) Trong một hình bình hành:

• Các cặp cạnh đối diện bằng nhau;
• Các cặp góc đối diện bằng nhau;
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Chú ý: Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình bình hành như sau:

1. Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành;
2. Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;
3. Tứ giác có các một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;
4. Tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành;
5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

e) Luyện tập

Quan sát hình 64. Dựa vào dữ kiện đã cho (về cạnh và góc) thì hình nào trong số đó là hình bình hành? Vì sao?

Trả lời:

i) Tứ giác ABCD là hình bình hành vì nó có các cặp cạnh đối bằng nhau.

ii) Tứ giác này là hình bình hành vì nó có các cặp góc đối bằng nhau.

iii) Tứ giác này là hình bình hành vì nó có các cặp cạnh đối song song với nhau.

iv) Tứ giác này là hình bình hành vì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

v) Tứ giác này là hình bình hành vì nó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

2. a) Quan sát và nêu nhận xét

Em hãy quan sát hình 65.

Hình bình hành MNPQ có một góc vuông thì các góc còn lại của nó có là góc vuông hay không?

Trả lời:

Hình bình hành MNPQ có một góc vuông thì các góc còn lại cũng là góc vuông.

b)

• Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông

Chú ý: Nếu hình bình hành có một góc vuông thì nó là một hình chữ nhật.

d) Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật như sau:

1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật;
2. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật:
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật;
4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 97 toán VNEN 8 tập 1

Hãy quan sát hình 69 và cho biết hình nào trong số đó là hình bình hành.

Trả lời:

Cả ba tứ giác trong hình 69 đều là hình bình hành.

- Tứ giác ABCD là hình bình hành vì nó có AB // CD và AB = CD.

- Tứ giác EFGH là hình bình hành vì nó có EF // HG và EF = HG.

- Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì nó có hai đường chéo MP và QN cắt nhau tạo trung điểm của mỗi đường.

Câu 2: Trang 97 toán VNEN 8 tập 1

Mỗi câu sau đây là đúng hay sai? Vì sao?

a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.

b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.

Trả lời:

a) Đúng, vì hình thang có hai cạnh đáy song song với nhau. Nó sẽ trở thành hình bình hành khi hai cạnh đáy đó bằng nhau.

b) Đúng, vì hình thang có hai cạnh đáy song song với nhau. Nó sẽ trở thành hình bình hành khi có thêm hai cạnh bên song song với nhau.

c) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải là hình bình hành.

d) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải là hình bình hành.

Câu 3: Trang 98 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình bình hành XYZT. Gọi U, V tương ứng là hình chiếu vuông góc của X và Z trên YT (hình 70). Chứng minh rằng XYZT là hình bình hành. 

Trả lời:

Có XU và VZ cùng vuông góc với YT (gt) nên XU // VZ. (1)

Xét $\Delta$XTU vuông tại U và $\Delta$ZYV vuông tại V, có:

XT = ZY (gt)

$\widehat{XTU}$ = $\widehat{ZYV}$ (so le trong)

$\Rightarrow$ $\Delta$XTU = $\Delta$ZYV (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ XU = VZ. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ XVZU là hình bình hành.

Câu 4: Trang 98 toán VNEN 8 tập 1

Dựa vào tính chất của hình chữ nhật, chứng tỏ rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy và ngược lại.

Trả lời:

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

Xét $\Delta$MAB và $\Delta$MNC, có:

• BM = CM
• MA = MN
• $\widehat{AMB}$ = $\widehat{NMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta$MAB = $\Delta$MNC (c.g.c)

$\Rightarrow$ NC = AB và $\widehat{MBA}$ = $\widehat{MCN}$

a) Do $\widehat{MBA}$ = $\widehat{MCN}$ nên AB // NC  $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ACN}$ = 180$^{0}$.

Nếu $\widehat{BAC}$ = 90$^{0}$ thì $\widehat{ACN}$ = 90$^{0}$.

Xét $\Delta$ABC và $\Delta$CNA, có:

• AC chung
• AB = NC (cmt)
• $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACN}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABC = $\Delta$CNA (c.g.c)

$\Rightarrow$ AN = BC $\Rightarrow$ AM = 12BC (đpcm).

b) Có: AM = 12AN. Nếu AM = 12BC thì AN = BC.

Xét $\Delta$ABC và $\Delta$CNA, có:

• AC chung
• AB = NC (cmt)
• AN = BC (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABC = $\Delta$CNA (c.c.c) $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACN}$

Mà $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ACN}$ = 180$^{0}$ nên $\widehat{BAC}$ = 90$^{0}$ (đpcm).

Câu 5: Trang 98 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình 71. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Trả lời:

Ta có: $\widehat{A_{1}}$ = $\widehat{J_{1}}$ (so le trong)

Mà $\widehat{A_{1}}$ = $\widehat{C_{1}}$ (đường phân giác của hai góc đối trong hình bình hành)

$\Rightarrow$ $\widehat{J_{1}}$ = $\widehat{C_{1}}$ và hai góc này lại ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow$ AJ // CE hay HG // EF. (1)

Có $\widehat{D_{1}}$ = $\widehat{B_{1}}$ (đường phân giác của hai góc đối trong hình bình hành)

Mà $\widehat{B_{1}}$ = $\widehat{I_{1}}$ (so le trong)

$\Rightarrow$ $\widehat{D_{1}}$ = $\widehat{I_{1}}$ và hai góc này lại ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow$ DE // BI hay HE // GF. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ HEFG là hình bình hành. (*)

Ta có: $\widehat{J_{1}}$ = $\widehat{A_{1}}$

Mà $\widehat{A_{1}}$ + $\widehat{D_{1}}$ = 90$^{0}$ (phân giác của hai góc kề bù trong hình bình hành)

$\Rightarrow$ $\widehat{J_{1}}$ + $\widehat{D_{1}}$ = 90$^{0}$

$\Rightarrow$ $\widehat{DHJ}$ = 90$^{0}$ hay $\widehat{GHE}$ = 90$^{0}$. (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow$ HEFG là hình chữ nhật (đpcm).

D. Hoạt dộng vận dụng

Câu 2: Trang 98 sách Toán Vnen 8 tập 1

Một đội công nhân đang thi công đoạn đường thẳng MN thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.72). Đội này phải tạm chưa thi công tại điểm có chướng ngại vật đó, nhưng tiếp tục thi công ở phần bên kia. Do đó, họ đã chọn thêm các điểm P, Q, R, S theo cách chỉ ra trên hình, với NP và RQ theo phương dây dọi (tức là cùng vuông góc với MN), còn RS vuông góc với QR. Theo cách đó thì MN và RS có cùng nằm trên một đường thẳng không? Vì sao?

Trả lời:

MN và RS cùng năm trên một đường thẳng vì MN và RS cùng song song với PQ và NP = RQ