Giải Toán 8 sách VNEN bài 2: Đường trung bình của tam giác

A. Hoạt động khởi động

Thực hiện đo đạc

Bác Ba muốn tính khoảng cách giữa hai vị trí ở hai bên bờ ao cá. Để làm điều đó bác đã thực hiện đo đạc và vẽ mô phỏng theo tỉ lệ 1 : 600 như hình 16.

Em hãy giúp bác Ba tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B ở hai bên bờ ao cá nhé!

Trả lời:

Vẽ điểm F sao cho B là trung điểm của AF.

Dễ dàng nhận thấy: $\Delta$AOB = $\Delta$FNB (c.g.c) $\Rightarrow$ AO = FN và $\widehat{O}$ = $\widehat{N}$.

Ta có: OA = AM (gt) và OA = FN $\Rightarrow$ AM = FN.

Lại có $\widehat{O}$ = $\widehat{N}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AO // FN.

$\Rightarrow$ AM // FN $\Rightarrow$ AMNF là hình thang.

Hình thang AMNF có hai đáy AM và FN bằng nhau nên hai cạnh bên AF và MN song song và bằng nhau.

$\Rightarrow$ AB // MN, AB = $\frac{1}{2}$AF = $\frac{1}{2}$MN.

Như vậy, độ dài đoạn AB sẽ bằng 14,5m.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Thực hiện theo yêu cầu

a) Thực hiện theo các bước sau

- Vẽ tam giác ABC.

- Lấy M là trung điểm của AB.

- Từ M kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AC ở N.

Em dùng thước đo độ dài các đoạn AN, CN và dự đoán vị trí điểm N trên cạnh AC.

Trả lời:

Độ dài của các đoạn AN, CN được thể hiện ở hình vẽ dưới đây.

Vị trí điểm N có thể trùng với trung điểm của đoạn thẳng AC.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

c) Luyện tập

Em thực hiện chứng minh kết quả trên với giả thiết cạnh thứ hai là AB, N là trung điểm cạnh AC, NP song song với AB. Ta chứng minh P là trung điểm của BC. Em hãy điền vào chỗ chấm (…) để hoàn thiện chứng minh trong lời giải sau:

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng PN tại M.

Xét $\Delta$ABP và $\Delta$PMA ta có:

• … (chung)
• $\widehat{BAP}$ = $\widehat{MPA}$ (do …)
• $\widehat{APB}$ = … (do …)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABP = $\Delta$PMA (…)$\Rightarrow$ BP = MA (1)

Xét $\Delta$AMN và $\Delta$CPN ta có:

• AN = … (do …)
• $\widehat{NAM}$ = $\widehat{NCP}$ (do …)
• …  = … (do 2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta$AMN = $\Delta$CPN (…)$\Rightarrow$ AM = CP (2)

Từ (1) và (2) suy ra BP = CP hay P là … của BC.

Trả lời:

Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng PN tại M.

Xét $\Delta$ABP và $\Delta$PMA ta có:

• AP (chung)
• $\widehat{BAP}$ = $\widehat{MPA}$ (do so le trong)
• $\widehat{APB}$ = $\widehat{APB}$ (do so le trong)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABP = $\Delta$PMA (g.c.g) $\Rightarrow$ BP = MA (1)

Xét $\Delta$AMN và $\Delta$CPN ta có:

• AN = NC (do N là trung điểm AC (gt))
• $\widehat{NAM}$ = $\widehat{NCP}$ (do so le trong)
• $\widehat{ANM}$ = $\widehat{CNP}$ (do 2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta$AMN = $\Delta$CPN (g.c.g) $\Rightarrow$ AM = CP (2)

Từ (1) và (2) suy ra BP = CP hay P là trung điểm của BC.

2. Thực hiện theo yêu cầu

a) Quan sát hình 19, rút ra nhận xét về vị trí tương đối và tương quan độ dài của MN và BC:

Trả lời:

Quan sát hình 19, ta có thể đưa ra nhận xét: MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$BC.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

c) Sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác để tính khoảng cách giữa hai vị trí bờ ao cá và kiểm nghiệm lại kết quả đo đạc ban đầu của em (hình 16).

Trả lời:

Theo định lí đường trung bình, ta có: AB = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}$.29 = 14,5 (m).

Như vậy, kết quả tính toán ở phần khởi động là chính xác.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 68 toán VNEN 8 tập 1

Thực hành

Cho tam giác ABC, các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.

a) Vẽ các đường trung bình của tam giác ABC.

b) Sử dụng kéo, thước kẻ và các vận dụng cần thiết, cắt ra và chồng lên nhau để so sánh diện tích bốn tam giác mà các đường trung bình tạo thành trên tam giác ABC.

Trả lời:

a) Các đường trung bình của tam giác ABC được thể hiện trong hình vẽ dưới đây:

b) Sau khi so sánh, ta nhận thấy diện tích của bốn tam giác mà các đường trung bình tạo thành trên tam giác ABC có diện tích bằng nhau.

Câu 2: Trang 69 toán VNEN 8 tập 1

a) Tính độ dài đoạn AE, biết DE // BC và AC = 8cm (hình 20).

b) Tính độ dài đoạn thẳng DE, BC, biết AD = 4,5cm; AE = 7,5cm (hình 21).

Trả lời:

a) Xét tam giác ABC, ta có: D là trung điểm AB và DE // BC $\Rightarrow$ E là trung điểm của AC.

$\Rightarrow$ AE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$.8 = 4 (cm).

b) Vì D là trung điểm AB nên AB = 2AD =2.4,5 = 9 (cm).

     Vì E là trung điểm AC nên AC = 2AE = 2.7,5 = 15 (cm).

Xét tam giác ABC vuông tại B có: BC$^{2}$ = AC$^{2}$ - AB$^{2}$ (Định lí Pitago) $\Rightarrow$ BC = 12 (cm).

Lại có: D là trung điểm AB và E là trung điểm AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow$ DE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.12 = 6 (cm).

Câu 3: Trang 69 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy D, E sao cho AD = DE = EB. Gọi I là giao điểm của CD và AM. Chứng minh I là trung điểm của AM (hình 22).

Trả lời:

Xét tam giác BDC có: E là trung điểm của BD và M là trung điểm của BC

$\Rightarrow$ ME // DC hay ME // DI.

Xét tam giác AEM có: D là trung điểm của AE và DI // EM

$\Rightarrow$ I là trung điểm của AM.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Tình huống 1: Trang 69 toán VNEN 8 tập 1

Hình vẽ bên dưới mô tả các bước gấp chong chóng. Biết độ dài đường chéo của hình vuông ban đầu bằng 20cm.

a) Tính độ các cạnh của hình vuông được tạo thành bởi các nếp gấp ở hình 23b.

b) Tính độ dài các cạnh của một cánh chong chóng ở hình 23i.

Trả lời:

a)

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 20$^{2}$ + 20$^{2}$ $\Rightarrow$ AC = 20$\sqrt{2}$ (cm).

Xét tam giác ABC, có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN = $\frac{AC}{2}$ = $\frac{20\sqrt{2}}{2}$ = 10$\sqrt{2}$ (cm).

Như vậy, độ dài các cạnh của hình vuông được tạo bởi các nếp gấp ở hình 23b là 10$\sqrt{2}$ cm.

b)

Theo hình vẽ, ta thấy:

OP = PN = $\frac{1}{4}$DC = $\frac{1}{4}$.20 = 5;             

OM = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$.20 = 10;

MN = $\sqrt{5^{2} + 5^{2}}$ = 5$\sqrt{2}$.

Tình huống 2: Trang 70 toán VNEN 8 tập 1

Bác Gấu có một miếng bánh hình tam giác và cần phải chia chiếc bánh thành bốn phần giống hệt nhau cho bốn chú Gấu con. Em hãy giúp bác Gấu nhé!

Trả lời:

Để chia một hình tam giác thành 4 phần giống hệt nhau, ta vẽ các đường trung bình của hình tam giác đó:

Tình huống 3: Trang 70 toán VNEN 8 tập 1

a) Từ một hình tam giác ban đầu, em hãy vẽ các đường trung bình trong tam giác đó và tính tỉ số chu vi giữa tam giác tạo bởi các đường trung bình và tam giác ban đầu.

b) Hình dưới mô tả cách tạo ra hình học fractal từ các đường trung bình trong tam giác.

Biết chu vi hình tam giác ban đầu bằng 1, hãy tính tổng chu vi tất cả các hình tam giác được tô màu ở bước 2, bước 3.

Trả lời:

a) $\frac{ Chu vi tam giác DEF }{ Chu vi tam giác ABC }$ = $\frac{DE + EF + FD}{AB + BC + CA}$ = $\frac{\frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}CA}{AB + BC + CA}$ = $\frac{1}{2}$.

b) Như đã tính ở phần a, ta có:

Chu vi hình tam giác được tô màu ở bước 2 bằng $\frac{1}{2}$.

Chu vi các hình tam giác được tô màu ở bước 3 bằng $\frac{1}{4}$.3 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{4}$.

Câu 1: Trang 70 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng MI = IK = KN.

Trả lời:

Đặt BC = a.

Vì tam giác ABC có AE = EB, AD = DC nên ED là đường trung bình, do đó ED // BC và ED = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{a}{2}$.

Do MN là đường trung bình của hình thang BEDC nên MN // ED // BC.

Tam giác BED có BM = ME, MI // ED nên MI là đường trung bình, MI = $\frac{ED}{2}$ = $\frac{a}{4}$.

Tam giác CED có CN = ND, NK // ED nên NK là đường trung bình, NK = $\frac{ED}{2}$ = $\frac{a}{4}$.

Tam giác EBC có EM = MB, MK // BC nên MK là đường trung bình, MK = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{a}{2}$.

Suy ra IK = MK – MI = $\frac{a}{2}$ - $\frac{a}{4}$ = $\frac{a}{4}$.

Vậy MI = IK = KN.

Câu 2: Trang 70 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, AC, BC.

a) Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng và MP song song với hai đáy của hình thang.

b) Biết độ dài AB = 5cm, CD = 7cm. Tính độ dài MN, MP, NP.

c) Có nhận xét gì về độ dài đoạn thẳng MP so với tổng độ dài hai đáy AB và CD?

Trả lời:

a) Xét tam giác ACD, có: M là trung điểm của AD và N là trung điểm của AC (gt)

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của tam giác ACD.

$\Rightarrow$ MN // CD (1).

Xét tam giác ABC, có: N là trung điểm của AC và P là trung điểm của BC (gt)

$\Rightarrow$  NP là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$  NP // AB mà AB // CD (gt) $\Rightarrow$  NP // CD (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ M, N, P thẳng hàng.

Xét hình thang ABCD, có: M là trung điểm của AD và P là trung điểm của BC (gt)

$\Rightarrow$ MP là đường trung bình của hình thang ABCD.

$\Rightarrow$ MP // AB // CD.

b) Ta có: MN = $\frac{1}{2}$CD (MN là đường trung bình của tam giác ACD)

$\Rightarrow$ MN = $\frac{1}{2}$.7 = 3,5 (cm).

Ta có: NP = $\frac{1}{2}$AB ( NP là đường trung bình của tam giác ABC)

$\Rightarrow$ NP = $\frac{1}{2}$.5 = 2,5 (cm).

Như vậy, MP = MN + NP = 3,5 + 2,5 = 6 (cm).

c) Ta có: MP là đường trung bình của hình thang ABCD (cmt) $\Rightarrow$ MP = $\frac{1}{2}$(AB + CD).