Giải Toán 8 sách VNEN bài 1: Phân thức đại số

A - B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a)  Quan sát biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ dưới đây:

$\frac{3}{x}$ ; $\frac{y^{2}-y+12}{y+8}$ ; $\frac{3x^{2}y}{6xy^{3}}$

Nhìn chung, chúng ta có thể thấy những biểu thức trên có dạng $\frac{A}{B}$ trong đó:

• A và B đều là các đa thức 
• B $\neq $ 0 để biểu thức có nghĩa

 b) Đọc kĩ nội dung sau

• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$' trong đó A, B là các đa thức và B khác đa thức 0.
• A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

c) Thực hiện theo các yêu cầu:

• Hãy viết một phân thức đại số.
• Ta đã biết mỗi số nguyên được coi là một phân số với mẫu số là 1. Tương tự mỗi đa thức có được coi là một phân thức không.

Trả lời:

- Ví dụ phân thức đại số:  $\frac{3}{x - 1}$ với x $\neq $ 1; $\frac{y^{2}-y+12}{y+8}$ với y $\neq $ -8

- Mỗi đa thức cũng được coi là một phân thức có mẫu bằng 1.

• Một số thực a bất kì có phải là một phân thức không? Vì sao?
• Số 0, 1 có là những phân thức đại số không?

Trả lời:

- Một số thực a bất kì cũng là một phân thức vì có thể viết dưới dạng mẫu số bằng 1.

- Số 0, số 1,... đều là những phân thức đại số với mẫu thức là 1 vì 0 = $\frac{0}{1}$ ; 1 = $\frac{1}{1}$ 

2. a) Đọc kĩ nội dung sau

• Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C với B, D $\neq $ 0
• Ta viết như sau: $\frac{A}{B}$ = $\frac{C}{D}$ nếu A.D = B.C với B, D $\neq $ 0

b)  Trả lời các câu hỏi sau

• Có thể nói $\frac{3x^{2}y^{3}}{3xy}=\frac{x}{2y^{2}}$ hay không? Vì sao?
• Hai phân thức $\frac{x}{3}$ và $\frac{x^{2}+2x}{3x+6}$ có bằng nhau không? Vì sao?
• Bạn Quang nói $\frac{3x+3}{3x}=3$; bạn Vân nói $\frac{3x+3}{3x}=\frac{x+1}{x}$. Ai nói đúng?

Trả lời:

• Không thể nói $\frac{3x^{2}y^{3}}{3xy}=\frac{x}{2y^{2}}$

Vì 3x$^{2}$y.2y$^{2}$ = 6x$^{2}$y$^{3}$; 3xy.x = 3x$^{2}$y và 6x$^{2}$y$^{3}$ $\neq $ 3x$^{2}$y

• $\frac{x}{3}$ = $\frac{x^{2}+2x}{3x+6}$

Vì x.(3x + 6) = 3x$^{2}$ + 6x; 3(x$^{2}$ + 2x) = 3x$^{2}$ + 6x

• Bạn Vân nói đúng vì:

(3x + 3) $\neq $ 3.3x 

(3x + 3).x = 3x.(x + 1) = 3x$^{2}$ + 3x

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1. Trang 35 sách VNEN toán 8 tập 1

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) $\frac{x^{2}y^{3}}{5}=\frac{7x^{3}y^{4}}{35xy}$ 

b) $\frac{x^{3}-4x}{10-5x}=\frac{-x^{2}-2x}{5}$

c) $\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-1}$

d) $\frac{x^{2}-x-2}{x+1}=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}$

e) $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-2x+4}=x+2$

Trả lời:

Giải câu a:

Ta có :

$x^{2}y^{3}.35xy=35x^{3}y^{4}$

$5.7x^{3}y^{4}=35x^{3}y^{4}$

Do đó: $x^{2}y^{3}.35xy=5.7x^{3}y^{4}$ suy ra $\frac{x^{2}y^{3}}{5}=\frac{7x^{3}y^{4}}{35xy}$ 

Giải câu b:

Ta có:

$5.(x^{3}-4x)=5x^{3}-20x$

$(10-5x)(-x^{2}-2x)$=$10.(-x^{2}-2x)-5x(-x^{2}-2x)$

=$-10x^{2}-20x+5x^{3}+10x^{2}$=$5x^{3}-20x$

Do đó $5.(x^{3}-4x)=(10-5x)(-x^{2}-2x)$ suy ra $\frac{x^{3}-4x}{10-5x}=\frac{-x^{2}-2x}{5}$

Giải câu c

Ta có: $(x+2).(x^{2}-1)$=$(x+2)(x^{2}-x+x-1)$

=$(x+2)(x(x-1)+1.(x-1))$=$(x+2)(x+1)(x-1)$

Do đó: $(x+2).(x^{2}-1)$=$(x+2)(x+1)(x-1)$ suy ra $\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x+2)(x+1)}{x^{2}-1}$

Giải câu d

Ta có:

$(x^{2}-x-2)(x-1)$=$x.(x^{2}-x-2)-1.(x^{2}-x-2)$

=$x^{3}-x^{2}-2x-x^{2}+x+2$=$x^{3}-2x^{2}-x+2$

$(x+1)(x^{2}-3x+2)$=$x.(x^{2}-3x+2)+1.(x^{2}-3x+2)$

=$x^{3}-3x^{2}+2x+x^{2}-3x+2$=$x^{3}-2x^{2}-x+2$

Do đó: $(x^{2}-x-2)(x-1)$=$(x+1)(x^{2}-3x+2)$ suy ra $\frac{x^{2}-x-2}{x+1}=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}$

Giải câu e:

Ta có: $(x^{2}-2x+4)(x+2)$=$x.(x^{2}-2x+4)+2.(x^{2}-2x+4)$

=$x^{3}-2x^{2}+4x+2x^{2}-4x+8$=$x^{3}+8$

Do đó:  $(x^{2}-2x+4)(x+2)$=$x^{3}+8$ suy ra $\frac{x^{3}+8}{x^{2}-2x+4}=x+2$

Câu 2. Trang 35 sách VNEN toán 8 tập 1

Ba phân thức sau có bằng nhau không?

$\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$; $\frac{x-3}{x}$; $\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$

Trả lời:

Ta so sánh cặp thứ 1:$\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$; $\frac{x-3}{x}$; 

Ta có: $x.(x^{2}-2x-3)$=$x^{3}-2x^{2}-3x$

$(x-3)(x^{2}+x)$=$x.(x^{2}+x)-3.(x^{2}+x)$

=$x^{3}+x^{2}-3x^{2}-3x$=$x^{3}-2x^{2}-3x$

Do đó $x.(x^{2}-2x-3)$=$(x-3)(x^{2}+x)$ suy ra $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$= $\frac{x-3}{x}$

Ta tiếp tục so sánh cặp thứ 2:  $\frac{x-3}{x}$ và $\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$

Ta có $x.(x^{2}-4x+3)$=$x.x^{2}-x.4x+3.x$

=$x^{3}-4x^{2}+3x$

$(x^{2}-x)(x-3)$=$x.(x^{2}-x)-3.(x^{2}-x)$

=$x^{3}-x^{2}-3x^{2}+3x$=$x^{3}-4x^{2}+3x$

Do đó $x.(x^{2}-4x+3)$=$(x^{2}-x)(x-3)$ suy ra  $\frac{x-3}{x}$ = $\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$

Sau khi so sánh 2 cặp phân thức ta thấy $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$=$\frac{x-3}{x}$=$\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$

Ba phân thức này bằng nhau.

Câu 3: Trang 35 sách VNEN toán tập 1

 Cho 3 đa thức $x^{2}-4x$; $x^{2}+4$; $x^{2}+4x$. Hãy chọn đa thức thích hợp trong ba đa thức đó rồi điền vào ô trống trong đẳng thức sau: $\frac{Q}{x^{2}-16}$=$\frac{x}{x-4}$ với Q là một trong 3 phân thức được chọn.

Trả lời:

Do $\frac{Q}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$ nên $Q(x-4)$=$x(x^{2}-16)$

Ta có: $x(x^{2}-16)$=$x^{3}-16x$

Thử từng trường hợp của 3 phân thức cho đầu bài thay cho vị trí của Q ta có như sau:

TH1: Q=$x^{2}-4x$

Ta có $Q(x-4)$=$(x^{2}-4x)(x-4)$=$x.(x^{2}-4x)-4.(x^{2}-4x)$

=$x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+16x$=$x^{3}-8x^{2}+16x$

Ta có $x^{3}-8x^{2}+16x$ # $x(x^{2}-16)$ nên $x^{2}-4x$ không phải là đa thức phù hợp để đẳng thức $\frac{Q}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$ trở nên hợp lý.

TH2: Q=$x^{2}+4$

Ta có: $Q(x-4)$=$(x^{2}+4)(x-4)$=$x.(x^{2}+4)-4.(x^{2}+4)$

=$x^{3}+4x-4x^{2}-16$

Ta có $x^{3}+4x-4x^{2}-16$ # $x^{3}-16x$ nên $x^{2}+4$ không phải là đa thức phù hợp để đẳng thức $\frac{Q}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$ trở nên hợp lý.

TH3: Q=$x^{2}+4x$

Ta có $Q(x-4)$=$(x^{2}+4x)(x-4)$=$x.(x^{2}+4x)-4.(x^{2}+4x)$

=$x^{3}+4x^{2}-4x^{2}-16x$=$x^{3}-16x$

Do đó $(x^{2}+4x)(x-4)$=$x(x^{2}-16)$ nên $x^{2}+4x$ là đa thức phù hợp để đẳng thức $\frac{Q}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$ trở nên hợp lý.

Câu 4. Trang 35 sách VNEN toán 8 tập 1

Tìm đa thức thích hợp điền vào ô trống trong đằng thức dưới đây: $\frac{x^{2}-49}{x^{2}-14x+49}=\frac{x+7}{Q}$

Trả lời:

Ta có: $\frac{x^{2}-49}{x^{2}-14x+49}=\frac{x+7}{Q}$ nếu $Q.(x^{2}-49)$=$(x^{2}-14x+49)(x+7)$

$(x^{2}-14x+49)(x+7)$=$(x^{2}-14x+49)(x+7)$

=$(x^{2}-7x-7x+49)(x+7)$=$(x(x-7)-7(x-7))$=$(x-7)^{2}(x+7)$

Ta có $Q.(x^{2}-49)$=$(x^{2}-14x+49)(x+7)$ suy ra $Q.(x^{2}-49)$=$(x-7)^{2}(x+7)$

 $Q.(x^{2}-49)$= $Q.(x^{2}-7x+7x-49)$= $Q.(x.(x-7)+7.(x-7))$= $Q.(x-7)(x+7)$

 $Q.(x^{2}-49)$=$(x^{2}-14x+49)(x+7)$ suy ra $Q.(x-7)(x+7)$=$(x-7)^{2}(x+7)$

Do đó Q=$x-7$ thì biểu thức $\frac{x^{2}-49}{x^{2}-14x+49}=\frac{x+7}{Q}$ có nghĩa

D.E. Hoạt động vận dụng và tìm tỏi, mở rộng

Câu 2: Trang 36 sách VNEN toán 8 tập 1

Cho ad=bc và a,b,c,d # 0. Chứng tỏ rằng:

a) $\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$

b) $\frac{a+c}{b+d}$=$\frac{a}{b}$

c) $\frac{a}{c}$=$\frac{b}{d}$
d)$\frac{a+b}{b}$=$\frac{c+d}{d}$

e) $\frac{2a+b}{2c+d}$=$\frac{a}{c}$

Trả lời:

Giải câu a

Ta có ad=bc và do b,d # 0 suy ra  $\frac{a}{b}$=$\frac{c}{d}$

Giải câu b

Ta có (a+c)b=ab+bc kết hợp với điều kiện đầu bài ad=bc suy ra: 

ab+bc=ab+ad=a(b+d) 

Do đó a(b+d)=(a+c)b suy ra $\frac{a+c}{b+d}$=$\frac{a}{b}$

Giải câu c

Do ad=bc và c,d # 0 suy ra  $\frac{a}{c}$=$\frac{b}{d}$

Giải câu d

Ta có (a+b)d=ad+bd kết hợp với điều kiện đầu bài ad=bc suy ra

(a+b)d=ad+bd=bc+bd=b(c+d)

Giải câu e

Ta có (2a+b)c=2ac+bc kết hợp với điều kiện đầu bài ad=bc suy ra 

(2a+b)c=2ac+bc=2ac+ad=a(2c+d)

Do (2a+b)c=a(2c+d) và a,b,c,d # 0 suy ra $\frac{2a+b}{2c+d}$=$\frac{a}{c}$