Giải Toán 8 sách VNEN bài 10: Hình thoi – Hình vuông

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. b) Đọc kĩ nội dung sau

• Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Chú ý: Hình thoi cũng là một hình bình hành. Nhưng hình hành chưa chắc là hình thoi.

d) Trong một hình thoi:

• Hai đường chéo vuông góc với nhau;
• Mỗi đường chéo là phân giác của góc mà đường chéo ấy đi qua đỉnh của góc đó.

Chú ý: Ta có dấu hiệu nhận biết một hình thoi như sau:

1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi;
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi;
3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi;
4. Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh là hình thoi.

e) Luyện tập

Quan sát hình 81. Dựa vào dữ kiện đã cho (về cạnh và góc) thì hình nào trong số các hình sau là hình thoi? Vì sao?

Trả lời:

i) Tứ giác HIKG là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

ii) Tứ giác MNOL là hình thoi vì nó là hình bình hành có một đường chéo là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh.

iii) Tứ giác UVXY không phải là hình thoi.

iv) Tứ giác PQRS là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau (có thể chứng minh qua các tam giác bằng nhau).

2. b) Đọc kĩ nội dung sau

• Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Chú ý: Hình vuông vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật.

c) Trong một hình vuông:

• Hai đường chéo bằng nhau và chúng vuông góc với nhau, đồng thời cắt nhau tai trung điểm của mỗi đường. Mỗi đường chéo còn là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh.

Chú ý: Ta có dấu hiệu nhận biết một hình vuông như sau:

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông;
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông;
3. Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của góc mà nó đi qua đỉnh là hình vuông;
4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông;
5. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

d) Luyện tập

Quan sát hình 84. Dựa vào các dữ kiện đã cho (về cạnh và góc) thì hình nào trong số các hình sau là hình vuông? Vì sao?

Trả lời:

i) Tứ giác ABCD là hình vuông vì nó là hình thoi có một góc vuông.

ii) Không đủ dữ kiện để kết luận tứ giác EFGH là hình thoi.

iii) Tứ giác MNPQ là hình thoi vì nó là hình chữ nhật (hai đường chéo bằng nhau) có hai đường chéo vuông góc với nhau.

iv) Tứ giác URST là hình thoi vì nó là hình chữ nhật (hai đường chéo bằng nhau) có hai cạnh kề bằng nhau.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 106 toán VNEN 8 tập 1

a) Dùng thước và compa để vẽ một hình thoi.

b) Dùng thước và compa để vẽ một hình vuông.

Trả lời:

a)

b)

Câu 2: Trang 106 toán VNEN 8 tập 1

Giải các bài toán sau:

a) Cho hình chữ nhật DEGH. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh DE, EG, GH, HD. Chứng minh rằng MNPQ là hình thoi.

b) Cho hình thoi PQRS. Gọi A, B, C, D tương ứng là các trung điểm của các cạnh PQ, QR, RS, SP. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

c) Cho hình vuông ABCD. Gọi U, V, T, Z tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng UVTZ là hình vuông.

Trả lời:

a)

Xét $\Delta$DMQ, có: M là trung điểm DE và Q là trung điểm DH

$\Rightarrow$ MQ là đường trung bình của $\Delta$DMQ $\Rightarrow$ QM = $\frac{1}{2}$EH. (1)

Xét $\Delta$HEG, có: N là trung điểm EG và P là trung điểm HG

$\Rightarrow$ PN là đường trung bình của $\Delta$HEG $\Rightarrow$ PN = $\frac{1}{2}$EH. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ QM = PN = $\frac{1}{2}$EH. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: QP = MN = $\frac{1}{2}$DG. (**)

Mà DEGH là hình chữ nhật nên HE = DG.(***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ MNPQ là hình thoi (đpcm).

b)

Xét $\Delta$QPR, có: A là trung điểm PQ và B là trung điểm QR

$\Rightarrow$ AB là đường trung bình của $\Delta$QPR $\Rightarrow$ AB // PR. (1)

Xét $\Delta$PSR, có: D là trung điểm PS và C là trung điểm SR

$\Rightarrow$ CD là đường trung bình của $\Delta$PSR $\Rightarrow$ CD // PR. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AB // CD // PR. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: AD // BC // QS. (**)

Mà PQRS là hình thoi nên QS $\perp$ PR (***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ ABCD là hình chữ nhật (đpcm).

c) 

Xét $\Delta$ADB, có: Z là trung điểm AD và U là trung điểm AB

$\Rightarrow$ ZU là đường trung bình của $\Delta$ABD $\Rightarrow$ ZU // BD và  ZU = $\frac{1}{2}$BD. (1)

Xét $\Delta$BCD, có: V là trung điểm BC và T là trung điểm DC

$\Rightarrow$ VT là đường trung bình của $\Delta$BCD $\Rightarrow$ TV // BD và TV = $\frac{1}{2}$BD. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ ZU // BD // TV và TV = ZU = $\frac{1}{2}$BD. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: UV // ZT // AC và UV = ZT = $\frac{1}{2}$AC. (**)

Mà ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD và AC = BD (***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ UVTZ là hình vuông (đpcm).

Câu 3: Trang 106 toán VNEN 8 tập 1

Mỗi câu sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

b) Tứ giác có hai góc đối bằng 90$^{0}$ là hình thoi.

c) Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Trả lời:

a) Đúng;

b) Sai, vì tứ giác có hai góc đối bằng 90$^{0}$ là hình chữ nhật;

c) Đúng.

Câu 4: Trang 106 toán VNEN 8 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A. AD là phân giác của góc A, D thuộc BC. Gọi E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D trên AB, AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

Vì DF $\perp$ CA mà EA $\perp$ AC $\Rightarrow$ DF // AE $\Rightarrow$ $\widehat{FDA}$ = $\widehat{DAE}$ (so le trong).

Lại có: AD là phân giác $\widehat{FAE}$ (gt) nên $\widehat{FAD}$ = $\widehat{DAE}$.

$\Rightarrow$ $\widehat{FAD}$ = $\widehat{DAE}$ $\Rightarrow$ AFD là tam giác cân tại F $\Rightarrow$ FA = FD. (1)

Xét $\Delta$AFD và $\Delta$DEA, có:

• AD chung
• $\widehat{FDA}$ = $\widehat{DAE}$ (cmt)
• $\widehat{DEA}$ = $\widehat{AFD}$ (=90$^{0}$)

$\Rightarrow$ $\Delta$AFD = $\Delta$DEA (g.c.g) $\Rightarrow$ DF = EA và FA = DE (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ FA = FD = EA = DE hay AEDF là hình thoi

Mà $\widehat{FAE}$ =90$^{0}$ $\Rightarrow$ AEDF là hình vuông.

Câu 5: Trang 106 toán VNEN 8 tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.

a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

a) Vì E là trung điểm AB nên AE = EB = $\frac{1}{2}$AB

Mà AB = 2AD hay $\frac{1}{2}$AB = AD $\Rightarrow$ AE = AD. (1)

Xét hình chữ nhật ABCD, có: E là trung điểm AB và F là trung điểm CD

$\Rightarrow$ EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD $\Rightarrow$ EF // AD

Lại có AD $\perp$ DC và AD $\perp$ AB $\Rightarrow$ EF $\perp$ DF và EF $\perp$ AE

$\Rightarrow$ AEFD là hình chữ nhật. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AEFD là hình vuông.

b) Tứ giác DEBF có EB // DF và EB = DF nên AEBF là hình bình hành $\Rightarrow$ DE // BF hay ME // NF.

Chứng minh tương tự, ta có: AF // EC hay MF // EN.

$\Rightarrow$ MENF là hình bình hành. (3)

Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF và ME $\perp$ MF. (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ EMFN là hình vuông.