Giải Toán 8 sách VNEN bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a + b)(a$^{2}$ - ab + b$^{2}$). So sánh kết quả vừa tính được với a$^{3}$ + b$^{3}$.

Trả lời:

Có: (a + b)(a$^{2}$ - ab + b$^{2}$) = a$^{3}$ - a$^{2}$b + ab$^{2}$ + a$^{2}$b - ab$^{2}$ + b$^{3}$ = a$^{3}$ + b$^{3}$.

Như vậy, (a + b)(a$^{2}$ - ab + b$^{2}$) = a$^{3}$ + b$^{3}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Tổng hai lập phương: Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:

                 A$^{3}$ + B$^{3}$ = (A + B)(A$^{2}$ - AB + B$^{2}$)

Lưu ý: Ta quy ước gọi A$^{2}$ - AB + B$^{2}$ là bình phương thiếu của A - B.

c) Thực hiện theo các yêu cầu:

- Viết 8x$^{3}$ + 27 dưới dạng tích.

- Viết (x + 3)(x$^{2}$ - 3x + 9) dưới dạng tổng.

Trả lời:

- Có: 8x$^{3}$ + 27 = (2x)$^{3}$ + 3$^{3}$ = (2x + 3)[(2x)$^{2}$ - 2x.3 + 3$^{2}$] = (2x + 3)(4x$^{2}$ - 6x + 9).

- Có: (x + 3)(x$^{2}$ - 3x + 9) = (x + 3)(x$^{2}$ - 3x + 3$^{2}$) = x$^{3}$ + 3$^{3}$ = x$^{3}$ + 27.

2. a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: (a - b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$). So sánh kết quả vừa tính được với a$^{3}$ - b$^{3}$.

Trả lời:

Có: (a - b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = a$^{3}$ + a$^{2}$b + ab$^{2}$ - a$^{2}$b - ab$^{2}$ - b$^{3}$ = a$^{3}$ - b$^{3}$.

Như vậy, (a - b)(a$^{2}$ + ab + b$^{2}$) = a$^{3}$ - b$^{3}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Hiệu hai lập phương: Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có:

                 A$^{3}$ - B$^{3}$ = (A - B)(A$^{2}$ + AB + B$^{2}$)

Lưu ý: Ta quy ước gọi A$^{2}$ + AB + B$^{2}$ là bình phương thiếu của A + B.

c) Thực hiện các yêu cầu sau:

- Viết 8x$^{3}$ - 27y$^{3}$ dưới dạng tích.

- Hãy đánh dấu x vào ô trống có đáp số đúng của tích: (2 - x)(4 + 2x + x$^{2}$).

Trả lời:

- Có: 8x$^{3}$ - 27y$^{3}$ = (2x)$^{3}$ - (3y)$^{3}$ = (2x - 3y)[(2x)$^{2}$ + 2x.3y + (3y)$^{2}$] = (2x - 3y)(4x$^{2}$ + 6xy + 9y$^{2}$).

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 16 toán VNEN 8 tập 1

a) Viết lại bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

b) Hãy phát biểu bằng lời các hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương.

Trả lời:

a) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

(1) Bình phương của một tổng: (A + B)$^{2}$ = A$^{2}$ + 2AB + B$^{2}$. 

(2) Bình phương của một hiệu: (A - B)$^{2}$ = A$^{2}$ - 2AB + B$^{2}$. 

(3) Hiệu hai bình phương: A$^{2}$ - B$^{2}$ = (A + B)(A - B).

(4) Lập phương của một tổng: (A + B)$^{3}$ = A$^{3}$ + 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ + B$^{3}$.

(5) Lập phương của một hiệu: (A - B)$^{3}$ = A$^{3}$ - 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ - B$^{3}$.

(6) Tổng hai lập phương: A$^{3}$ + B$^{3}$ = (A + B)(A$^{2}$ - AB + B$^{2}$).

(7) Hiệu hai lập phương: A$^{3}$ - B$^{3}$ = (A - B)(A$^{2}$ + AB + B$^{2}$).

b) - Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu.

    - Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng.

Câu 2: Trang 16 toán VNEN 8 tập 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x - 3)(x$^{2}$ + 3x + 9) - (54 + x$^{3}$);

b) (3x + y)(9x$^{2}$ - 3xy + y$^{2}$) - (3x - y)(9x$^{2}$ + 3xy + y$^{2}$).

Trả lời:

a) (x - 3)(x$^{2}$ + 3x + 9) - (54 + x$^{3}$) = x$^{3}$ - 3$^{3}$ - (54 + x$^{3}$) = x$^{3}$ - 27 - 54 - x$^{3}$ = -81;

b) (3x + y)(9x$^{2}$ - 3xy + y$^{2}$) - (3x - y)(9x$^{2}$ + 3xy + y$^{2}$) = 9x$^{3}$ + y$^{3}$ - (9x$^{3}$ - y$^{3}$) = 2y$^{3}$.

Câu 3: Trang 16 toán VNEN 8 tập 1

Chứng minh rằng:

a) a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)$^{3}$ - 3ab(a + b);

b) a$^{3}$ - b$^{3}$ = (a - b)$^{3}$ + 3ab(a - b). 

Áp dụng: Tính a$^{3}$ + b$^{3}$ biết ab = 12 và a + b = -7.

Trả lời:

a) a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)$^{3}$ - 3ab(a + b);

Ta có:

VP = (a + b)$^{3}$ - 3ab(a + b) = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$ - 3a$^{2}$b - 3ab$^{2}$ = a$^{3}$ + b$^{3}$ = VT (đpcm).

b) a$^{3}$ - b$^{3}$ = (a - b)$^{3}$ + 3ab(a - b). 

Ta có:

VP = (a - b)$^{3}$ + 3ab(a - b) = a$^{3}$ - 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ - b$^{3}$ + 3a$^{2}$b - 3ab$^{2}$ = a$^{3}$ - b$^{3}$ = VT (đpcm).

Áp dụng: Tính a$^{3}$ + b$^{3}$ biết ab = 12 và a + b = -7.

Có: a$^{3}$ + b$^{3}$ = (a + b)$^{3}$ - 3ab(a + b) = (-7)$^{3}$ - 3.12(-7) = -91.

Câu 4: Trang 17 toán VNEN 8 tập 1

Điền các đơn thức thích hợp vào chỗ trống:

a) (x + 3y)(...... - ...... + ......) = x$^{3}$ + 27y$^{3}$;

b) (2x - ......)(...... + 6xy +......) = 8x$^{3}$ - 27y$^{3}$.

Trả lời:

a) (x + 3y)(...x$^{2}$... - ...3xy... + ...9y$^{2}$...) = x$^{3}$ + 27y$^{3}$;

b) (2x - ...3y...)(...4x$^{2}$... + 6xy +...9y$^{2}$...) = 8x$^{3}$ - 27y$^{3}$.

Câu 5: Trang 17 toán VNEN 8 tập 1

Tính nhanh kết quả của các biểu thức sau:

a) A = 53$^{2}$ + 106.46 + 47$^{2}$;

b) B = 5$^{4}$.3$^{4}$ - (15$^{2}$ - 1)(15$^{2}$ + 1);

c) C = 50$^{2}$ - 49$^{2}$ + 48$^{2}$ - 47$^{2}$ + ... + 2$^{2}$ - 1$^{2}$.

Trả lời:

a) A = 53$^{2}$ + 106.46 + 47$^{2}$ = 53$^{2}$ + 2.53.47 + 47$^{2}$ = (53 + 47)$^{2}$ = 100$^{2}$ = 10000;

b) B = 5$^{4}$.3$^{4}$ - (15$^{2}$ - 1)(15$^{2}$ + 1) = (15)$^{4}$ - (15$^{4}$ - 1) = 15$^{4}$ - 15$^{4}$ + 1 = 1;

c) C = 50$^{2}$ - 49$^{2}$ + 48$^{2}$ - 47$^{2}$ + ... + 2$^{2}$ - 1$^{2}$

       = (50 - 49)(50 + 49) + (48 - 47)(48 + 47) + ... + (2 - 1)(2 + 1)

       = 50 + 49 + 48 + 47 + ... + 2 + 1 = (50 + 1).50 : 2 = 1275.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 17 toán VNEN 8 tập 1

Trong hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = 2015.2017 và B = 2016$^{2}$.

b) C = (2 + 1)(2$^{2}$ + 1)(2$^{4}$ + 1)(2$^{8}$ + 1)(2$^{16}$ + 1) và D = 2$^{32}$.

Trả lời:

a) Ta có:

A = 2015.2017 = (2016 - 1)(2016 + 1) = 2016$^{2}$ - 1 < 2016$^{2}$ = B.

Vì vậy A < B.

b) Ta có:

C = (2 + 1)(2$^{2}$ + 1)(2$^{4}$ + 1)(2$^{8}$ + 1)(2$^{16}$ + 1)

   = (2 - 1)(2 + 1)(2$^{2}$ + 1)(2$^{4}$ + 1)(2$^{8}$ + 1)(2$^{16}$ + 1)

   = (2$^{2}$ - 1)(2$^{2}$ + 1)(2$^{4}$ + 1)(2$^{8}$ + 1)(2$^{16}$ + 1)

   = (2$^{4}$ - 1)(2$^{4}$ + 1)(2$^{8}$ + 1)(2$^{16}$ + 1)

   = (2$^{8}$ - 1)(2$^{8}$ + 1)(2$^{16}$ + 1) 

   = (2$^{16}$ - 1)(2$^{16}$ + 1) = 2$^{32}$ - 1 < 2$^{32}$ = D.

Vì vậy C < D.

Câu 2: Trang 17 toán VNEN 8 tập 1

Cho x - y = 11. Tính giá trị biểu thức:

M = x$^{3}$ - 3xy(x - y) - y$^{3}$ - x$^{2}$ + 2xy - y$^{2}$. 

Trả lời:

M = x$^{3}$ - 3xy(x - y) - y$^{3}$ - x$^{2}$ + 2xy - y$^{2}$

    = x$^{3}$ - 3x$^{2}$y + 3xy$^{2}$ - y$^{3}$ - (x$^{2}$ - 2xy + y$^{2}$)

    = (x - y)$^{3}$ - (x - y)$^{2}$.

Thay x - y = 11, ta được: M = 11$^{3}$ - 11$^{2}$ = 1210. 

Câu 3: Trang 17 toán VNEN 8 tập 1

Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến:

a) -9x$^{2}$ + 12x - 17;                                  b) -11 - (x - 1)(x + 2). 

Trả lời:

a) -9x$^{2}$ + 12x - 17 = -(9x$^{2}$ - 12x + 4) - 13= -[(3x)$^{2}$ - 2.3x.2 + 2$^{2}$] - 13= -(3x - 2)$^{2}$ - 13 < 0 với mọi giá trị của biến.

b) -11 - (x - 1)(x + 2) = -11 - (x$^{2}$ + x - 2) = -(x$^{2}$ + 2.x.$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$ - 2) - 11 = -(x + $\frac{1}{2}$)$^{2}$ - $\frac{35}{4}$ < 0 với mọi giá trị của biến.