Giải Toán 8 sách VNEN bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Với a, b là hai số bất kì, hãy viết tiếp vào chỗ trống để hoàn thành phép nhân:

(a + b)(a + b)$^{2}$ = (a + b)(a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$)

                        =…………………………………..

                        =…………………………………..

Trả lời:

(a + b)(a + b)$^{2}$ = (a + b)(a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$)

                        = a$^{3}$ + 2a$^{2}$b + ab$^{2}$ + a$^{2}$b + 2ab$^{2}$ + b$^{3}$

                        = a$^{3}$ + 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ + b$^{3}$

b) Đọc kĩ nội dung sau

Lập phương của một tổng

• Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)$^{3}$ = A$^{3}$ + 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ + B$^{3}$

c) Tính (2x + y)$^{3}$.

Trả lời:

(2x + y)$^{3}$ = (2x)$^{3}$ + 3.(2x)$^{2}$.y + 3.2x.y$^{2}$ + y$^{3}$ = 8x$^{3}$ + 12x$^{2}$y + 6xy$^{2}$ + y$^{3}$.

2. a) Với a, b là hai số bất kì, hãy tính [a + (-b)]$^{3}$ theo hai cách:

Cách 1: Vận dụng công thức tính lập phương của một tổng.

Cách 2: Viết [a + (-b)]$^{3}$ = (a – b)$^{3}$ = (a – b)(a – b)$^{2}$ và vận dụng phép nhân đa thức với đa thức.

Trả lời:

Cách 1: [a + (-b)]$^{3}$ = a$^{3}$ + 3.a$^{2}$.(-b) + 3.a.(-b)$^{2}$ + (-b)$^{3}$ = a$^{3}$ - 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ - b$^{3}$.

Cách 2: [a + (-b)]$^{3}$ = (a – b)$^{3}$ = (a – b)(a – b)$^{2}$ = (a – b)(a$^{2}$ - 2ab + b$^{2}$) = a$^{3}$ - 3a$^{2}$b + 3ab$^{2}$ - b$^{3}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau

Lập phương của một hiệu:

• Với A và B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A - B)$^{3}$ = A$^{3}$ - 3A$^{2}$B + 3AB$^{2}$ - B$^{3}$

c) Tính (x – 3y)$^{3}$.

Trả lời:

(x – 3y)$^{3}$ = x$^{3}$ - 3.x$^{2}$.3y + 3.x.(3y)$^{2}$ - (3y)$^{3}$

               = x$^{3}$ - 9x$^{2}$y + 27xy$^{2}$ - 27y$^{3}$.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 14 toán VNEN toán 8 tập 1

Hãy phát biểu bằng lời các đẳng thức: lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu.

Trả lời:

- Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

- Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai.

Câu 2: Trang 14 toán VNEN 8 tập 1

Trong các phát biểu sau, khẳng định nào đúng?

a) (2x – 3)$^{2}$ = (3 – 2x)$^{2}$;                      b) (x – 2)$^{3}$ = (2 – x)$^{3}$;

c) (x + 2)$^{3}$ = (2 + x)$^{3}$;                          d) x$^{2}$ - 1 = 1 - x$^{2}$.

Hãy nêu nhận xét về quan hệ của (A – B)$^{3}$ với (B – A)$^{3}$.

Trả lời:

a) Khẳng định đúng;                b) Khẳng định sai;

c) Khẳng định đúng;                d) Khẳng định sai.

Dễ dàng nhận thấy, (A – B)$^{3}$ với (B – A)$^{3}$ là hai biểu thức đối nhau.

Câu 3: Trang 15 toán VNEN 8 tập 1

Tính:

a) (2y – 1)$^{3}$;                  b) (3x$^{2}$ + 2y)$^{3}$;                  c) ($\frac{1}{3}$x – 2$^{3}$.

Trả lời:

a) (2y – 1)$^{3}$ = (2y)$^{3}$ - 3.(2y)$^{2}$.1 + 3.2y.1$^{2}$ - y$^{3}$ = 8y$^{3}$ - 12y$^{2}$ + 6y - 1;

b) (3x$^{2}$ + 2y)$^{3}$ = (3x$^{2}$)$^{3}$ + 3.(3x$^{2}$)$^{2}$.2y + 3.3x$^{2}$.(2y)$^{2}$ + (2y)$^{3}$ = 27x$^{6}$ + 54x$^{4}$y + 36x$^{2}$y$^{2}$ + 8y$^{3}$;  

c) ($\frac{1}{3}$x – 2)$^{3}$ = ($\frac{1}{3}$x)$^{3}$ - 3.($\frac{1}{3}$x)$^{2}$.2 + 3.$\frac{1}{3}$x.2$^{2}$ - 2$^{3}$ = $\frac{1}{27}$x$^{3}$ - $\frac{2}{3}$x$^{2}$ + 4x - 8.

Câu 4: Trang 15 toán VNEN 8 tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) -x$^{3}$ + 3x$^{2}$ - 3x + 1;                        b) 64 – 48x + 12x$^{2}$ - x$^{3}$.

Trả lời:

a) -x$^{3}$ + 3x$^{2}$ - 3x + 1 = (-x)$^{3}$ + 3.(-x)$^{2}$.1 + 3.(-x).1$^{2}$ + 1$^{3}$ = (-x + 1)$^{3}$;

b) 64 – 48x + 12x$^{2}$ - x$^{3}$ = 4$^{3}$ - 3.4$^{2}$.x + 3.4.x$^{2}$ - x$^{3}$ = (4 – x)$^{3}$.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 15 toán VNEN 8 tập 1

Tính giá trị của biểu thức:

a) 27x$^{3}$ + 27x$^{2}$ + 9x + 1 tại x = 13;

b) x$^{3}$ - 15x$^{2}$ + 75x -125 tại x = 35;

c) x$^{3}$ + 12x$^{2}$ + 48x + 65 tại x = 6.

Trả lời:

a) A = 27x$^{3}$ + 27x$^{2}$ + 9x + 1 = (3x + 1)$^{3}$

Tại x = 13, ta có: A = (3.13 + 1)$^{3}$ = 40$^{3}$ = 64000.

b) B = x$^{3}$ - 15x$^{2}$ + 75x -125 = (x – 5)$^{3}$

Tại x = 35, ta có: B = (35 – 5)$^{3}$ = 30$^{3}$ = 27000.

c) C = x$^{3}$ + 12x$^{2}$ + 48x + 65 = x$^{3}$ + 12x$^{2}$ + 48x + 64 + 1 = (x + 4)$^{3}$ + 1

Tại x = 6, ta có: C = (6 + 4)$^{3}$ + 1 = 10$^{3}$ + 1 = 1001.

Câu 2: Trang 15 toán VNEN 8 tập 1

Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a$^{3}$ + b$^{3}$ + c$^{3}$ = 3abc.

Trả lời:

Ta có: a + b + c = 0 $\Rightarrow$ (a + b + c)$^{3}$ = 0

$\Rightarrow$ a$^{3}$ + b$^{3}$ + c$^{3}$ + 3ab$^{2}$ + 3a$^{2}$b + 3b$^{2}$c + 3bc$^{2}$ + 3c$^{2}$a + 3ca$^{2}$ + 6abc = 0

$\Rightarrow$ a$^{3}$ + b$^{3}$ + c$^{3}$ + (3ab$^{2}$ + 3a$^{2}$b + 3abc) + (3b$^{2}$c + 3bc$^{2}$+ 3abc) + (3c$^{2}$a + 3ca$^{2}$ + 3abc) – 3abc = 0

$\Rightarrow$ a$^{3}$ + b$^{3}$ + 3ab( a + b + c) + 3bc( a + b + c) + 3ca( a + b + c) = 3abc

Mà a + b + c = 0 (giả thiết)

$\Rightarrow$ a$^{3}$ + b$^{3}$ + c$^{3}$ = 3abc (đpcm).