Giải Toán 8 sách VNEN bài 8: Chia đơn thức cho đơn thức, chia đa thức cho đơn thức

A. Hoạt động khởi động

1. Viết vào chỗ trống để được công thức tổng quát của phép chia hai lũy thừa cùng cơ số:

Với mọi x $\neq$ 0, m, n $\in$ N, m $\geq$ n ta có:

• x$^{m}$ : x$^{n}$ = ...... nếu m > n.
• x$^{m}$ : x$^{n}$ = ...... nếu m = n.

Trả lời: 

• x$^{m}$ : x$^{n}$ = ...x$^{m - n}$... nếu m > n.
• x$^{m}$ : x$^{n}$ = ...1... nếu m = n.

Áp dụng tính:

a) 4$^{5}$ : 4$^{3}$;             

b) x$^{6}$ : x$^{3}$ (với x $\neq$ 0);           

c) (-y)$^{6}$ : y$^{5}$ (với y $\neq$ 0).

Trả lời:

a) 4$^{5}$ : 4$^{3}$ = 4$^{5 - 3}$ = 4$^{2}$ = 16;             

b) x$^{6}$ : x$^{3}$ = x$^{6 - 3}$ = x$^{3}$ (với x $\neq$ 0);             

c) (-y)$^{6}$ : y$^{5}$ = -(y$^{6 - 5}$) = -y (với y $\neq$ 0).

2. Thực hiện phép nhân:

a) Đơn thức 2x$^{3}$ và đơn thức 3x;

b) Đơn thức 5xy$^{2}$ và đơn thức -3x$^{3}$y;

c) Đơn thức 7xy$^{2}$ và đa thức ($\frac{1}{7}$x$^{2}$y$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 1).

Trả lời:

a) 2x$^{3}$.3x = 6x$^{4}$;

b) 5xy$^{2}$.(-3x$^{3}$y) = -15x$^{4}$y$^{3}$;

c) 7xy$^{2}$.($\frac{1}{7}$x$^{2}$y$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 1) = x$^{3}$y$^{5}$ + 21x$^{3}$y$^{2}$ + 7xy$^{2}$.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1.  Đọc nội dung sau

• Cho A và B là hai đa thức, B $\neq$ 0. Ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B nếu tìm được một đa thức Q sao cho A = B.Q

Trong đó:  A gọi là đa thức bị chia

                 B gọi là đa thức chia

                 Q gọi là đa thức thương

                 Kí hiệu Q = A : B hay Q = $\frac{A}{B}$

2. a) Thực hiện theo các yêu cầu:

- Thực hiện phép tính:

12x$^{7}$ : 3x$^{3}$;                           

21x$^{4}$y$^{2}$ : 7x$^{2}$y;

20x$^{5}$ : (-12x);                       

6x$^{3}$y : (-9x$^{2}$).

Trả lời:

12x$^{7}$ : 3x$^{3}$ = (12 : 3).(x$^{7}$ : x$^{3}$) = 4x$^{4}$;

21x$^{4}$y$^{2}$ : 7x$^{2}$y = (21 : 7).(x$^{4}$ : x$^{2}$).(y$^{2}$ : y) = 3x$^{2}$y;

20x$^{5}$ : (-12x) = [20 : (-12)].(x$^{5}$ : x) = -$\frac{5}{3}$x$^{4}$;  

6x$^{3}$y : (-9x$^{2}$) = [6 : (-9)].(x$^{3}$ : x$^{2}$).y = -$\frac{2}{3}$xy.

- Cho P = 20x$^{4}$y$^{2}$ : (-25xy$^{2}$) Tính giá trị của biểu thức P tại x = -3 và y = 2,016.

Trả lời:

P = 20x$^{4}$y$^{2}$ : (-25xy$^{2}$) = [20 : (-25)].(x$^{4}$ : x).(y$^{2}$ : y$^{2}$) = -$\frac{4}{5}$x$^{3}$.

Thay x = -3 vào P, ta được: P = -$\frac{4}{5}$.(-3)$^{3}$ = $\frac{105}{8}$.

b) Đọc kĩ nội dung sau:

Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:

• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

3. a) Cho đơn thức 3xy$^{2}$.

- Hãy viết một đa thức có các hạng tử đều chia hết cho 3xy$^{2}$.

- Chia các hạng tử của đa thức đó cho 3xy$^{2}$.

- Cộng các kết quả vừa tìm được với nhau.

Trả lời:

- Đa thức có các hạng tử chia hết cho 3xy$^{2}$ là (6x$^{2}$y$^{2}$ + 3x$^{4}$y$^{3}$).

- Chia các hạng tử của đa thức trên cho 3xy$^{2}$ như sau: 

6x$^{2}$y$^{2}$ : 3xy$^{2}$ = 2x.

3x$^{4}$y$^{3}$ : 3xy$^{2}$ = x$^{3}$y.

- Cộng các kết quả vừa tìm được: 2x + x$^{3}$y.

b) Đọc kĩ nội dung sau:

• Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

c) Thực hiện phép chia đa thức 30x$^{4}$y$^{3}$ - 25x$^{2}$y$^{3}$ - 3x$^{4}$y$^{4}$ cho đơn thức 5x$^{2}$y$^{3}$:

Trả lời:

(30x$^{4}$y$^{3}$ - 25x$^{2}$y$^{3}$ - 3x$^{4}$y$^{4}$) : 5x$^{2}$y$^{3}$

= 30x$^{4}$y$^{3}$ : 5x$^{2}$y$^{3}$ - 25x$^{2}$y$^{3}$ : 5x$^{2}$y$^{3}$ - 3x$^{4}$y$^{4}$ : 5x$^{2}$y$^{3}$

= 6x$^{2}$ - 5 - $\frac{3}{5}$x$^{2}$y.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 25 toán VNEN 8 tập 1

Không làm phép tính, hãy nhận xét xem A có chia hết cho B không, biết:

a) A = 25x$^{3}$y$^{2}$ và B = 7xy$^{3}$;

b) A = -3a$^{4}$b$^{5}$c và B = 2ab$^{4}$;

c) A = 3x$^{4}$ - 5x$^{3}$ + 4x$^{2}$ + 7x - 1 và B = 3x$^{2}$;

d) A = 5a$^{3}$b$^{2}$c + 10a$^{2}$b$^{4}$c$^{3}$ - 2ab$^{3}$c$^{2}$ + bc$^{5}$ và B = -5a$^{2}$bc$^{2}$.

Trả lời:

a) A không chia hết cho B;

b) A chia hết cho B;

c) A không chia hết cho B;

d) A không chia hết cho B.

Câu 2: Trang 25 toán VNEN 8 tập 1

Làm tính chia:

a) x$^{12}$ : (-x$^{6}$);                                                b) (-x)$^{7}$ : (-x)$^{5}$;                    

c) 5x$^{3}$y$^{4}$ : 10x$^{2}$y;                                         d) $\frac{3}{4}$x$^{3}$y$^{3}$ :(-$\frac{1}{2}$xy$^{2}$);

e) (-xy)$^{14}$ : (-xy)$^{7}$;                                         f) (2x$^{3}$ - 2x$^{2}$y + 3xy$^{2}$) : (-$\frac{1}{2}$x);

g) (3x$^{2}$y$^{2}$ - 6x$^{2}$y + 12xy) : 3xy.

Trả lời:

a) x$^{12}$ : (-x$^{6}$) = -x$^{6}$;                                               

b) (-x)$^{7}$ : (-x)$^{5}$ = x$^{2}$;                    

c) 5x$^{3}$y$^{4}$ : 10x$^{2}$y = $\frac{1}{2}$xy$^{3}$;                           

d) $\frac{3}{4}$x$^{3}$y$^{3}$ :(-$\frac{1}{2}$xy$^{2}$) = -$\frac{3}{2}$x$^{2}$y;

e) (-xy)$^{14}$ : (-xy)$^{7}$ = xy$^{7}$;                                 

f) (2x$^{3}$ - 2x$^{2}$y + 3xy$^{2}$) : (-$\frac{1}{2}$x) = -4x$^{2}$ + 4xy - 6y$^{2}$;

g) (3x$^{2}$y$^{2}$ - 6x$^{2}$y + 12xy) : 3xy = xy - 2x + 4.

Câu 3: Trang 25 toán VNEN 8 tập 1

Khi thực hiện phép chia (4x$^{5}$ + 8x$^{2}$y$^{3}$ - 12x$^{3}$y) : (-4x$^{2}$), bạn Bình viết: 

       (4x$^{5}$ + 8x$^{2}$y$^{3}$ - 12x$^{3}$y) = -4x$^{2}$(-x$^{3}$ - 2y$^{3}$ + 3xy)

nên (4x$^{5}$ + 8x$^{2}$y$^{3}$ - 12x$^{3}$y) : (-4x$^{2}$)= -x$^{3}$ - 2y$^{3}$ + 3xy.

Em hãy nhận xét xem bạn Bình làm đúng hay sai? Hãy làm câu 2.g) theo cách của bạn Bình và so sánh kết quả của hai cách làm. 

Trả lời:

Bạn Bình làm đúng.

Giải câu 2.g) ttheo cách của bạn Bình như sau:

(3x$^{2}$y$^{2}$ - 6x$^{2}$y + 12xy) : 3xy = [3xy(xy - 2x + 4)] : 3xy = xy - 2x + 4.

Vậy kết quả của hai cách làm này giống nhau.

D. E. Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 25 toán VNEN 8 tập 1

Tìm n $\in$ N để:

a) Đơn thức A = 5x$^{n}$y$^{3}$ chia hết cho đơn thức B = 4x$^{3}$y;

b) Đa thức M = 9x$^{8}$y$^{n}$ - 15x$^{n}$y$^{5}$ chia hết cho đơn thức N = 6x$^{3}$y$^{2}$.

Trả lời:

a) Có: 5x$^{n}$y$^{3}$ : 4x$^{3}$y = $\frac{5}{4}$x$^{n - 3}$y$^{2}$.

Để A $\vdots$ B thì n - 3 $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ n $\geq$ 3.

Vậy với n $\geq$ 3 thì đơn thức A = 5x$^{n}$y$^{3}$ chia hết cho đơn thức B = 4x$^{3}$y.

b) Có: (9x$^{8}$y$^{n}$ - 15x$^{n}$y$^{5}$) : 6x$^{3}$y$^{2}$ = $\frac{3}{2}$x$^{5}$y$^{n - 2}$ - $\frac{5}{2}$x$^{n - 3}$y$^{3}$.

Để M $\vdots$ N thì n - 2 $\geq$ 0 và n - 3 $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ n $\geq$ 3.

Vậy với n $\geq$ 3 thì đa thức M = 9x$^{8}$y$^{n}$ - 15x$^{n}$y$^{5}$ chia hết cho đơn thức N = 6x$^{3}$y$^{2}$.

Câu 2: Trang 26 toán VNEN 8 tập 1

Khi giải bài tập: "Xét xem đa thức A = 7x$^{5}$ - 4x$^{3}$ + 6x$^{2}$y$^{2}$ có chia hết cho đơn thức B = 2x$^{2}$ hay không?".

Hà trả lời: "A không chia hết cho B vì 7 không chia hết cho 2";

Mai trả lời: "A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B".

Em hãy cho ý kiến về lời giải của hai bạn.

Trả lời:

Lời giải của bạn Hà là sai, của bạn Mai là đúng.

Ta tìm được đơn thức Q = $\frac{7}{2}$x$^{5}$ - 2x + 3y$^{2}$ sao cho A = B.Q nên đa thức A chia hết cho đơn thức B.

Câu 3: Trang 26 toán VNEN 8 tập 1

Làm tính chia: [2(x - y)$^{3}$ + 3(x - y)$^{4}$ - 5(x - y)$^{2}$] : (y - x)$^{2}$.

Trả lời:

Đặt x - y = t $\Rightarrow$ y - x = -t.

Thay vào biểu thức, ta có:

(2t$^{3}$ + 3t$^{4}$ - 5t$^{2}$) : (-t)$^{2}$ = -2t - 3t$^{2}$ + 5.

Vậy [2(x - y)$^{3}$ + 3(x - y)$^{4}$ - 5(x - y)$^{2}$] : (y - x)$^{2}$ = -2(x - y) - 3(x - y)$^{2}$ + 5.